وقتی جسمی در محیطی با ضریب شکست n₁ قرار دارد و از محیطی با ضریب شکست n₂ تقریباً عمود بر سطح دیده میشود، عمق ظاهری آن از رابطه dظاهری = (n₂/n₁)dواقعی به دست میآید. پس جسمی زیر آب که از هوا دیده میشود، کمعمقتر و نزدیکتر به سطح به نظر میرسد. ابتدا محیط جسم و ناظر را درست تعیین کن، سپس عمق ظاهری را حساب کن؛ جابهجایی تصویر برابر اختلاف عمق واقعی و ظاهری است، نه خود عمق ظاهری.
مدل عمق ظاهری را از روی جای جسم و ناظر بساز
سطح جداکننده دو محیط را تخت در نظر بگیر. جسم در محیط ۱ با ضریب شکست n₁ و در فاصله عمودی dواقعی از سطح است؛ ناظر در محیط ۲ با ضریب شکست n₂ قرار دارد. پرتوهای خروجی پس از شکست به چشم میرسند و مغز امتداد مستقیم آنها را دنبال میکند. محل برخورد امتداد پرتوها، تصویر مجازی جسم و فاصله آن تا سطح، عمق ظاهری است.
برای پرتوهای نزدیک به خط عمود، از تقریب زاویههای کوچک و قانون اسنل نتیجه میشود dظاهری/dواقعی = n₂/n₁. این نسبت را با یک عبارت حفظی جایگزین نکن: ضریب شکست محیط ناظر در صورت و ضریب شکست محیط جسم در مخرج قرار میگیرد. به این ترتیب، رابطه برای دیدن جسم از هرکدام از دو سوی مرز قابل استفاده میماند.
- محیط ۱: محیطی که جسم در آن قرار دارد.
- محیط ۲: محیطی که ناظر در آن قرار دارد.
- فاصلهها را عمود بر سطح مشترک اندازه بگیر.
پیش از محاسبه، نزدیک یا دورشدن تصویر را پیشبینی کن
اگر n₁ > n₂ باشد، نسبت n₂/n₁ از یک کوچکتر است و عمق ظاهری از عمق واقعی کمتر میشود. نمونه آشنا، جسم زیر آب برای ناظر در هواست: پرتو هنگام خروج از آب از خط عمود دور میشود و امتداد آن در آب، جسم را نزدیکتر به سطح نشان میدهد.
اگر n₂ > n₁ باشد، عمق ظاهری از عمق واقعی بیشتر است؛ برای مثال ناظری در آب، جسمی را که در هوا و آن سوی یک سطح تخت قرار دارد دورتر از مرز میبیند. این پیشبینی کیفی یک کنترل سریع است: اگر عدد نهایی خلاف آن شد، احتمالاً نسبت ضریب شکستها وارونه نوشته شده است.
مثال حلشده: سکه کف ظرف آب کجا دیده میشود؟
سکهای در کف ظرفی با عمق 24 cm قرار دارد. ضریب شکست آب را 4/3 و ضریب شکست هوا را 1 بگیر و فرض کن ناظر از بالا و نزدیک به خط عمود نگاه میکند. جسم در آب است، پس n₁ = 4/3؛ ناظر در هواست، پس n₂ = 1. بنابراین dظاهری = (1 ÷ 4/3)×24 = 18 cm.
تصویر مجازی سکه 18 cm پایینتر از سطح آب دیده میشود. جابهجایی تصویر نسبت به سکه برابر Δd = dواقعی − dظاهری = 24 − 18 = 6 cm و جهت آن رو به سطح است. اگر سؤال فقط «چقدر بالاتر دیده میشود؟» را بخواهد، پاسخ 6 cm است؛ اگر «در چه عمقی دیده میشود؟» را بخواهد، پاسخ 18 cm خواهد بود.
رابطه را با قانون اسنل کنترل کن
برای یک پرتو نزدیک به عمود، زاویه تابش را i و زاویه شکست را r بگیر. قانون اسنل میگوید n₁ sin i = n₂ sin r. در زاویههای کوچک، نسبت سینوسها تقریباً با نسبت تانژانتها برابر است و از هندسه شکل tan i ≈ x/dواقعی و tan r ≈ x/dظاهری به دست میآید.
