در معادله استاندارد موج رونده y(x,t) = A sin(kx − ωt + φ₀)، دامنه A، عدد موج k = 2π/λ و بسامد زاویهای ω = 2πf است و موج در جهت مثبت محور x حرکت میکند. اگر میان جملههای kx و ωt علامت مثبت باشد، جهت انتشار منفی x است. پس ابتدا معادله را به فرم استاندارد مرتب کن، سپس از ضریب x طول موج، از ضریب t بسامد و از v = ω/k سرعت انتشار را به دست آور؛ برای تعیین جهت حرکت یک ذره محیط نیز باید مشتق زمانی y را بررسی کنی، نه جهت حرکت خود موج را.
معادله را پیش از خواندن به فرم استاندارد ببر
موج سینوسی رونده را میتوان به صورت y(x,t) = A sin(kx − ωt + φ₀) نوشت. y جابهجایی ذرهای از محیط است که در مکان x و لحظه t قرار دارد؛ A بیشترین اندازه این جابهجایی و عبارت داخل سینوس، فاز موج است. استفاده از کسینوس بهجای سینوس ماهیت موج را عوض نمیکند و فقط فاز آغازین را تغییر میدهد.
پرانتزها را باز یا جمع و معادله را مرتب کن تا ضرایب x و t روشن شوند. علامت منفی بیرون تابع را میتوان در دامنه یا فاز جذب کرد، اما برای تشخیص جهت انتشار باید علامت نسبی جملههای مکانی و زمانی را پس از مرتبسازی بخوانی. k و ω را همواره بهصورت مقدار مثبت گزارش کن.
- دامنه برابر قدرمطلق ضریب بیرون سینوس یا کسینوس است.
- ضریب x عدد موج k با واحد rad/m است.
- ضریب t بسامد زاویهای ω با واحد rad/s است.
از ضرایب معادله، کمیتهای موج را استخراج کن
از k = 2π/λ داریم λ = 2π/k و از ω = 2πf = 2π/T داریم f = ω/(2π) و T = 2π/ω. سرعت انتشار نیز v = λf = ω/k است. این سرعت، سرعت جابهجایی شکل موج در محیط است و با سرعت بالا و پایین رفتن ذرات محیط یکی نیست.
اگر x و y در SI نوشته شده باشند، λ و A بر حسب متر و سرعت بر حسب متر بر ثانیه به دست میآید. اگر صورت سؤال x را بر حسب سانتیمتر تعریف کرده باشد، ضریب x نیز با همان واحد سازگار است؛ پیش از ترکیب دادهها با رابطههای دیگر، واحدها را یکدست کن.
جهت انتشار را از ثابتماندن فاز تشخیص بده
برای یک نقطه مشخص از شکل موج، فاز ثابت میماند. در kx − ωt + φ₀ = ثابت، با افزایش t باید x نیز افزایش یابد؛ پس شکل موج در جهت مثبت x جابهجا میشود. در kx + ωt + φ₀ = ثابت، افزایش زمان با کاهش x همراه است و موج به جهت منفی x میرود.
قاعده کوتاه این است: علامتهای مخالف برای جملههای x و t یعنی حرکت در جهت مثبت x و علامتهای یکسان یعنی حرکت در جهت منفی x، به شرط آنکه k و ω را مثبت گرفته باشی. بهجای حفظ این قاعده میتوانی هر بار رابطه فاز ثابت را در یک خط بنویسی.
- f(kx − ωt): انتشار به سوی +x
- f(kx + ωt): انتشار به سوی −x
- تغییر سینوس به کسینوس جهت انتشار را تغییر نمیدهد.
جهت حرکت ذره محیط را با جهت موج اشتباه نگیر
در موج عرضی روی تار، موج در امتداد x منتشر میشود اما هر ذره تار در راستای y نوسان میکند. سرعت عرضی ذره از مشتق زمانی جابهجایی به دست میآید. برای y = A sin(kx − ωt + φ₀)، داریم uᵧ = ∂y/∂t = −Aω cos(kx − ωt + φ₀). علامت uᵧ در یک x و t معین نشان میدهد ذره رو به بالا یا پایین حرکت میکند.
