نمودارهای مکان، سرعت و شتاب در نوسان ساده؛ تشخیص فاز و اختلاف زمان

سه نمودار را سه نمایش از یک حرکت ببین

اگر مکان نوسانگر با x(t) = A cos(ωt + φ) توصیف شود، دامنه A بیشترین فاصله از نقطه تعادل، ω بسامد زاویه‌ای و φ فاز اولیه است. مشتق مکان، سرعت را می‌دهد: v(t) = −Aω sin(ωt + φ). مشتق دوم نیز شتاب است: a(t) = −Aω² cos(ωt + φ) = −ω²x(t). بنابراین هر سه نمودار دوره یکسان T = 2π/ω دارند، اما دامنه و فاز آن‌ها یکسان نیست.

دامنه نمودار مکان A، دامنه نمودار سرعت Aω و دامنه نمودار شتاب Aω² است. پس بلندتر دیده‌شدن یکی از منحنی‌ها روی کاغذ لزوماً معنای فیزیکی ندارد؛ محورهای عمودی واحدهای متفاوت متر، متر بر ثانیه و متر بر مجذور ثانیه دارند. برای مقایسه، ابتدا مقیاس هر محور را بخوان.

• دوره هر سه نمودار برابر T است.
• v شیب نمودار x بر حسب زمان است.
• a شیب نمودار v و همواره خلاف علامت x است.

نقاط شاخص را پیش از رسم نمودار علامت بزن

در x = +A نوسانگر در انتهای مثبت مسیر است: v = 0 و a = −ω²A، یعنی شتاب با بیشترین اندازه به سوی تعادل است. در x = 0، شتاب صفر می‌شود و اندازه سرعت به Aω می‌رسد؛ علامت سرعت به جهت عبور از تعادل بستگی دارد. در x = −A نیز v = 0 و a = +ω²A است.

از یک انتهای مسیر تا نقطه تعادل T/4، از تعادل تا انتهای دیگر T/4 و از یک انتها تا انتهای مقابل T/2 زمان می‌گذرد. این فاصله‌های زمانی فقط برای نوسان هماهنگ ساده و حرکت میان همین نقاط شاخص‌اند؛ برای مکانی دلخواه نباید زمان را متناسب با فاصله خطی فرض کرد، چون سرعت ثابت نیست.

• x = +A: سرعت صفر، شتاب منفی و با اندازه بیشینه.
• x = 0: شتاب صفر، سرعت با اندازه بیشینه.
• x = −A: سرعت صفر، شتاب مثبت و با اندازه بیشینه.

علامت سرعت را از شیب مکان پیدا کن

وقتی نمودار مکان–زمان صعودی است، dx/dt مثبت و نوسانگر در جهت مثبت حرکت می‌کند؛ وقتی نمودار نزولی است، سرعت منفی است. در قله و دره نمودار مکان، مماس افقی و سرعت صفر است. در عبور از x = 0، قدر مطلق شیب و در نتیجه اندازه سرعت بیشینه می‌شود.

برای شتاب حتی به رسم مماس نیاز نیست: از a = −ω²x استفاده کن. بالای محور زمان، یعنی x مثبت، شتاب منفی است و پایین محور زمان، شتاب مثبت. در نقاطی که مکان صفر است، شتاب نیز صفر است. این رابطه همچنین نشان می‌دهد نمودار شتاب نسخه وارونه نمودار مکان با مقیاس عمودی ω² است.

اختلاف فاز را به جابه‌جایی زمانی تبدیل کن

در نمایش کسینوسی، نمودار سرعت نسبت به نمودار مکان به اندازه π/2 در فاز جلوتر است؛ یعنی ویژگی متناظر آن T/4 زودتر رخ می‌دهد. شتاب نسبت به مکان اختلاف فاز π دارد و نمودار آن از نظر زمانی نیم‌دوره جابه‌جا به نظر می‌رسد؛ البته راه ساده‌تر همان وارونه‌کردن علامت مکان است.

