پاسخ مستقیم این است: در مدار LC آرمانی، انرژی بدون اتلاف میان میدان الکتریکی خازن و میدان مغناطیسی سلف رفتوبرگشت میکند. اگر خازن با بار بیشینه Q₀ رها شود، بار آن q = Q₀ cos(ωt)، جریان با یکچهارم دوره اختلاف فاز i = −ωQ₀ sin(ωt) و بسامد زاویهای ω = 1/√(LC) است؛ پس دوره T = 2π√(LC) میشود. برای حل تست ابتدا حالت اولیه را مشخص کن، سپس دوره یا فاز زمانی را پیدا کن و در پایان پایستگی انرژی q²/(2C) + Li²/2 = Q₀²/(2C) را کنترل کن.
نوسان مدار LC چگونه شکل میگیرد؟
خازنی با ظرفیت C را در نظر بگیر که ابتدا تا بار Q₀ شارژ و سپس به سلفی با خودالقایی L وصل میشود. در لحظه آغاز، جریان صفر و تمام انرژی در میدان الکتریکی خازن ذخیره شده است: E = Q₀²/(2C). خازن شروع به تخلیه میکند، جریان افزایش مییابد و سلف در میدان مغناطیسی خود انرژی ذخیره میکند.
پس از یکچهارم دوره، بار خازن برای نخستین بار صفر و جریان بیشینه است؛ در این لحظه انرژی کاملاً مغناطیسی و برابر LI₀²/2 است. جریان بهدلیل خاصیت خودالقایی ناگهان متوقف نمیشود و خازن را با قطبش مخالف شارژ میکند. در مدار آرمانیِ بدون مقاومت، این چرخه با انرژی کل ثابت ادامه دارد.
- t = 0: |q| = Q₀، i = 0، انرژی کاملاً الکتریکی
- t = T/4: q = 0، |i| = I₀، انرژی کاملاً مغناطیسی
- t = T/2: خازن با بار بیشینه و قطبش مخالف
دوره و بسامد مدار LC را حساب کن
بسامد زاویهای نوسان مدار آرمانی از ω = 1/√(LC) به دست میآید. بنابراین T = 2π/ω = 2π√(LC) و f = 1/T = 1/(2π√(LC)) است. افزایش L یا C دوره را بیشتر و نوسان را کندتر میکند؛ چون سلف در برابر تغییر جریان و خازن در برابر تغییر ولتاژ مقاومت بیشتری نشان میدهند.
L را بر حسب هانری و C را بر حسب فاراد قرار بده. میلیهانری ضریب 10⁻³ و میکروفاراد ضریب 10⁻⁶ دارد. یک کنترل ابعادی مفید این است که LC بعد زمانِ مربع و √(LC) بعد زمان دارد؛ پس رابطه دوره به ثانیه میرسد.
- ω = 1/√(LC) با یکای rad/s
- T = 2π√(LC) با یکای s
- f = 1/(2π√(LC)) با یکای Hz
بار و جریان را با اختلاف فاز یکچهارم دوره بخوان
اگر مبدأ زمان لحظهای باشد که خازن بار مثبت بیشینه Q₀ دارد، q(t) = Q₀ cos(ωt) است. با انتخاب جهت مرجع جریان سازگار با تعریف q، داریم i = dq/dt = −ωQ₀ sin(ωt). علامت منفی جهت جریان را نسبت به همان مرجع نشان میدهد؛ دامنه جریان I₀ = ωQ₀ است.
بار و جریان همزمان به بیشینه نمیرسند. هنگامی که |q| بیشینه است، i صفر است و هنگامی که q صفر میشود، |i| بیشینه است. این فاصله زمانی T/4 یا اختلاف فاز π/2 است. اگر صورت سؤال حالت اولیه دیگری بدهد، تابع سینوسی یا فاز آغازین را متناسب با همان وضعیت انتخاب کن.
مسیر حل تست مدار LC را در چهار گام اجرا کن
گام یک: حالت آغازین را روی چرخه علامت بزن؛ خازن کاملاً شارژ است، بیبار است یا حالت میانی دارد؟ گام دو: از L و C، مقدار ω و T را پیدا کن. گام سه: اگر زمان یکی از کسرهای ساده دوره است، پیش از نوشتن تابع، وضعیت بار و جریان را از چرخه تشخیص بده. گام چهار: برای مقدارهای عددی میانی از تابع زمانی یا پایستگی انرژی استفاده کن.
