در پیچ بانکیِ بدون اصطکاک، مؤلفه افقی نیروی عمودی سطح نقش نیروی مرکزگرا را دارد و سرعت طراحی از v₀ = √(rg tanθ) به دست میآید. اگر خودرو سریعتر از v₀ حرکت کند، تمایل به لغزش به سمت بالای شیب دارد و اصطکاک به سمت پایین شیب است؛ اگر کندتر باشد، تمایل به سرخوردن به پایین شیب دارد و اصطکاک رو به بالای شیب خواهد بود. با وجود اصطکاک ایستایی، فقط یک سرعت مجاز نداریم، بلکه بازهای از سرعتها بدون لغزش ممکن است. کلید حل این است که «نیروی مرکزگرا» را نیروی تازهای نکشی و فقط مؤلفه شعاعی نیروهای واقعی را برابر mv²/r قرار دهی.
نمودار جسم آزاد پیچ بانکی را با سه نیروی واقعی رسم کن
مقطع عمودی پیچ را رسم کن؛ سطح جاده با افق زاویه θ میسازد و سمت بیرونی پیچ بالاتر است. وزن mg قائم رو به پایین، نیروی عمودی N عمود بر سطح و اصطکاک ایستایی f_s موازی سطح است. جهت افقی به سوی مرکز دایره را شعاعیِ مثبت و جهت قائم رو به بالا را مثبت بگیر.
عبارت mv²/r نام برآیند شعاعی نیروهاست، نه یک نیروی جداگانه. پس پیکانی با عنوان «نیروی مرکزگرا» به شکل اضافه نکن. خودرو شتاب قائم ندارد، بنابراین جمع مؤلفههای قائم صفر است؛ اما در راستای افقیِ شعاعی، برآیند باید برابر mv²/r باشد.
- نیروها: mg، N و در صورت نیاز f_s
- راستای شعاعی: ΣF_r = mv²/r
- راستای قائم: ΣF_y = 0
سرعت طراحی را در حالت بدون اصطکاک به دست آور
در سرعت طراحی v₀، خودرو بدون کمک اصطکاک پیچ را طی میکند. مؤلفه افقی N برابر N sinθ و رو به مرکز است؛ مؤلفه قائم آن N cosθ وزن را خنثی میکند. بنابراین N sinθ = mv₀²/r و N cosθ = mg. با تقسیم دو معادله، N و جرم حذف میشوند و tanθ = v₀²/(rg) یا v₀ = √(rg tanθ) به دست میآید.
این رابطه نشان میدهد برای شعاع ثابت، پیچ پرشیبتر سرعت طراحی بیشتری دارد و برای زاویه ثابت، پیچ با شعاع بزرگتر در سرعت بیشتری قابل پیمودن است. اگر سرعت بر حسب کیلومتر بر ساعت داده شده، پیش از جایگذاری آن را بر ۳٫۶ تقسیم کن تا به متر بر ثانیه برسد.
- N sinθ = mv₀²/r
- N cosθ = mg
- tanθ = v₀²/(rg)
جهت اصطکاک را از تمایل به لغزش، نه از جهت حرکت، تعیین کن
اصطکاک ایستایی لزوماً خلاف جهت سرعت خودرو نیست؛ خلاف جهت لغزش نسبیِ محتمل روی سطح است. اگر v > v₀ باشد، نیاز به نیروی شعاعی بیشتر است و خودرو تمایل دارد نسبت به سطح به سمت بیرون و بالای شیب بلغزد. اصطکاک برای جلوگیری از آن رو به پایین شیب، یعنی دارای مؤلفهای به سوی مرکز، قرار میگیرد.
اگر v < v₀ باشد، خودرو تمایل دارد روی سطح به سمت داخل و پایین شیب سر بخورد. این بار اصطکاک رو به بالای شیب است و مؤلفه افقی آن رو به بیرون قرار میگیرد. در v = v₀ اصطکاک لازم صفر است، هرچند سطح میتواند اصطکاک داشته باشد.
