در نمودار پتانسیل الکتریکی بر حسب مکان (V–x)، ارتفاع نمودار مقدار پتانسیل و شیب آن مؤلفه میدان را میدهد: Ex = −ΔV/Δx برای یک بازه خطی و Ex = −dV/dx در حالت کلی. پس شیب منفی یعنی میدان در جهت مثبت x و شیب مثبت یعنی میدان در جهت منفی x. برای بررسی حرکت ذره نیز ابتدا ΔU = qΔV را بنویس؛ بار مثبت تمایل دارد به پتانسیل کمتر و بار منفی به پتانسیل بیشتر حرکت کند. خود نمودار V–x مسیر ذره یا نمودار انرژی پتانسیل نیست.
ارتفاع نمودار را پتانسیل بخوان، نه ارتفاع فیزیکی
محور افقی نمودار، مکان x و محور عمودی، پتانسیل الکتریکی V بر حسب ولت است. نقطهای بالاتر روی نمودار فقط پتانسیل بیشتری دارد؛ الزاماً در فضای واقعی بالاتر نیست. همچنین V ویژگی میدان و مکان است و به بار آزمایشی وابسته نیست. اگر در یک نقطه چند بار متفاوت قرار دهیم، همه همان V را میبینند اما انرژی پتانسیل qV و نیروی qE آنها متفاوت است.
اختلاف پتانسیل میان A و B از VB − VA به دست میآید. مقدار صفر پتانسیل قراردادی است، اما اختلاف پتانسیل و میدان حاصل از تغییرات آن معنای فیزیکی دارند. جابهجاکردن کل نمودار به اندازه یک ثابت، شیب و میدان را عوض نمیکند.
- ارتفاع منحنی: پتانسیل V
- تغییر عمودی بین دو نقطه: ΔV
- شیب منحنی با علامت منفی: مؤلفه میدان Ex
میدان را از منفی شیب نمودار به دست آور
در یک بازه خطی، شیب برابر ΔV/Δx است و مؤلفه میدان از Ex = −ΔV/Δx به دست میآید. اگر V با زیادشدن x کاهش یابد، شیب منفی و Ex مثبت است؛ یعنی میدان به راست جهت دارد. اگر V با x افزایش یابد، میدان به چپ است. اندازه شیب بیشتر نیز میدان قویتر را نشان میدهد.
یکای شیب ولت بر متر است که با نیوتن بر کولن برای میدان الکتریکی همارز است. هنگام محاسبه، فاصله را به متر تبدیل کن. مثلاً افت 12 V در فاصله 3 cm به میدان 12/0.03 = 400 V/m میانجامد، نه 4 V/m.
- شیب منفی: Ex > 0
- شیب مثبت: Ex < 0
- شیب صفر: Ex = 0
- تندی تغییر V بیشتر: اندازه میدان بیشتر
نمودار چندتکه را بازهبهبازه تحلیل کن
در نمودار شکسته، برای هر پارهخط یک شیب و در نتیجه یک میدان ثابت جداگانه وجود دارد. بخش افقی همپتانسیل است و مؤلفه میدان در راستای x در آن صفر میشود. اگر دو بازه شیبهای متفاوت داشته باشند، حتی با پیوستهبودن پتانسیل، میدان میتواند ناگهان تغییر کند.
در گوشه تیز نمودار، شیب یکتایی وجود ندارد؛ بنابراین میدان دقیقاً در مدل ریاضی آن نقطه از روی مشتق معمول تعیین نمیشود. در تست دبیرستانی معمولاً باید میدان درست در سمت چپ و درست در سمت راست را جدا گزارش کنی. پیوستگی خود نمودار را هم با پیوستگی شیب اشتباه نگیر.
جهت نیرو و حرکت را با علامت بار مشخص کن
پس از یافتن میدان، نیرو از F = qE به دست میآید. برای بار مثبت، نیرو همجهت میدان و برای بار منفی خلاف آن است. اگر ذره از سکون رها شود، شتاب آغازین در جهت همین نیرو خواهد بود. اما برای ذرهای که از قبل سرعت دارد، جهت نیرو بهتنهایی جهت حرکت را تعیین نمیکند؛ نیرو ممکن است ذره را تند یا کند کند.
میانبر انرژی همین نتیجه را میدهد. چون U = qV، بار مثبت با حرکت خودبهخودی به سوی پتانسیل کمتر انرژی پتانسیل از دست میدهد. برای بار منفی، کمشدن U به معنی رفتن به سوی V بیشتر است. عبارت «بار همیشه به پتانسیل کمتر میرود» فقط برای بار مثبت درست است.
