برای یافتن حداقل ارتفاع جسم غلتان در حلقه، باید شرط تماس و پایستگی انرژی را هم‌زمان به کار ببریم. در بالای حلقه و در حالت مرزی، نیروی عمودی سطح صفر است؛ پس سرعت مرکز جرم از v_top² = gρ به دست می‌آید که ρ شعاع مسیر مرکز جرم است. سپس انرژی آغاز را با انرژی پتانسیل، جنبشی انتقالی و جنبشی دورانی در بالای حلقه برابر می‌کنیم. اگر I = kmr² باشد، نتیجه عمومی h_min = ((5 + k)/2)ρ است؛ برای کره توپر k = 2/5 و h_min = 2.7ρ می‌شود.

صورت مسئله، داده‌ها و فرض‌ها را روشن کن

کره‌ای توپر با جرم m = 0.50 kg و شعاع r = 0.10 m از سکون روی مسیری رها می‌شود، بدون لغزش پایین می‌آید و وارد سطح داخلی یک حلقه قائم با شعاع R = 1.10 m می‌شود. با g = 10 m/s²، کمترین ارتفاع مرکز جرم در نقطه رهاسازی نسبت به پایین‌ترین مکان مرکز جرم، سرعت کره در بالای حلقه و نیروی عمودی سطح در پایین حلقه را پیدا کن.

فرض می‌کنیم کره صلب است، مقاومت هوا و اتلاف غلتشی ناچیزند و قید ایدئالِ غلتش بدون لغزش در تمام مسیر برقرار می‌ماند. اصطکاک ایستایی در این مدل در نقطه تماس جابه‌جایی نسبی ندارد و انرژی مکانیکی را تلف نمی‌کند. برای کره توپر I = (2/5)mr² است؛ بنابراین در نمادگذاری I = kmr² داریم k = 2/5. اگر ضریب اصطکاک واقعی داده شود، کافی‌بودن اصطکاک باید جداگانه بررسی شود و نتیجه این مقاله به‌تنهایی آن را تضمین نمی‌کند.

نکته هندسی مهم این است که مرکز جرم روی خودِ خط سطح حرکت نمی‌کند. چون کره درون حلقه است، شعاع مسیر دایره‌ای مرکز جرم برابر ρ = R − r = 1.10 − 0.10 = 1.00 m است. اختلاف ارتفاع مرکز جرم از پایین تا بالای حلقه نیز 2ρ، نه 2R، خواهد بود.

  • جرم و شعاع کره: m = 0.50 kg و r = 0.10 m
  • شعاع سطح حلقه: R = 1.10 m
  • شعاع مسیر مرکز جرم: ρ = R − r = 1.00 m
  • شرط حرکت: غلتش بدون لغزش و بدون اتلاف انرژی

حداقل ارتفاع جسم غلتان در حلقه را از شرط تماس آغاز کن

در بالای حلقه، جهت رو به مرکز دایره رو به پایین است. وزن mg و نیروی عمودی سطح N هر دو در همین راستا هستند؛ پس معادله شعاعی N + mg = mv_top²/ρ است. عبارت mv²/ρ نیروی تازه‌ای نیست، بلکه اندازه برآیند نیروهای واقعی در راستای مرکز است.

برای کمترین ارتفاعی که هنوز دور کامل ممکن است، کره در بالاترین نقطه درست در آستانه جداشدن از سطح قرار دارد؛ بنابراین N_top = 0. معادله به mg = mv_top²/ρ تبدیل می‌شود و v_top² = gρ به دست می‌آید. با ρ = 1.00 m، سرعت مرزی v_top = √10 ≈ 3.16 m/s است.

علامت‌ها یک کنترل فیزیکی می‌دهند: اگر از معادله N = mv²/ρ − mg مقدار منفی به دست آید، سطح باید کره را به بیرون بکشد؛ اما سطح چنین نیرویی وارد نمی‌کند و تماس پیش‌تر قطع شده است. پس N ≥ 0 شرط اعتبار مسیر حلقه‌ای و N = 0 فقط مرز حداقل است.

انرژی انتقالی و دورانی را جداگانه وارد کن

در غلتش بدون لغزش v = ωr است. انرژی جنبشی کره در هر نقطه K = ½mv² + ½Iω² است. با I = kmr² و ω = v/r، این انرژی به K = ½mv²(1 + k) تبدیل می‌شود. برای کره توپر k = 2/5 است؛ پس حذف جمله دورانی، بخشی از انرژی لازم را نادیده می‌گیرد.

پایین‌ترین جای مرکز جرم را تراز صفر انرژی پتانسیل می‌گیریم. کره از سکون و ارتفاع h رها می‌شود، پس انرژی آغاز mgh است. در بالای حلقه، ارتفاع مرکز جرم 2ρ و انرژی آن mg(2ρ) + ½mv_top²(1 + k) است. چون اتلافی در مدل نداریم، دو انرژی را برابر قرار می‌دهیم.

با جای‌گذاری v_top² = gρ داریم mgh = 2mgρ + ½mgρ(1 + k). پس جرم و g حذف می‌شوند و h_min = [2 + (1 + k)/2]ρ = ((5 + k)/2)ρ به دست می‌آید. واحد سمت راست طول است، زیرا ضریب بی‌بعد در ρ با واحد متر ضرب شده است.

