شار الکتریکی نشان میدهد چه مقدار از میدان بهصورت عمودی از یک سطح عبور میکند. برای میدان یکنواخت و سطح تخت، Φ = EA cosθ است؛ θ زاویه میان میدان E و بردار عمود بر سطح است، نه زاویه میدان با خود سطح. برای هر سطح بسته، قانون گاوس میگوید Φtotal = Qenc/ε₀؛ پس فقط جمع جبری بارهای داخل سطح در شار خالص نقش دارد. بار بیرون سطح میتواند روی نقاط سطح میدان ایجاد کند، اما سهم خالص آن در شار کل سطح بسته صفر است.
شار الکتریکی را از مؤلفه عمودی میدان بخوان
برای سطح تختی با مساحت A در میدان یکنواخت، شار از Φ = EA cosθ به دست میآید. بردار مساحت عمود بر سطح است و اندازهاش A؛ بنابراین θ زاویه میان E و همین بردار عمود است. اگر سؤال زاویه α میان میدان و صفحه را بدهد، θ = 90° − α و میتوان نوشت Φ = EA sinα.
وقتی میدان عمود بر سطح است، بردار میدان و بردار مساحت همراستا یا خلافراستا هستند و اندازه شار بیشینه است. وقتی میدان موازی سطح باشد، از سطح عبور عمودی ندارد و شار صفر میشود. علامت شار نیز جهت عبور را نشان میدهد: همجهتی با عمود انتخابی شار مثبت و خلاف آن شار منفی میسازد.
- زاویه را همیشه با بردار عمود بر سطح بسنج.
- واحد شار الکتریکی N·m²/C است.
- شار کمیتی نردهای و علامتدار است؛ خود میدان برداری است.
سطح باز و بسته دو مسیر حل متفاوت دارند
یک صفحه، دیسک یا یک وجه مکعب سطح باز است و برای تعیین علامت شار آن باید جهت بردار عمود را مشخص کنیم. سطح کره یا همه شش وجه مکعب با هم سطح بسته میسازند. برای سطح بسته، قرارداد بردار مساحت در هر نقطه رو به بیرون است.
قانون گاوس درباره شار خالص همه بخشهای یک سطح بسته است. اگر مسئله فقط شار یک وجه را بخواهد، نمیتوان بیدلیل Qenc/ε₀ را همان پاسخ آن وجه گرفت؛ ابتدا باید از تقارن یا اطلاعات میدان سهم آن وجه را پیدا کرد.
در قانون گاوس فقط بار محصور را جمع کن
قانون گاوس به صورت Φtotal = Qenc/ε₀ نوشته میشود. Qenc جمع جبری بارهای داخل سطح بسته است. اگر +3q و −q داخل سطح باشند، بار محصور +2q است. بار روی سطح نیازمند تعریف دقیق مرز است و در سؤال استاندارد معمولاً جای بار را آشکارا داخل یا بیرون سطح میگذارند.
شکل و اندازه سطح بسته مقدار شار خالص را، تا وقتی بار محصور تغییر نکند، عوض نمیکند. جابهجایی یک بار درون همان سطح نیز شار کل را ثابت نگه میدارد؛ هرچند میدان و سهم شار در نقاط مختلف سطح میتواند تغییر کند.
- بار داخل سطح: در Qenc با علامت جبری وارد میشود.
- بار بیرون سطح: در Qenc وارد نمیشود.
- تغییر شکل سطح بدون عبور بار از مرز: شار خالص را تغییر نمیدهد.
مسئله شار و قانون گاوس را در پنج گام حل کن
یک: مشخص کن سطح باز است یا بسته. دو: برای سطح باز، بردار عمود و زاویه آن با میدان را رسم کن؛ برای سطح بسته، همه بارهای داخل مرز را علامت بزن. سه: رابطه مناسب را انتخاب کن؛ Φ = EA cosθ برای سطح تخت در میدان یکنواخت یا Φtotal = Qenc/ε₀ برای کل سطح بسته. چهار: علامت بار و جهت بردار سطح را در پاسخ نگه دار. پنج: واحد و حالتهای حدی را کنترل کن.
اگر سطح بسته چند وجه دارد و میدان روی هر وجه ساده است، شار هر وجه را جداگانه حساب و جمع کن. اگر قانون گاوس شار کل را داده و تقارن سهمهای برابر میسازد، آنگاه میتوان شار یک وجه را از تقسیم شار کل به تعداد وجههای همارز یافت.
