برای یافتن نقطه صفر میدان الکتریکی دو بار، پیش از نوشتن معادله جهت دو میدان را در سه ناحیه بررسی کن. برای بارهای همنام، میدانها فقط بین دو بار خلاف جهتاند و نقطه صفر در همان فاصله، نزدیکتر به بار کوچکتر قرار میگیرد. برای بارهای ناهمنام، میدانها بین دو بار همجهتاند؛ پس نقطه صفر میان آنها نیست و در بیرون بازه، سمت بار با اندازه کوچکتر قرار میگیرد. پس از تعیین ناحیه، برابری اندازهها یعنی |q₁|/r₁² = |q₂|/r₂² را همراه با رابطه درست فاصلهها حل کن.
نقطه صفر را از برآیند برداری میدان تعریف کن
هر بار منبع در نقطه مورد بررسی میدانی با اندازه E = k|q|/r² میسازد. جهت میدانِ بار مثبت از بار دور و جهت میدانِ بار منفی به سوی بار است. بر اساس اصل برهمنهی، میدان کل جمع برداری میدانهای جداگانه است؛ بنابراین برای صفرشدن میدان، دو بردار باید هماندازه و دقیقاً خلاف جهت باشند.
در نقطه صفر، اگر بار آزمون قرار دهیم نیروی خالص الکتریکی بر آن صفر میشود، زیرا F = q₀E است. خودِ مقدار یا علامت بار آزمون در مکان نقطه صفر نقشی ندارد. همچنین این نقطه نمیتواند روی محل یکی از بارهای نقطهای باشد، چون مدل میدان در r = 0 تعریفشده نیست.
- اندازه هر میدان: E = k|q|/r²
- شرط اندازهها: E₁ = E₂
- شرط جهتها: دو میدان خلاف جهت باشند
سه ناحیه را پیش از حل معادله بررسی کن
دو بار را روی یک خط قرار بده و خط را به سه بخش تقسیم کن: چپ هر دو بار، میان دو بار و راست هر دو بار. در هر بخش فقط جهت میدان ناشی از هر بار را با یک پیکان مشخص کن. بخشی که دو پیکان همجهتاند از همان ابتدا حذف میشود، چون تغییر اندازه میدانها نمیتواند دو بردار همجهت را خنثی کند.
برای دو بار همنام، میدانها در فاصله میان آنها خلاف جهت و در دو ناحیه بیرونی همجهتاند؛ پس نقطه صفر میان بارهاست. برای دو بار ناهمنام، میدانها میان دو بار همجهتاند و تنها در نواحی بیرونی میتوانند خلاف جهت شوند. مقایسه اندازه بارها مشخص میکند کدام سمت ممکن است پاسخ داشته باشد.
برای بارهای همنام، فاصله میان دو بار را تقسیم کن
فرض کن فاصله دو بار d و فاصله نقطه صفر از q₁ برابر x باشد؛ در این صورت فاصله تا q₂ برابر d − x است. از |q₁|/x² = |q₂|/(d − x)² و گرفتن ریشه مثبت داریم √|q₁|/x = √|q₂|/(d − x). همه فاصلهها مثبتاند، پس نیازی به ریشه منفی نیست.
این رابطه نشان میدهد نقطه صفر به بار کوچکتر نزدیکتر است؛ زیرا میدان بار کوچکتر برای برابری با میدان بار بزرگتر باید در فاصله کمتری سنجیده شود. اگر اندازه دو بار برابر باشد، x = d/2 و نقطه صفر دقیقاً وسط آنهاست.
- فاصلهها در ناحیه میانی: x و d − x
- نقطه صفر به بار با |q| کمتر نزدیکتر است.
- برای |q₁| = |q₂|، نقطه میانی پاسخ است.
برای بارهای ناهمنام، سمت بار کوچکتر را انتخاب کن
اگر اندازه دو بار ناهمنام برابر باشد، نقطه صفر متناهی روی خط وجود ندارد: میان بارها دو میدان همجهتاند و در بیرون، نقطه همواره به یکی از بارها نزدیکتر است و میدان همان بار غلبه میکند. اگر اندازهها نابرابر باشند، نقطه صفر در بیرون فاصله و سمت بار کوچکتر قرار دارد.
در ناحیه بیرونی، فاصلهها را x و x + d بنویس، نه x و d − x. اگر x را فاصله از بار کوچکتر بگیری، شرط اندازهها به |qکوچک|/x² = |qبزرگ|/(x + d)² تبدیل میشود. پاسخ مثبت این معادله باید واقعاً در همان سمت انتخابشده قرار گیرد؛ ریشهای که با ناحیه فرضشده سازگار نیست، جواب فیزیکی نیست.
مثال حلشده: نقطه صفر میدان بارهای ۱ و ۴ میکروکولن
دو بار مثبت q₁ = +1 μC و q₂ = +4 μC به فاصله d = 30 cm قرار دارند. چون بارها همناماند، نقطه صفر میان آنهاست. فاصله نقطه از بار 1 μC را x میگیریم؛ پس فاصله آن از بار 4 μC برابر 30 − x سانتیمتر است.
از 1/x² = 4/(30 − x)² و ریشهگیری میرسیم به 1/x = 2/(30 − x). بنابراین 30 − x = 2x، پس x = 10 cm. نقطه صفر ۱۰ سانتیمتر از بار کوچکتر و ۲۰ سانتیمتر از بار بزرگتر فاصله دارد.
کنترل جواب: در این نقطه، نسبت فاصلهها 1 به 2 و نسبت مجذور فاصلهها 1 به 4 است؛ دقیقاً همان نسبتی که اختلاف اندازه بارها را جبران میکند. دو میدان نیز چون نقطه میان دو بار مثبت است، خلاف جهتاند.
مسیر حل را با چهار کنترل کوتاه کامل کن
یک: علامت و اندازه هر بار را جدا بنویس. دو: در سه ناحیه جهت میدانها را رسم و ناحیههای همجهت را حذف کن. سه: فاصلههای نقطه تا دو بار را متناسب با ناحیه، به صورت x و d − x یا x و x + d بساز. چهار: برابری اندازه میدانها را حل و جای پاسخ را با فرض اولیه کنترل کن.
نقطه صفر میدان را با نقطه صفر پتانسیل یکی نگیر. میدان کمیتی برداری است، اما پتانسیل به صورت جبری جمع میشود؛ ازاینرو ممکن است در نقطهای V = 0 باشد ولی E صفر نباشد، یا برعکس. برای مرور تفاوت این دو کمیت، راهنمای میدان یا پتانسیل الکتریکی و برای ساخت میدان هر بار، مقاله قانون کولن و برآیند نیرو را بخوان.
- جهتها را قبل از اندازهها بررسی کن.
- در معادله میدان از اندازه بارها استفاده کن.
- ریشه جبری را فقط پس از کنترل ناحیه بپذیر.
نقطه صفر میدان جایی است که بردارهای میدان دو بار هماندازه و خلاف جهت باشند. همنامبودن بارها نقطه را میان آنها و ناهمنامبودن، در صورت نابرابری اندازهها، آن را بیرون بازه و سمت بار کوچکتر قرار میدهد. ابتدا ناحیه را با پیکانها انتخاب کن، سپس نسبت فاصلهها را از برابری میدانها بساز و در پایان جهتها و فاصله هندسی را دوباره کنترل کن. صفرشدن میدان نیز الزاماً به معنی صفرشدن پتانسیل نیست.