انفجار در اوج پرتابه؛ حل محل فرود قطعه‌ها با تکانه

انفجار در اوج پرتابه را به سه رویداد تبدیل کن

مدل مسئله سه رویداد دارد: حرکت پرتابه از زمین تا اوج، انفجار بسیار کوتاه، و سقوط یا پرتاب قطعه‌ها از اوج تا زمین. مقاومت هوا را ناچیز، میدان گرانش را یکنواخت و g = 10 m/s² می‌گیریم. انفجار آن‌قدر کوتاه فرض می‌شود که ضربه وزن در مدت آن در مقایسه با تکانه قطعه‌ها ناچیز باشد؛ اما وزن در زمان پرواز پس از انفجار حذف نمی‌شود.

پرتابه‌ای با جرم M = 3 kg از سطح زمین با تندی v₀ = 20 m/s و زاویه 37° نسبت به افق پرتاب می‌شود. از sin37° = 0.60 و cos37° = 0.80 استفاده کن. جسم درست در اوج به دو قطعه m₁ = 1 kg و m₂ = 2 kg می‌شکند. بلافاصله پس از انفجار، قطعه اول نسبت به زمین ساکن است. خواسته، محل فرود هر قطعه نسبت به نقطه پرتاب است.

عبارت «قطعه اول ساکن می‌شود» فقط وضعیت همان لحظه پس از انفجار را می‌گوید؛ قطعه در هوا معلق نمی‌ماند و بلافاصله با شتاب گرانش سقوط می‌کند. همچنین چون انفجار در اوج رخ می‌دهد، سرعت قائم پرتابه درست پیش از انفجار صفر است، ولی سرعت افقی آن صفر نیست.

• محور x افقی و رو به جلو مثبت است.
• محور y قائم و رو به بالا مثبت است.
• پایستگی تکانه فقط برای لحظه کوتاه انفجار به کار می‌رود.
• پس از انفجار، هر قطعه حرکت پرتابی جداگانه دارد.

داده‌های اوج را از حرکت پیش از انفجار پیدا کن

سرعت آغازین را مؤلفه‌بندی می‌کنیم: v₀x = 20×0.80 = 16 m/s و v₀y = 20×0.60 = 12 m/s. چون شتاب افقی صفر است، مؤلفه افقی تا اوج همان 16 m/s می‌ماند. زمان رسیدن به اوج از 0 = v₀y − gt به دست می‌آید: t_up = 12/10 = 1.2 s.

ارتفاع اوج نسبت به زمین H = v₀y²/(2g) = 12²/(2×10) = 7.2 m است. مکان افقی انفجار نیز x_A = v₀x t_up = 16×1.2 = 19.2 m می‌شود. پس درست پیش از انفجار، سرعت پرتابه (16, 0) m/s و تکانه آن Mv = 3(16, 0) = (48, 0) kg·m/s است.

کنترل واحدها: تقسیم m/s بر m/s² زمان را بر حسب s می‌دهد؛ v²/g واحد m دارد؛ و جرم ضرب‌در سرعت kg·m/s است. صفرشدن مؤلفه قائم در اوج به معنی صفرشدن بردار سرعت یا تکانه نیست.

سرعت قطعه دوم را با تکانه مؤلفه‌ای تعیین کن

دستگاه را هر دو قطعه می‌گیریم و بازه را به لحظه‌های بلافاصله پیش و پس از انفجار محدود می‌کنیم. پایستگی تکانه می‌دهد Mv⃗_A = m₁v⃗₁ + m₂v⃗₂. چون v⃗₁ = (0, 0)، داریم (48, 0) = 1(0, 0) + 2v⃗₂ و در نتیجه v⃗₂ = (24, 0) m/s.

در راستای y نیز تکانه پیش از انفجار صفر است و قطعه اول سرعت قائم ندارد؛ بنابراین سرعت قائم قطعه دوم بلافاصله پس از انفجار صفر می‌شود. اگر فقط معادله افقی را بنویسی، بی‌دلیل فرض کرده‌ای مؤلفه قائم مجهول وجود ندارد. نوشتن دو مؤلفه نشان می‌دهد افقی‌بودن سرعت قطعه دوم نتیجه داده‌ها و پایستگی تکانه است.

سرعت 24 m/s از سرعت 16 m/s پیش از انفجار بیشتر است و این تناقضی ندارد. انفجار می‌تواند انرژی درونی را به انرژی جنبشی تبدیل کند. آنچه در این بازه برای دستگاه پایسته گرفته‌ایم تکانه است، نه انرژی جنبشی.

حرکت قطعه‌ها تا زمین را جداگانه ادامه بده

هر دو قطعه از ارتفاع 7.2 m و با سرعت قائم اولیه صفر شروع می‌کنند؛ بنابراین زمان سقوطشان یکسان است. از 0 = H − ½gt² داریم t_f = √(2H/g) = √(14.4/10) = √1.44 = 1.2 s. این زمان از لحظه انفجار اندازه‌گیری می‌شود، نه از لحظه پرتاب اولیه.