یک راه نموداری نیز وجود دارد. برای موجی که به سوی +x میرود، سرعت عرضی ذره خلاف علامت شیب نمودار y بر حسب x است؛ یعنی uᵧ = −v(∂y/∂x). برای موج رو به −x، این دو همعلامتاند. این قاعده فقط پس از مشخصکردن جهت انتشار قابل استفاده است.
مسئله معادله موج را در شش گام حل کن
یک: واحد x، y و t را از صورت سؤال بخوان. دو: معادله را به فرم سینوسی یا کسینوسی استاندارد مرتب کن. سه: A، k، ω و φ₀ را با علامت و جای درست شناسایی کن. چهار: λ، f، T و v را از روابط پایه بساز. پنج: جهت انتشار را از علامت نسبی kx و ωt تعیین کن. شش: اگر وضعیت یک ذره خواسته شده، x و t آن را در فاز قرار بده و y یا مشتق زمانی را حساب کن.
همه خواستهها به جایگذاری عددی نیاز ندارند. برای مقایسه دو موج، ممکن است نسبت ω/k یا فقط علامت فاز کافی باشد. همچنین φ₀ بر دامنه، طول موج، بسامد و سرعت انتشار اثر ندارد؛ این ثابت فقط وضعیت اولیه موج را تعیین میکند.
مثال حلشده: خواندن کامل یک معادله موج
موجی روی یک تار با معادله y(x,t) = 0.04 sin(5πx − 20πt + π/6) در SI منتشر میشود. دامنه، طول موج، بسامد، سرعت و جهت انتشار را بیاب و تعیین کن ذره واقع در x = 0 در لحظه t = 0 به کدام جهت حرکت میکند.
از روی معادله A = 0.04 m، k = 5π rad/m و ω = 20π rad/s است. بنابراین λ = 2π/(5π) = 0.40 m، f = 20π/(2π) = 10 Hz و v = ω/k = 4 m/s. چون جملههای مکانی و زمانی علامت مخالف دارند، موج به سوی +x منتشر میشود.
برای ذره x = 0 در t = 0، فاز برابر π/6 است. سرعت عرضی uᵧ = −Aω cos(π/6) میشود و چون کسینوس π/6 مثبت است، uᵧ منفی است؛ پس ذره در آن لحظه رو به پایین حرکت میکند. این نتیجه با جهت +x موج تناقضی ندارد، زیرا جهت انتشار موج و جهت نوسان ذره دو مفهوم جدا هستند.
چهار خطای رایج را پیش از انتخاب گزینه کنترل کن
اول، k را با λ و ω را با f یکی نگیر؛ در هر دو تبدیل عامل 2π وجود دارد. دوم، سرعت موج ω/k را با بیشینه سرعت ذره Aω اشتباه نکن. سوم، جهت انتشار را از علامت کل تابع یا مقدار φ₀ حدس نزن؛ فقط علامت نسبی جملههای x و t تعیینکننده است. چهارم، برای جهت حرکت ذره به جهت انتشار موج اکتفا نکن و مشتق زمانی یا قاعده شیب را به کار ببر.
برای کنترل نهایی باید |y| از A بیشتر نشود، حاصل λf با ω/k برابر باشد و واحد سرعت طول بر زمان شود. اگر سرعت موج روی تار از ویژگیهای محیط خواسته شده باشد، راهنمای سرعت موج روی تار ارتباط آن را با کشش و چگالی خطی توضیح میدهد؛ برای الگوهای گره و شکم نیز مقاله موج ایستاده ادامه مناسب این بحث است.
برای خواندن معادله موج رونده، آن را به فرم A sin(kx ∓ ωt + φ₀) یا فرم کسینوسی همارز ببر. قدرمطلق ضریب x عدد موج و قدرمطلق ضریب t بسامد زاویهای است؛ بنابراین λ = 2π/k، T = 2π/ω و v = ω/k. علامت میان دو جمله جهت انتشار شکل موج را تعیین میکند، اما جهت حرکت هر ذره از علامت ∂y/∂t در همان مکان و لحظه به دست میآید. در پایان، واحد ضرایب، کران |y| ≤ A و سازگاری v = λf را کنترل کن.