برای حل آونگ با میخ، حرکت را به دو بخش تقسیم کن: گلوله تا پایین‌ترین نقطه حول تکیه‌گاه اصلی با شعاع L پایین می‌آید و پس از گیرکردن نخ به میخی در فاصله d زیر تکیه‌گاه، با شعاع تازه r = L − d بالا می‌رود. ابتدا سرعت پایین را از پایستگی انرژی به دست آور؛ سپس بررسی کن آیا v_bottom² ≥ 5gr است یا نه. این نامساوی هم انرژی لازم برای رسیدن به بالای دایره و هم شرط نامنفی‌بودن کشش نخ در آن نقطه را در خود دارد.

آونگ با میخ را به دو حرکت دایره‌ای تبدیل کن

گلوله‌ای با جرم m به نخ بی‌جرم و کشش‌ناپذیر به طول L وصل است. میخ کوچکی روی خط قائم و در فاصله d پایین‌تر از تکیه‌گاه قرار دارد؛ نخ هنگام عبور گلوله از پایین‌ترین نقطه به میخ گیر می‌کند. فرض می‌کنیم میخ بدون اصطکاک، گلوله نقطه‌ای، مقاومت هوا ناچیز و میدان گرانش یکنواخت است. زاویه رهاسازی θ₀ را نسبت به قائمِ رو به پایین می‌سنجیم و گلوله از سکون رها می‌شود.

پیش از گیرکردن، مرکز دایره تکیه‌گاه و شعاع L است. درست پس از گیرکردن، مرکز حرکت میخ و شعاع r = L − d می‌شود. مکان و سرعت گلوله در آن لحظه پیوسته‌اند؛ میخ مسیر را عوض می‌کند، اما در مدل آرمانی کار انجام نمی‌دهد. استفاده از یک شعاع در تمام مسیر، مدل مسئله را از ابتدا نادرست می‌کند.

  • شعاع بخش نخست: L
  • شعاع بخش دوم: r = L − d
  • سرعت در لحظه گیرکردن نخ: پیوسته
  • نیروی کشش: همواره کششی و نامنفی

سرعت لحظه گیرکردن نخ را از انرژی پیدا کن

افت ارتفاع گلوله از زاویه θ₀ تا پایین‌ترین نقطه برابر h = L(1 − cosθ₀) است. با صفرگرفتن انرژی پتانسیل در پایین و چون سرعت آغازین صفر است، mgL(1 − cosθ₀) = ½mv_bottom². جرم حذف می‌شود و به رابطه v_bottom² = 2gL(1 − cosθ₀) می‌رسیم.

علامت داخل پرانتز یک کنترل فوری دارد: برای θ₀ = 0 افت ارتفاع و سرعت صفر است؛ برای رهاسازی از امتداد افقی، θ₀ = 90° و v_bottom² = 2gL؛ و برای زاویه‌های بزرگ‌تر سرعت پایین بیشتر می‌شود. نوشتن 1 + cosθ₀ برای زاویه‌ای که از قائم پایین سنجیده شده، خطای رایج این مرحله است.

شرط دور کامل را با انرژی و کشش نخ بساز

از پایین تا بالای دایره کوچک، گلوله به اندازه 2r بالا می‌رود. پایستگی انرژی می‌دهد ½mv_bottom² = ½mv_top² + 2mgr، پس v_top² = v_bottom² − 4gr. تنها رسیدن هندسی به بالا کافی نیست؛ چون نخ نمی‌تواند گلوله را هل بدهد، کشش باید نامنفی بماند.

در بالاترین نقطه، جهت مرکز رو به پایین است و هر دو نیروی وزن و کشش در همین جهت‌اند: mg + T_top = mv_top²/r. در حالت مرزی دور کامل، T_top = 0 و بنابراین v_top² = gr است. ترکیب این نتیجه با انرژی شرط v_bottom² ≥ 5gr را می‌دهد. اگر فقط v_bottom² ≥ 4gr بنویسی، انرژی رسیدن به بالا را کنترل کرده‌ای اما امکان شل‌شدن نخ را نادیده گرفته‌ای.

  • رسیدن صرف به بالا: v_bottom² ≥ 4gr
  • کشیده‌ماندن نخ در بالا: v_top² ≥ gr
  • شرط کامل و درست: v_bottom² ≥ 5gr

حداقل زاویه رهاسازی را به جای یک فرمول حفظی استخراج کن

دو رابطه پیشین را ترکیب کن: 2gL(1 − cosθ₀) ≥ 5g(L − d). پس cosθ₀ ≤ 1 − 5(L − d)/(2L). این رابطه فقط با تعریف زاویه از قائم رو به پایین معتبر است و پیش از محاسبه باید 0 < d < L را بررسی کنی.