مثال حلشده: بار در مرکز مکعب و شار یک وجه
بار نقطهای +6 μC در مرکز یک مکعب قرار دارد. شار خالص مکعب و شار عبوری از هر وجه را بیاب. سطح بسته مکعب بار +6 μC را دربر میگیرد؛ بنابراین از قانون گاوس Φtotal = 6×10⁻⁶/ε₀ به دست میآید.
چون بار دقیقاً در مرکز است و شش وجه مکعب از نظر تقارن همارزند، شار کل بهطور مساوی میان آنها تقسیم میشود. پس شار هر وجه Φface = Φtotal/6 = 10⁻⁶/ε₀ است. این تقسیم بر شش نتیجه تقارن این جایگذاری خاص است؛ اگر بار از مرکز جابهجا شود، شار وجهها دیگر برابر نیست، ولی شار کل مکعب تا وقتی بار داخل آن بماند همان 6×10⁻⁶/ε₀ خواهد بود.
شار صفر را با میدان صفر اشتباه نگیر
اگر هیچ بار خالصی داخل سطح بسته نباشد، قانون گاوس شار خالص را صفر میدهد؛ اما ممکن است میدان روی سطح صفر نباشد. برای نمونه، میدان یکنواخت از یک مکعب خالی وارد میشود و از سوی دیگر خارج میشود: شارهای ورودی و خروجی همدیگر را خنثی میکنند.
برعکس، درون رسانای ساکن در تعادل الکتروستاتیکی میدان صفر است و در نتیجه شار هر سطح گاوسی که کاملاً در ماده رسانا قرار دارد نیز صفر میشود. این نتیجه همراه قانون گاوس نشان میدهد بار خالص اضافی رسانا روی سطح آن قرار میگیرد؛ جزئیات میدان داخل و بیرون را در راهنمای کره رسانا میتوانی ادامه بدهی.
قانون گاوس همیشه درست است، اما همیشه میدان را آسان نمیدهد
برای استخراج E از قانون گاوس باید تقارن کافی داشته باشیم تا اندازه میدان روی بخش مناسب سطح گاوسی ثابت و جهت آن معلوم باشد. تقارن کروی، استوانهای یا صفحهایِ ایدئال نمونههای استانداردند. آنگاه انتگرال شار به عبارتی ساده مانند EA تبدیل میشود.
برای چند بار نامنظم یا جسمی بدون تقارن مناسب، قانون گاوس همچنان برقرار است ولی معمولاً میدان مجهول روی سطح ثابت نیست و نمیتوان آن را از جمع بیرون کشید. در چنین مسئلهای برای یافتن میدان نقطهای، قانون کولن و جمع برداری میدانها مسیر مناسبتری است.
چهار دام رایج را پیش از انتخاب گزینه بررسی کن
خطای اول، استفاده از زاویه میدان با صفحه بهجای زاویه با عمود است. خطای دوم، واردکردن بارهای بیرون سطح در Qenc است. خطای سوم، نتیجهگرفتن E = 0 از Φtotal = 0 است. خطای چهارم، تقسیم خودکار شار کل بر تعداد وجهها بدون وجود تقارن است.
برای کنترل نهایی بپرس: آیا سطح واقعاً بسته است؟ آیا جمع بارها جبری انجام شده؟ آیا علامت شار با جهت عمود سازگار است؟ و آیا برای برابرگرفتن سهم بخشهای سطح دلیل تقارنی داری؟ پاسخ روشن به همین چهار پرسش بیشتر خطاهای تستی این مبحث را آشکار میکند.
در مسئله شار، ابتدا باز یا بستهبودن سطح را تعیین کن و زاویه را با بردار عمود بسنج. برای سطح تخت در میدان یکنواخت از Φ = EA cosθ و برای شار خالص سطح بسته از Φtotal = Qenc/ε₀ استفاده کن. بارهای محصور را جبری جمع بزن و بارهای بیرونی را وارد Qenc نکن. به یاد داشته باش که شار صفر الزاماً میدان صفر نیست و قانون گاوس برای هر سطح بسته درست است، اما استخراج میدان از آن فقط با تقارن کافی ساده میشود.