رابطه عمومی میان اختلاف فاز و اختلاف زمان |Δφ| = ω|Δt| = 2π|Δt|/T است. برای نمونه، اختلاف فاز π/3 معادل اختلاف زمانی T/6 است. جلوتر یا عقب‌تر بودن را فقط با علامت یا ترتیب رخدادها تعیین کن؛ اگر سؤال صرفاً اندازه اختلاف فاز را بخواهد، مقدار مثبت کافی است.

• اختلاف فاز π/2 برابر یک‌چهارم دوره است.
• اختلاف فاز π برابر نصف دوره است.
• اختلاف فاز 2π یک دوره کامل و همان حالت حرکتی است.

مثال حل‌شده: از معادله مکان تا وضعیت حرکت

نوسانگری با معادله x = 0.08 cos(4πt) در SI حرکت می‌کند. از ضریب کسینوس، A = 0.08 m و از ضریب زمان، ω = 4π rad/s است؛ پس T = 2π/ω = 0.50 s. بیشینه سرعت vmax = Aω = 0.32π m/s و بیشینه شتاب amax = Aω² = 1.28π² m/s² می‌شود.

در t = 0، مکان +A، سرعت صفر و شتاب −amax است. پس نوسانگر از انتهای مثبت مسیر شروع می‌کند و به سوی تعادل راه می‌افتد. در t = T/4 = 0.125 s به x = 0 می‌رسد؛ چون نمودار مکان در این بازه نزولی است، سرعت آن −vmax و شتاب صفر است. در t = T/2 = 0.25 s نیز به x = −A می‌رسد، سرعت صفر و شتاب +amax خواهد بود.

اگر فقط وضعیت در t = 0.125 s خواسته شده باشد، جای‌گذاری مستقیم ممکن است علامت سرعت را پنهان کند. ترتیب نقاط شاخص نشان می‌دهد عبور از تعادل به سوی مکان‌های منفی است، بنابراین سرعت منفی است. کنترل واحد نیز مفید است: Aω باید واحد m/s و Aω² باید واحد m/s² بدهد.

از روی نمودار، معادله مناسب بساز

ابتدا دامنه را از بیشترین فاصله عمودی نمودار مکان تا خط تعادل و دوره را از فاصله زمانی دو قله متوالی بخوان. سپس ω = 2π/T را حساب کن. اگر در t = 0 نمودار از +A آغاز می‌شود، x = A cos(ωt) انتخاب ساده‌ای است؛ اگر از صفر با شیب مثبت می‌گذرد، x = A sin(ωt) مناسب‌تر است.

اگر نقطه شروع هیچ‌کدام از این حالت‌های ساده نیست، می‌توان φ را با x(0) = A cosφ پیدا کرد، اما این معادله به‌تنهایی جهت حرکت را مشخص نمی‌کند؛ علامت شیب آغازین یا v(0) شاخه درست فاز را تعیین می‌کند. همین نکته مانع انتخاب دو پاسخ زاویه‌ای هم‌ارزش از نظر کسینوس ولی ناسازگار با جهت حرکت می‌شود.

دام‌های رایج و دامنه مدل را کنترل کن

سرعت را با شیب خطی که مبدأ را به نقطه نمودار وصل می‌کند اشتباه نگیر؛ سرعت لحظه‌ای شیب مماس بر نمودار مکان است. همچنین v = ±ω√(A² − x²) فقط اندازه و دو جهت ممکن را نشان می‌دهد و علامت واقعی باید از جهت حرکت به دست آید. در انتهای مسیر نیز صفرشدن سرعت به معنای صفرشدن شتاب نیست.

این روابط برای نوسان هماهنگ ساده‌اند؛ یعنی شتاب با مکان نسبت مستقیم و علامت مخالف دارد. در نوسان میرا یا اجباری، دامنه یا اختلاف فاز می‌تواند رفتار دیگری داشته باشد. روابط مشتق، فاز و نقاط شاخص این راهنما با فصل Oscillations از کتاب آزاد University Physics, Volume 1 نوشته OpenStax تطبیق داده شده است. برای یافتن سرعت از پایستگی انرژی، راهنمای انرژی نوسانگر و برای مرور واحدها، مقاله تحلیل ابعادی را در بخش راهنماهای مرتبط ببین.