کران بالا و پایین سرعت را با اصطکاک ایستایی بساز
در بیشترین سرعت، اصطکاک در آستانه لغزش رو به پایین شیب است. با f_s = μ_sN داریم N sinθ + f_s cosθ = mv_max²/r و N cosθ − f_s sinθ = mg. تقسیم این دو رابطه نتیجه میدهد: v_max = √[rg(sinθ + μ_s cosθ)/(cosθ − μ_s sinθ)].
در کمترین سرعت، اصطکاک رو به بالای شیب است: N sinθ − f_s cosθ = mv_min²/r و N cosθ + f_s sinθ = mg. پس v_min = √[rg(sinθ − μ_s cosθ)/(cosθ + μ_s sinθ)]. اگر sinθ − μ_s cosθ صفر یا منفی باشد، اصطکاک میتواند خودرو را حتی در حالت سکون نگه دارد و کران پایین سرعت صفر است.
- سرعت زیاد: اصطکاک پایین شیب و رو به مرکز
- سرعت کم: اصطکاک بالای شیب و رو به بیرون
- در آستانه لغزش فقط: f_s = μ_sN
مثال حلشده: بازه سرعت در پیچ با شعاع ۵۰ متر
پیچی با شعاع r = 50 m و زاویه بانکی θ = 20° داریم. ضریب اصطکاک ایستایی تایر و جاده μ_s = 0.20 و g = 10 m/s² است. ابتدا سرعت طراحی را حساب میکنیم: v₀ = √(50×10×tan20°) ≈ √182 ≈ 13.5 m/s.
برای کران بالا، نسبت داخل رادیکال برابر (sin20° + 0.20cos20°)/(cos20° − 0.20sin20°) ≈ 0.608 است؛ پس v_max ≈ √(500×0.608) ≈ 17.4 m/s. برای کران پایین نیز نسبت (sin20° − 0.20cos20°)/(cos20° + 0.20sin20°) ≈ 0.153 و v_min ≈ √(500×0.153) ≈ 8.7 m/s میشود.
بنابراین بازه تقریبیِ بدون لغزش 8.7 تا 17.4 m/s، یا پس از ضرب در ۳٫۶ حدود 31 تا 63 km/h است. کنترل جواب درست است: سرعت طراحی 13.5 m/s میان دو کران قرار دارد. این محاسبه یک مدل آموزشی با پیچ افقیدایرهای، سرعت ثابت و ضریب اصطکاک یکنواخت است؛ برای رانندگی واقعی باید محدودیت اعلامشده مسیر، وضعیت تایر و شرایط جوی را ملاک قرار داد.
مسئله پیچ بانکی را در شش گام حل و کنترل کن
یک: مقطع پیچ و جهت مرکز را رسم کن. دو: فقط mg، N و f_s را روی خودرو بگذار. سه: سرعت را با v₀ = √(rg tanθ) مقایسه و جهت اصطکاک را تعیین کن. چهار: نیروها را در راستای قائم و شعاعی تجزیه کن. پنج: تنها در آستانه لغزش f_s = μ_sN بگذار و دو معادله را حل کن. شش: واحد سرعت و منطقیبودن بازه را کنترل کن.
اگر سؤال فقط زاویه یا سرعت طراحی را میخواهد، اصطکاک را وارد نکن. اگر عبارت «در آستانه لغزش» یا «بیشترین/کمترین سرعت» آمده است، اصطکاک به حد μ_sN میرسد. برای مرور شتاب و برآیند شعاعی، راهنمای حرکت دایرهای و نیروی مرکزگرا را بخوان؛ اگر در تعیین جهت اصطکاک یا رسم نیروها تردید داری، مقالههای اصطکاک و نمودار جسم آزاد مسیر مکمل این بحثاند.
در پیچ بانکی ابتدا مرکز دایره و جهت بالارفتن سطح را روی شکل مشخص کن. در سرعت طراحی، اصطکاک لازم نیست و از tanθ = v₀²/(rg) استفاده میشود. برای سرعت بیشتر از مقدار طراحی، اصطکاک رو به پایین شیب و برای سرعت کمتر، رو به بالای شیب است. در آستانه لغزش f_s = μ_sN را وارد دو معادله شعاعی و قائم کن تا کرانهای سرعت به دست آیند. در پایان، قرارگرفتن v₀ میان v_min و v_max و حذف جرم از جواب، دو کنترل سریع و مفید هستند.