تغییر تندی را از اختلاف پتانسیل حساب کن
اگر فقط نیروی الکتریکی کار کند، K + U پایسته است و با U = qV داریم ΔK = −ΔU = −qΔV. مثبتشدن ΔK یعنی انرژی جنبشی و تندی بیشتر شده است؛ منفیشدن آن یعنی ذره کندتر شده است. برای محاسبه سرعت میتوان نوشت Kf = Ki − q(Vf − Vi) و سپس از K = ½mv² استفاده کرد.
در این مرحله علامت q را همراه مقدار آن وارد کن. اگر بار منفی از 20 V به 80 V برود، ΔV مثبت ولی qΔV منفی است؛ پس ΔU کاهش و ΔK افزایش مییابد. همین مثال نشان میدهد چرا تصمیمگیری فقط از روی بالا یا پایین رفتن نمودار کافی نیست.
مثال حلشده: میدان و سرعت پروتون از یک پارهخط V–x
در بازه 0 ≤ x ≤ 0.20 m، پتانسیل بهطور خطی از VA = 120 V به VB = 40 V کاهش مییابد. پروتونی با بار +e و انرژی جنبشی آغازین 50 eV از A به سوی B حرکت میکند. میدان، جهت نیرو و انرژی جنبشی آن در B را پیدا میکنیم.
شیب نمودار (40 − 120)/(0.20 − 0) = −400 V/m است؛ پس Ex = −(−400) = +400 V/m و میدان به سوی +x است. چون پروتون مثبت است، نیرو نیز به سوی +x خواهد بود.
اختلاف پتانسیل ΔV = 40 − 120 = −80 V است. برای پروتون، ΔU = e(−80 V) = −80 eV و در نتیجه ΔK = +80 eV. بنابراین Kf = 50 + 80 = 130 eV است و پروتون تندتر میشود. اگر ذره الکترون بود، علامت تغییر انرژی برعکس میشد.
پتانسیل صفر را با میدان صفر یکی نگیر
ممکن است نمودار محور V = 0 را با شیب غیرصفر قطع کند؛ در آن نقطه پتانسیل صفر ولی میدان ناصفر است. برعکس، روی یک قسمت افقی ممکن است V مقدار ناصفر ثابتی داشته باشد اما میدان در راستای x صفر باشد. صفر بودن یک کمیت از مقدار نمودار میآید و صفر بودن دیگری از شیب آن.
در نقطهای که شیب لحظهای صفر است، نیروی الکتریکی روی بار آزمایشی صفر میشود؛ اما برای تشخیص پایداری حرکت باید شکل اطراف نقطه و علامت بار را نیز بررسی کرد. کمینه V برای بار مثبت با کمینه U همراه است، در حالی که برای بار منفی همان کمینه V به بیشینه U تبدیل میشود.
مسئله نمودار V–x را با یک مسیر ثابت حل کن
یک: مختصات و واحدهای دو نقطه بازه را بخوان. دو: شیب ΔV/Δx را حساب کن. سه: علامت منفی را اعمال و Ex را تعیین کن. چهار: با F = qE جهت نیرو را از علامت بار بساز. پنج: اگر تغییر سرعت خواسته شده، ΔV را از پایان منهای آغاز بنویس و از ΔK = −qΔV استفاده کن. شش: پاسخ را با جهت کاهش انرژی پتانسیل کنترل کن.
خطاهای رایج عبارتاند از حذف علامت منفی رابطه میدان، استفاده از سانتیمتر بدون تبدیل، یکیگرفتن V با U و فرض اینکه جهت نیرو همیشه همان جهت حرکت است. اگر سؤال فقط میدان را میخواهد، جرم و مقدار بار دادههای لازم نیستند؛ این تشخیص میتواند مسیر حل را کوتاه کند.
- ΔV را همیشه Vپایان − Vآغاز بنویس.
- برای میدان، شیب محلی یا شیب همان بازه را به کار ببر.
- علامت q فقط در نیرو و انرژی وارد میشود، نه در استخراج E از V.
- واحد نهایی میدان باید V/m یا N/C باشد.
برای خواندن نمودار V–x سه لایه را جدا نگه دار: ارتفاع نمودار پتانسیل V، منفی شیب آن میدان Ex و حاصل qV انرژی پتانسیل U است. در هر قطعه خطی، Ex = −ΔV/Δx را با یکای V/m حساب کن؛ در بخش افقی میدان صفر و در محل گوشه فقط میدان دو سوی نقطه را جداگانه بخوان. سپس با ΔU = qΔV و ΔK = −qΔV تغییر تندی را تعیین کن. بار مثبت خودبهخود به V کمتر و بار منفی به V بیشتر میرود. در پایان، علامت بار، جهت میدان و تفاوت «پتانسیل صفر» با «میدان صفر» را دوباره کنترل کن.