ماشین گرمایی در هر چرخه از منبع داغ گرمای Q_h میگیرد، بخشی از آن را به کار W تبدیل میکند و باقیمانده Q_c را به منبع سرد میدهد. پس W = Q_h − Q_c و بازده آن η = W/Q_h = 1 − Q_c/Q_h است. برای ماشین کارنو که میان دماهای مطلق T_h و T_c کار میکند، بیشترین بازده نظری η_C = 1 − T_c/T_h است؛ دماها در این رابطه حتماً باید بر حسب کلوین باشند.
ماشین گرمایی را با مسیر جریان انرژی مدل کن
ماشین گرمایی وسیلهای است که یک فرایند چرخهای انجام میدهد؛ یعنی ماده کاری پس از هر چرخه به حالت آغازین برمیگردد. ماشین از منبعی با دمای بالاتر گرمای Q_h دریافت میکند، کار W به محیط میدهد و گرمای Q_c را به منبعی با دمای پایینتر منتقل میکند. نمادهای Q_h و Q_c در این مقاله اندازههای مثبت گرما هستند.
چون انرژی درونی ماده کاری پس از یک چرخه به مقدار اولیه بازمیگردد، تغییر انرژی درونی کل چرخه صفر است. قانون اول ترمودینامیک در نتیجه به Q_h = W + Q_c میرسد. این تساوی همان حساب انرژی است: آنچه وارد ماشین شده، یا به کار تبدیل شده یا به منبع سرد رفته است.
- ورودی ماشین: Q_h از منبع داغ.
- خروجی مفید: W به محیط.
- گرمای دفعشده: Q_c به منبع سرد.
بازده را از کار مفید و گرمای ورودی بساز
بازده نشان میدهد چه کسری از گرمای گرفتهشده از منبع داغ به کار تبدیل میشود: η = W/Q_h. با جایگذاری W = Q_h − Q_c، شکل دوم رابطه به دست میآید: η = 1 − Q_c/Q_h. بازده کمیتی بیبعد است و برای تبدیل آن به درصد باید مقدار اعشاری را در ۱۰۰ ضرب کرد.
مخرج بازده Q_h است، نه مجموع گرماها و نه Q_c. همچنین Q_c را نمیتوان در یک ماشین گرمایی چرخهای صفر فرض کرد؛ وجود منبع سرد بخشی از سازوکار ماشین است. در یک ماشین واقعی همیشه 0 < η < 1 و در نتیجه Q_c > 0 است.
مثال حلشده: یافتن کار و گرمای خروجی از روی بازده
ماشینی در هر چرخه ۲۴۰۰ ژول گرما از منبع داغ میگیرد و بازده آن ۳۰ درصد است. کار انجامشده و گرمای دادهشده به منبع سرد را پیدا کن.
ابتدا درصد را به عدد اعشاری تبدیل میکنیم: η = 0.30. از W = ηQ_h داریم W = 0.30 × 2400 = 720 J. سپس از Q_h = W + Q_c نتیجه میشود Q_c = 2400 − 720 = 1680 J.
کنترل پاسخ ساده است: ۷۲۰ ژول کار و ۱۶۸۰ ژول گرمای خروجی در مجموع همان ۲۴۰۰ ژول ورودیاند. همچنین چون بازده ۳۰ درصد است، کار باید از گرمای ورودی کوچکتر باشد.
سقف بازده را برای ماشین کارنو محاسبه کن
ماشین کارنو یک مدل برگشتپذیر آرمانی میان دو منبع دمایی است. بازده آن فقط به دمای مطلق دو منبع بستگی دارد: η_C = 1 − T_c/T_h، که در آن T_h دمای منبع داغ و T_c دمای منبع سرد است. برای هر ماشین واقعی میان همین دو دما، بازده از η_C کمتر است.
در این رابطه باید دما را به کلوین نوشت: T(K) = θ(°C) + 273. استفاده مستقیم از درجه سلسیوس نسبت دماها را نادرست میکند. شرط فیزیکی نیز T_h > T_c > 0 است؛ اگر ترتیب دماها برعکس باشد، مسئله دیگر توصیف معمول یک ماشین گرمایی نیست.
- کارنو: مدل آرمانی و برگشتپذیر.
- بازده کارنو: سقف نظری میان دو دمای مشخص.
- دمای رابطه کارنو: فقط کلوین.
مثال حلشده: مقایسه بازده واقعی با سقف کارنو
یک ماشین میان منبع داغ ۳۲۷ درجه سلسیوس و منبع سرد ۲۷ درجه سلسیوس کار میکند. سقف بازده کارنو را بیاب و بررسی کن آیا بازده ادعایی ۶۰ درصد ممکن است.
دماها را تبدیل میکنیم: T_h = 600 K و T_c = 300 K. بنابراین η_C = 1 − 300/600 = 0.50 یا ۵۰ درصد. این عدد بهترین بازده نظری برای این دو دماست.
بازده ۶۰ درصد از ۵۰ درصد بیشتر است؛ پس برای ماشینی که فقط میان همین دو منبع کار میکند ممکن نیست. این نتیجه درباره یک محدودیت فیزیکی است، نه کیفیت ساخت دستگاه.
در سؤالهای معکوس، مجهول را پیش از جایگذاری جدا کن
اگر بازده و گرمای ورودی داده شده باشد، W = ηQ_h و سپس Q_c = Q_h − W کوتاهترین مسیر است. اگر W و Q_c را داشته باشی، نخست Q_h = W + Q_c را پیدا کن. اگر بازده و Q_c داده شده باشد، از Q_c/Q_h = 1 − η میتوان Q_h = Q_c/(1 − η) را نوشت.
در مسئله کارنو نیز میتوان رابطه را معکوس کرد. برای نمونه، از η_C = 1 − T_c/T_h نتیجه میشود T_c = T_h(1 − η_C). هنگام حل مجهول دما، کلوین را تا پایان نگه دار و فقط اگر سؤال خواست، پاسخ نهایی را به سلسیوس برگردان.
مسئله را با پنج گام حل و خطاهای رایج را کنترل کن
یک: مشخص کن سؤال درباره ماشین معمولی است یا ماشین کارنو. دو: پیکانهای Q_h، W و Q_c را رسم کن. سه: درصد بازده را به اعشار تبدیل کن. چهار: پایستگی انرژی و تعریف بازده را بنویس. پنج: فقط برای کارنو، دماها را به کلوین ببر و سقف نظری را حساب کن.
سه دام پرتکرار را کنترل کن: Q_c را با W اشتباه نگیر، درصد را مستقیم در رابطه ضرب نکن و از رابطه دمایی کارنو برای هر ماشین واقعی بهعنوان تساوی استفاده نکن. اگر سؤال نمودار فشار–حجم یک چرخه را داده باشد، کار خالص از مساحت علامتدار درون چرخه به دست میآید؛ راهنمای قانون اول ترمودینامیک این خواندن نمودار را جداگانه توضیح میدهد.
در هر مسئله ماشین گرمایی، ابتدا جهت انتقال انرژی را روی یک شکل سهجزئی مشخص کن: Q_h وارد ماشین، W خارج از ماشین و Q_c خارج به سوی منبع سرد. سپس از W = Q_h − Q_c و η = W/Q_h استفاده کن. فقط اگر ماشین کارنو یا بیشترین بازده نظری مطرح است، سراغ η_C = 1 − T_c/T_h برو و دماها را به کلوین تبدیل کن. بازده واقعی نمیتواند از سقف کارنو برای همان دو دما بیشتر باشد.