اگر سمت راست از −1 کوچک‌تر باشد، رهاسازی از سکون در هیچ زاویه‌ای تا 180° انرژی کافی نمی‌دهد. اگر در بازه −1 تا 1 باشد، زاویه مرزی از معکوس کسینوس به دست می‌آید. کوچک‌ترشدن r شرط دور کامل را آسان‌تر می‌کند؛ بنابراین نزدیک‌ترشدن میخ به پایین‌ترین نقطه باید زاویه لازم را کاهش دهد، نه افزایش.

مثال حل‌شده: سرعت‌ها، کشش و امکان دور کامل

داده‌ها: گلوله‌ای با جرم m = 0.20 kg به نخ L = 1.00 m بسته است. میخ در فاصله d = 0.60 m زیر تکیه‌گاه قرار دارد و گلوله از سکون در زاویه θ₀ = 120° نسبت به قائم رو به پایین رها می‌شود. با g = 10 m/s² تعیین کن گلوله دور میخ یک دور کامل می‌زند یا نه؛ سپس سرعت پایین، سرعت بالا و کشش نخ در بالاترین نقطه را بیاب.

شعاع تازه r = L − d = 1.00 − 0.60 = 0.40 m است. افت ارتفاع مرحله نخست h = L(1 − cos120°) = 1.00[1 − (−0.50)] = 1.50 m می‌شود. بنابراین v_bottom² = 2gh = 2×10×1.50 = 30 m²/s² و v_bottom = √30 ≈ 5.48 m/s.

برای دور کامل، 5gr = 5×10×0.40 = 20 m²/s² است. چون 30 > 20، شرط برقرار است. سرعت در بالای دایره کوچک از v_top² = 30 − 4×10×0.40 = 14 m²/s² به دست می‌آید؛ پس v_top = √14 ≈ 3.74 m/s.

اکنون معادله شعاعی بالا را می‌نویسیم: T_top = m(v_top²/r − g) = 0.20(14/0.40 − 10) = 5.0 N. واحد عبارت داخل پرانتز m/s² و پس از ضرب در kg، نیوتن است. کشش مثبت نشان می‌دهد نخ در بالا شل نشده و نتیجه دور کامل با مدل نیروها سازگار است.

جواب را با واحد، علامت و حالت مرزی کنترل کن

کنترل انرژی: سرعت بالا باید از سرعت پایین کمتر باشد؛ 3.74 < 5.48 درست است. کنترل شعاعی: کمینه سرعت مجاز در بالا √(gr) = √4 = 2.0 m/s است و سرعت محاسبه‌شده از آن بزرگ‌تر است. کنترل کشش: T_top = 5.0 N مثبت است؛ اگر منفی می‌شد، پاسخ به معنی کشش منفی نبود، بلکه نشان می‌داد نخ پیش از آن نقطه شل شده و دیگر نمی‌توان مسیر را دایره‌ای فرض کرد.

کنترل ابعادی نیز شرط v² ≥ 5gr را تأیید می‌کند: هر دو طرف واحد m²/s² دارند. برای داده‌های همین مثال، زاویه مرزی از cosθ_min = 1 − 5(0.40)/(2×1.00) = 0 به دست می‌آید، یعنی θ_min = 90°. زاویه داده‌شده 120° بزرگ‌تر است؛ پس نتیجه باید با حاشیه‌ای مثبت از شرط مرزی عبور کند.

  • r را L − d گرفته‌ام؟
  • زاویه را از همان راستای تعریف‌شده خوانده‌ام؟
  • شرط 5gr را به‌جای 4gr آزموده‌ام؟
  • منفی‌شدن کشش را تغییر مدل تفسیر کرده‌ام؟
  • واحد سرعت m/s و کشش N است؟
جمع‌بندی

در آونگ با میخ، شعاع پیش از تماس L و پس از تماس r = L − d است؛ همین تغییر شعاع دلیل دو مرحله‌ای‌بودن حل است. از ارتفاع رهاسازی، v_bottom² = 2gL(1 − cosθ₀) را بساز و آن را با شرط v_bottom² ≥ 5g(L − d) مقایسه کن. در مثال L = 1.00 m، d = 0.60 m و θ₀ = 120°، سرعت پایین 5.48 m/s، سرعت بالای دایره 3.74 m/s و کشش آنجا 5.0 N شد؛ مثبت‌بودن کشش و برقراری شرط سرعت تأیید می‌کنند که نخ شل نمی‌شود و دور کامل ممکن است.

منابع علمی