محاسبه کره توپر را مرحله‌به‌مرحله کامل کن

برای کره توپر k = 2/5 است. بنابراین h_min = ((5 + 0.4)/2)×1.00 = 2.70 m. این ارتفاع مربوط به مرکز جرم و نسبت به پایین‌ترین مکان همان مرکز است. سرعت بالای حلقه نیز از مرحله دینامیک v_top ≈ 3.16 m/s به دست آمد.

برای یافتن سرعت در پایین حلقه، انرژی رهاسازی فقط به انرژی جنبشی تبدیل می‌شود: mgh = ½mv_bottom²(1 + k). پس v_bottom² = 2gh/(1 + k) = 2×10×2.70/1.40 ≈ 38.57 m²/s² و v_bottom ≈ 6.21 m/s است.

در پایین حلقه، جهت رو به مرکز رو به بالاست؛ بنابراین N_bottom − mg = mv_bottom²/ρ. در نتیجه N_bottom = m(g + v_bottom²/ρ) = 0.50(10 + 38.57) ≈ 24.3 N. واحد نیرو درست است، زیرا kg×m/s² به N تبدیل می‌شود.

  • کمترین ارتفاع مرکز جرم: h_min = 2.70 m
  • سرعت مرزی در بالا: v_top ≈ 3.16 m/s
  • سرعت در پایین: v_bottom ≈ 6.21 m/s
  • نیروی عمودی سطح در پایین: N_bottom ≈ 24.3 N

جواب را با تراز انرژی و حالت ذره کنترل کن

کنترل انرژی: انرژی آغاز mgh = 0.50×10×2.70 = 13.5 J است. در بالا، انرژی پتانسیل mg(2ρ) = 10 J و انرژی جنبشی کل ½×0.50×10×1.40 = 3.5 J می‌شود؛ جمع آن‌ها دقیقاً 13.5 J است.

کنترل معقول‌بودن: برای یک ذره بدون دوران، k = 0 و فرمول عمومی h_min = 2.5ρ می‌دهد. کره توپر باید بالاتر از ذره رها شود، چون در بالای حلقه علاوه بر انرژی انتقالی، انرژی دورانی هم دارد؛ عدد 2.7ρ با این انتظار سازگار است. برای حلقه نازک با k = 1 نیز ارتفاع به 3ρ می‌رسد.

کنترل تماس: در بالا N = 0 و در پایین N ≈ 24.3 N مثبت است. همچنین سرعت پایین از سرعت بالا بیشتر است، چون کره هنگام بالا رفتن 2ρ ارتفاع می‌گیرد. هر پاسخ که سرعت بالا را صفر، نیروی پایین را منفی یا ارتفاع کره توپر را کمتر از 2.5ρ بدهد با مدل سازگار نیست.

خطاهای رایج مسئله جسم غلتان در حلقه را حذف کن

خطای نخست استفاده از R به‌جای ρ = R − r است. شعاع در شتاب مرکزگرا و اختلاف ارتفاع باید شعاع مسیر مرکز جرم باشد. فقط وقتی اندازه جسم در برابر حلقه ناچیز فرض شود می‌توان ρ را تقریباً برابر R گرفت.

خطای دوم نوشتن K = ½mv² و حذف ½Iω² است؛ این کار مدل کره غلتان را به ذره لغزنده تبدیل می‌کند. خطای سوم صفرگرفتن v_top در حالت حداقل است. در بالای حلقه N صفر می‌شود، نه سرعت؛ وزن باید شتاب مرکزگرای g را فراهم کند.

خطای چهارم نوشتن N − mg = mv²/ρ در بالای حلقه است. علامت وزن و N با جای جسم تغییر نمی‌کند، اما جهت مثبت شعاعی تغییر می‌کند: در بالا هر دو رو به مرکزند و در پایین N رو به مرکز و وزن خلاف آن است. رسم یک پیکان «رو به مرکز» پیش از معادله، این خطا را کم می‌کند. همچنین اگر صورت سؤال فقط ضریب اصطکاک محدودی بدهد و غلتش کامل را تضمین نکند، باید شرط |f_s| ≤ μ_sN در طول مسیر سنجیده شود؛ فرمول ارتفاع به فرض غلتش خالص وابسته است.

جمع‌بندی

حداقل ارتفاع جسم غلتان در حلقه از کنار هم گذاشتن دو مدل به دست می‌آید: در بالای حلقه، شرط مرزی N = 0 سرعت غیرصفر v_top = √(gρ) را الزام می‌کند؛ در کل مسیر نیز انرژی جنبشی انتقالی و دورانی باید هر دو شمرده شوند. با I = kmr²، شعاع مسیر مرکز جرم ρ و رهاسازی از سکون، h_min = ((5 + k)/2)ρ است. برای کره توپر نتیجه 2.7ρ می‌شود. استفاده از شعاع خود مسیر به‌جای ρ، حذف انرژی دورانی یا صفرگرفتن سرعت بالا سه خطای اصلی‌اند.

منابع علمی