قطعه اول سرعت افقی صفر دارد، پس قائم از محل انفجار پایین می‌آید و در x₁ = x_A = 19.2 m فرود می‌آید. قطعه دوم در مدت سقوط با سرعت افقی ثابت 24 m/s، مسافت Δx₂ = 24×1.2 = 28.8 m می‌پیماید؛ بنابراین محل فرودش x₂ = 19.2 + 28.8 = 48.0 m از نقطه پرتاب است.

واحد هر دو جواب متر است. ترتیب نیز معقول است: قطعه ساکن‌شده باید زیر نقطه انفجار فرود آید و قطعه دوم، که سرعت افقی‌اش از سرعت پرتابه اولیه بیشتر شده، باید جلوتر از برد معمول پرتابه به زمین برسد.

جواب را با مسیر مرکز جرم کنترل کن

انفجار نیرویی داخلی است و مسیر مرکز جرم دستگاه را عوض نمی‌کند؛ با فرض نبود مقاومت هوا، مرکز جرم قطعه‌ها همان مسیر پرتابه منفجرنشده را دنبال می‌کند. چون پرتاب و فرود هم‌ترازند، برد پرتابه سالم R = v₀² sin(2θ)/g است. با sin(74°) = 2sin37°cos37° = 0.96 داریم R = 20²×0.96/10 = 38.4 m.

هنگام فرود هم‌زمان دو قطعه، مکان افقی مرکز جرم از x_CM = (m₁x₁ + m₂x₂)/M به دست می‌آید: x_CM = [1×19.2 + 2×48.0]/3 = 115.2/3 = 38.4 m. برابری این عدد با برد پرتابه سالم یک کنترل مستقل و قوی برای سرعت قطعه دوم و محل‌های فرود است.

این میانگین‌گیری فقط چون هر دو قطعه هم‌زمان به زمین می‌رسند مستقیماً مکان مرکز جرم را در یک لحظه مشترک می‌دهد. اگر یکی از قطعه‌ها سرعت قائم متفاوت داشت، زمان‌های فرود برابر نبود و نباید مکان‌های فرود در دو لحظه متفاوت را در یک رابطه مرکز جرم جای‌گذاری می‌کردی.

افزایش انرژی جنبشی و معقول‌بودن سرعت را بسنج

درست پیش از انفجار، انرژی جنبشی K_before = ½Mv_A² = ½×3×16² = 384 J است. درست پس از انفجار، قطعه اول ساکن است و K_after = ½×2×24² = 576 J می‌شود. پس انرژی جنبشی 192 J افزایش یافته است؛ این انرژی می‌تواند از انرژی درونی عامل انفجار آمده باشد و نباید آن را خطای محاسبه دانست.

کنترل تکانه همچنان برقرار است: تکانه افقی نهایی قطعه‌ها 1×0 + 2×24 = 48 kg·m/s و برابر مقدار اولیه است. کنترل مرتبه نیز سازگار است: وقتی یک‌سوم جرم متوقف می‌شود، دو‌سوم جرم باید تمام تکانه اولیه را حمل کند، پس سرعتش 48/2 = 24 m/s می‌شود که 1.5 برابر 16 m/s است.

مسیر حل و خطاهای رایج را پیش از پاسخ مرور کن

مسیر کوتاه حل چنین است: یک، سرعت و مکان اوج را پیدا کن. دو، تکانه را فقط از درست پیش تا درست پس از انفجار پایسته بگیر. سه، سرعت هر قطعه را با دو مؤلفه تعیین کن. چهار، برای هر قطعه ساعت تازه‌ای از لحظه انفجار بساز. پنج، محل فرود را حساب و با مسیر مرکز جرم کنترل کن.

خطای رایج اول، صفرگرفتن کل سرعت در اوج است؛ فقط مؤلفه قائم صفر می‌شود. خطای دوم، پایسته‌گرفتن تکانه از لحظه انفجار تا فرود است؛ در این بازه وزن ضربه خارجی وارد می‌کند. خطای سوم، پایسته‌گرفتن انرژی جنبشی در خود انفجار است. خطای چهارم، استفاده از زمان کل پرواز به‌جای زمان 1.2 ثانیه‌ای سقوط از اوج برای حرکت قطعه‌هاست.

برای مرور پایه انفجار، راهنمای پایستگی تکانه در انفجار را بخوان؛ محاسبه اوج و برد در مقاله پرتاب مایل تکمیل می‌شود و مقاله مرکز جرم دستگاه چندذره‌ای دلیل کنترل میانگین جرمی را توضیح می‌دهد. این سه صفحه پیش‌نیازهای جداگانه‌اند و مسئله ترکیبیِ تغییر مدل در این مقاله را تکرار نمی‌کنند.

• در اوج: vy = 0، نه v = 0
• هنگام انفجار: تکانه پایسته، انرژی جنبشی لزوماً ناپایسته
• پس از انفجار: وزن بر هر قطعه اثر می‌کند
• کنترل نهایی: x_CM باید با مسیر پرتابه سالم سازگار باشد

منابع علمی

• OpenStax University Physics Volume 1 — Types of Collisions and Explosions
• OpenStax University Physics Volume 1 — Projectile Motion
• OpenStax University Physics Volume 1 — Center of Mass