در پایستگی تکانه در انفجار، یک جسم را درست پیش از انفجار و همه قطعه‌هایش را درست پس از انفجار یک دستگاه بگیر. اگر ضربه خارجی در زمان کوتاه انفجار ناچیز باشد، جمع برداری تکانه‌ها تغییر نمی‌کند: Mv₀ = Σmᵢvᵢ. برای جسمی که ابتدا ساکن است، جمع تکانه قطعه‌ها صفر می‌شود؛ بنابراین در انفجار دو قطعه‌ای، تکانه‌ها هم‌اندازه و خلاف‌جهت‌اند. انرژی جنبشی را پایسته نگیر: بخشی از انرژی درونی ذخیره‌شده می‌تواند به انرژی جنبشی قطعه‌ها تبدیل شود.
پایستگی تکانه در انفجار را با یک دستگاه بسته بنویس
مرز دستگاه را پیش از انفجار دور جسم و پس از انفجار دور همه قطعه‌های آن بکش. نیروهای انفجار میان قطعه‌ها داخلی‌اند؛ ضربه‌های داخلی تکانه هر قطعه را تغییر می‌دهند، اما در جمع برداری تکانه کل حذف می‌شوند. پس اگر ضربه خارجی در بازه کوتاه رویداد ناچیز باشد، تکانه کل پیش و پس برابر است.
برای جسمی با جرم M و سرعت اولیه برداری v₀ که به n قطعه می‌شکند، رابطه اصلی Mv₀ = m₁v₁ + m₂v₂ + … + mₙvₙ است. وزن یا اصطکاک لزوماً صفر نیست، اما باید ضربه آن‌ها در مدت بسیار کوتاه انفجار در مقایسه با تکانه‌های مسئله ناچیز باشد. اگر بازه زمانی را تا مدت زیادی پس از انفجار ادامه بدهی، این تقریب ممکن است دیگر معتبر نباشد.
- دستگاه: همه قطعه‌های جسم
- بازه: بلافاصله پیش تا بلافاصله پس از انفجار
- شرط: ضربه خارجی ناچیز در راستای بررسی
- رابطه: تکانه کل به‌صورت برداری ثابت است
جسم ساکن و دو قطعه را با سرعت‌های علامت‌دار حل کن
اگر جسم پیش از انفجار ساکن باشد، تکانه آغازین صفر است. در انفجار یک‌بعدی به دو قطعه می‌نویسیم m₁v₁ + m₂v₂ = 0. در نتیجه v₂ = −(m₁/m₂)v₁؛ علامت منفی خلاف‌جهت‌بودن حرکت‌ها را نشان می‌دهد و نسبت تندی‌ها |v₂|/|v₁| = m₁/m₂ است. پس قطعه سبک‌تر تندی بیشتری می‌گیرد، نه تکانه بیشتری.
مثلاً جسم ساکن 6.0 kg به قطعه 2.0 kg با سرعت +9.0 m/s و قطعه 4.0 kg می‌شکند. از 0 = 2.0×9.0 + 4.0v₂، سرعت قطعه دوم v₂ = −4.5 m/s می‌شود. تکانه‌ها +18 و −18 kg·m/s هستند؛ جمع آن‌ها صفر است و واحد جواب سرعت m/s باقی می‌ماند.
برای جسم متحرک، تکانه اولیه را صفر نگذار
اگر جسم پیش از انفجار حرکت می‌کند، تکانه آغازین Mv₀ باید در معادله بماند. با انتخاب راست به‌عنوان جهت مثبت، برای دو قطعه رابطه Mv₀ = m₁v₁ + m₂v₂ نوشته می‌شود. منفی‌شدن یکی از سرعت‌ها یعنی آن قطعه پس‌زنی کرده و خلاف جهت مثبت حرکت می‌کند.
جرم نیز باید حفظ شود: اگر چیزی از دستگاه خارج نشده باشد، M = Σmᵢ. این برابری جای پایستگی تکانه را نمی‌گیرد؛ یکی رابطه جرم‌ها و دیگری رابطه برداری سرعت و جرم است. اگر سرعت‌ها در یک خط نباشند، یک معادله نرده‌ای کافی نیست و باید مؤلفه‌ها را جدا بنویسی.
مثال حل‌شده: انفجار متحرک به سه قطعه در دو بعد
جسمی 10 kg با سرعت 4.0 m/s به سمت شرق حرکت می‌کند و به سه قطعه می‌شکند. قطعه اول 4.0 kg با سرعت 8.0 m/s به شرق و قطعه دوم 3.0 kg با سرعت 6.0 m/s به شمال می‌رود. جرم، اندازه سرعت و جهت قطعه سوم را بیاب. شرق را x مثبت و شمال را y مثبت می‌گیریم و ضربه خارجی را در مدت انفجار ناچیز فرض می‌کنیم.
جرم قطعه سوم m₃ = 10 − 4 − 3 = 3.0 kg است. تکانه آغازین (40, 0) kg·m/s، تکانه قطعه اول (32, 0) و تکانه قطعه دوم (0, 18) است. بنابراین p₃ = (40, 0) − (32, 0) − (0, 18) = (8, −18) kg·m/s.