با جایگذاری این نسبتها، n₁(x/dواقعی) ≈ n₂(x/dظاهری) و در نتیجه dظاهری/dواقعی ≈ n₂/n₁ حاصل میشود. اگر در تشخیص نزدیکشدن یا دورشدن پرتو از خط عمود مشکل داری، راهنمای قانون اسنل و شکست نور مسیر رسم و قرارداد زاویهها را جداگانه توضیح میدهد.
برای چند لایه، سهم ظاهری هر لایه را جدا حساب کن
اگر ناظر در هوا از بالا به چند لایه شفاف و تخت نگاه کند و زاویه دید کوچک باشد، ضخامت ظاهری هر لایه را جداگانه از tظاهری = (nناظر/nلایه)tواقعی پیدا کن و سهمها را جمع بزن. برای نمونه، تصویر جسمی زیر دو لایه آب و شیشه به اندازه مجموع ضخامت ظاهری آب و شیشه زیر سطح بالایی دیده میشود.
این روش زمانی مستقیم است که مرزها موازی باشند و ناظر تقریباً عمودی نگاه کند. اگر فضای هوایی، جسمی بالاتر از کف یا فاصلهای در همان محیط ناظر وجود دارد، آن فاصله با نسبت یک وارد میشود. پیش از جمع، همه طولها را به یک واحد تبدیل کن.
محدوده اعتبار فرمول را در نظر بگیر
رابطه ساده عمق ظاهری برای سطح تخت و مشاهده نزدیک به خط عمود به دست آمده است. در زاویههای بزرگ، تقریب زاویه کوچک دقیق نیست و مکان ظاهری میتواند به زاویه دید وابسته شود؛ آنجا باید شکل هندسی و قانون اسنل را بدون تقریب حل کنی. برای سطح خمیده نیز این رابطه کافی نیست.
تصویری که از امتداد پرتوهای شکسته ساخته میشود معمولاً مجازی است؛ یعنی پرتوها واقعاً در محل تصویر به هم نمیرسند و نمیتوان آن را روی پرده گرفت. عمق ظاهری همچنین با زاویه بحرانی یکی نیست. زاویه بحرانی و بازتاب کلی به شرط عبور نور از محیط پرضریب به کمضریب و اندازه زاویه تابش مربوطاند.
- سطح مشترک باید تخت باشد.
- نگاه باید نزدیک به راستای عمود باشد.
- ضریب شکستها را برای همان دو محیط مسئله به کار ببر.
- عمق ظاهری و مقدار جابهجایی را جدا گزارش کن.
مسیر حل چهارمرحلهای را در تست اجرا کن
یک: محل جسم و ناظر را مشخص کن. دو: نسبت nناظر/nجسم را بنویس. سه: عمق واقعی را در این نسبت ضرب کن. چهار: اگر جابهجایی خواسته شده، اختلاف عمق واقعی و ظاهری را همراه جهت گزارش بده. این ترتیب جلوی وارونهکردن نسبت یا پاسخدادن به کمیت اشتباه را میگیرد.
در کنترل نهایی بپرس پرتو به خط عمود نزدیک شده یا از آن دور شده است و تصویر باید به سطح نزدیکتر باشد یا دورتر. سپس واحد طول و معقولبودن نسبت را بررسی کن. اگر تصویرسازی مسئله شامل عدسی نیز هست، ابتدا عمق ظاهری را بهعنوان مکان جسم برای مرحله بعد پیدا کن و بعد از راهنمای عدسی نازک استفاده کن.
برای مسئله عمق ظاهری، محیط جسم را ۱ و محیط ناظر را ۲ بگیر و در مشاهده نزدیک به عمود بنویس dظاهری/dواقعی = n₂/n₁. اگر نور به محیط کمضریبتر برود، تصویر به سطح نزدیک میشود؛ اگر ناظر در محیط پرضریبتر باشد، تصویر دورتر از سطح دیده میشود. در پایان، عمق تصویر را با جابهجایی آن اشتباه نگیر و پاسخ را با جهت شکست پرتو کنترل کن.