با تقسیم مؤلفه‌های تکانه سوم بر جرم آن، v₃ = (8/3, −6) m/s به دست می‌آید. اندازه سرعت √[(8/3)² + 6²] ≈ 6.57 m/s است. چون مؤلفه x مثبت و مؤلفه y منفی است، قطعه به جنوب‌شرق می‌رود؛ زاویه آن arctan(6 ÷ (8/3)) ≈ 66° به سمت جنوب از راستای شرق است.
کنترل مؤلفه‌ای روشن است: در x، 32 + 3×(8/3) = 40 و در y، 18 + 3×(−6) = 0. انرژی جنبشی آغازین 80 J است، درحالی‌که مجموع انرژی جنبشی قطعه‌ها حدود 247 J می‌شود. این افزایش نقض پایستگی انرژی نیست؛ حدود 167 J از انرژی درونی ذخیره‌شده به انرژی جنبشی تبدیل شده است.
تکانه پایسته است، اما انرژی جنبشی افزایش می‌یابد
در یک دستگاه منزوی، انرژی کل و تکانه کل هر دو پایسته‌اند؛ با این حال انرژی جنبشی به‌تنهایی در انفجار ثابت نیست. انرژی شیمیایی، کشسانی یا شکل دیگری از انرژی درونی می‌تواند کاهش یابد و انرژی جنبشی قطعه‌ها را بیشتر کند. بنابراین نوشتن Kقبل = Kبعد بدون داده اضافی خطاست.
اگر سؤال مقدار انرژی آزادشده را بخواهد و سایر تغییرهای انرژی ناچیز باشند، می‌توان اختلاف ΔK = Kبعد − Kقبل را محاسبه کرد. این اختلاف باید از منبع انرژی درونی بیاید. پایستگی تکانه به‌تنهایی سرعت چند قطعه مجهول را تعیین نمی‌کند؛ تعداد معادله‌های مستقل و داده‌های جهت، تندی یا انرژی را پیش از حل بشمار.
چک‌لیست حل مسائل انفجار در فیزیک
پیش از جای‌گذاری عددها، شکل قبل و بعد را جدا رسم کن و جهت مثبت را روی هر محور بنویس. همه سرعت‌ها را با علامت یا مؤلفه ثبت کن. سپس دستگاه، بازه زمانی و ضربه‌های خارجی را بررسی و فقط بعد معادله تکانه را بنویس.
برای مرور اصل دستگاه و ضربه، راهنمای تکانه و برخورد را ببین؛ اگر قطعه‌ها در صفحه حرکت می‌کنند، مقاله برخورد دوبعدی روش مؤلفه‌گیری را تکمیل می‌کند. در پایان نیز از راهنمای تحلیل ابعادی برای کنترل kg·m/s، m/s و ژول استفاده کن. این سه صفحه مکمل‌اند، اما قصد مستقل این مقاله حل انفجار و پس‌زنی است.
- همه قطعه‌ها داخل مرز دستگاه هستند؟
- تکانه اولیه جسم متحرک را نوشته‌ام؟
- معادله‌های x و y را جدا ساخته‌ام؟
- علامت منفی را جهت تفسیر کرده‌ام؟
- انرژی جنبشی را بی‌دلیل پایسته نگرفته‌ام؟
- جمع تکانه نهایی با تکانه اولیه برابر است؟
چهار خطای رایج را پیش از پاسخ حذف کن
خطای نخست، صفرگرفتن تکانه پس از انفجار فقط به این دلیل است که جسم اولیه ساکن بوده؛ جمع برداری صفر است، نه تکانه تک‌تک قطعه‌ها. خطای دوم، هم‌تندی دانستن دو قطعه است؛ در جسم ساکن، اندازه تکانه‌ها برابر است و تندی‌ها فقط برای جرم‌های برابر مساوی می‌شوند.
خطای سوم، جمع‌کردن اندازه تکانه‌ها بدون جهت است. در دو بعد باید مؤلفه‌ها یا بردارها جمع شوند. خطای چهارم، پایسته‌گرفتن انرژی جنبشی است. کنترل نهایی را با بازسازی تکانه کل، تعیین ربع جهت قطعه مجهول و مقایسه واحدها انجام بده؛ اگر تعداد مجهول‌ها از معادله‌های مستقل بیشتر است، مسئله داده کافی ندارد و نباید رابطه‌ای ساختگی اضافه کنی.
برای انفجار، دستگاه را شامل همه قطعه‌ها بگیر و بازه را به لحظه‌های بلافاصله پیش و پس از رویداد محدود کن. اگر ضربه خارجی ناچیز است، Mv₀ = Σmᵢvᵢ را به‌صورت برداری بنویس؛ برای جسم ساکنِ دو قطعه‌ای، m₁v₁ + m₂v₂ = 0 و قطعه سبک‌تر تندی بیشتری دارد. در انفجار دوبعدی، تکانه x و y را جدا پایسته بگیر و از دو مؤلفه سرعت مجهول را بساز. پایستگی تکانه به معنی پایستگی انرژی جنبشی نیست؛ افزایش انرژی جنبشی از کاهش انرژی درونی دستگاه تأمین می‌شود.