اگر سؤال فقط بیشینه جریان را میخواهد، کوتاهترین راه برابرگذاشتن دو انرژی بیشینه است: Q₀²/(2C) = LI₀²/2؛ پس I₀ = Q₀/√(LC) = ωQ₀. اگر ولتاژ اولیه V₀ داده شده، ابتدا Q₀ = CV₀ و سپس I₀ = V₀√(C/L) را به کار ببر.
مثال حلشده: دوره، جریان بیشینه و حالت یکچهارم دوره
در یک مدار LC آرمانی، L = 20 mH و C = 5 μF است و خازن ابتدا با ولتاژ V₀ = 12 V شارژ شده است. دوره، بیشینه جریان و وضعیت مدار در نخستین زمان T/4 را پیدا کن.
ابتدا L = 0.020 H و C = 5×10⁻⁶ F. حاصل LC برابر 10⁻⁷ و √(LC) ≈ 3.16×10⁻⁴ s است. بنابراین T = 2π√(LC) ≈ 1.99×10⁻³ s، یعنی حدود 1.99 ms میشود.
برای جریان بیشینه از I₀ = V₀√(C/L) استفاده میکنیم: I₀ = 12√[(5×10⁻⁶)/0.020] ≈ 0.190 A. در t = T/4، خازن برای نخستین بار بیبار است، اندازه جریان همان 0.190 A و تمام انرژی در میدان مغناطیسی سلف قرار دارد. زمان رسیدن به این حالت نیز حدود 0.497 ms است.
در حالت میانی از پایستگی انرژی استفاده کن
در هر لحظه انرژی الکتریکی خازن U_C = q²/(2C) و انرژی مغناطیسی سلف U_L = Li²/2 است. در مدل آرمانی مجموع آنها ثابت میماند: q²/(2C) + Li²/2 = Q₀²/(2C). این رابطه وقتی یکی از q یا i داده شده و دیگری خواسته شده، معمولاً از یافتن فاز زمانی کوتاهتر است.
برای مثال اگر اندازه بار خازن به Q₀/2 برسد، انرژی خازن فقط یکچهارم انرژی کل است، نه نصف آن؛ چون انرژی با مربع بار متناسب است. سهچهارم انرژی در سلف قرار میگیرد و از نسبت انرژیها نتیجه میشود |i| = (√3/2)I₀. علامت جریان را باید جداگانه از جهت حرکت روی چرخه تعیین کرد.
مرز مدل آرمانی و دامهای رایج را بشناس
مدار واقعی مقاومت دارد و بخشی از انرژی را به گرما تبدیل میکند؛ بنابراین دامنه نوسان بهتدریج کم میشود. رابطههای این مقاله برای مدار LC آرمانی یا حالتی است که مقاومت ناچیز فرض شده. اگر R در صورت سؤال نقش دارد، ثابتماندن انرژی الکترومغناطیسی یا دامنه را بدون بررسی به کار نبر.
دامهای رایج شامل جاانداختن ضریب 2π میان ω و f، تبدیلنکردن mH و μF، فرض همفازبودن q و i و نصفگرفتن انرژی هنگام نصفشدن بار است. برای مرور انرژی سلف، مقاله خودالقایی را بخوان؛ راهنمای خازنهای سری و موازی ظرفیت معادل را آماده میکند و مقاله جریان متناوب تفاوت مقدار لحظهای، دامنه و مقدار مؤثر را توضیح میدهد.
- ω و f یک کمیت نیستند: ω = 2πf.
- انرژی با مربع q و i تغییر میکند.
- در مدار واقعی، مقاومت دامنه و انرژی الکترومغناطیسی را کاهش میدهد.
مدار LC آرمانی یک نوسانگر انرژی است: در دو سرِ بازه نوسان، بار خازن بیشینه و جریان صفر است؛ در میانه، خازن بیبار و جریان بیشینه میشود. از ω = 1/√(LC) و T = 2π√(LC) برای زمانبندی، از I₀ = ωQ₀ برای دامنه جریان و از q²/(2C) + Li²/2 = E برای حالتهای میانی استفاده کن. تعیین وضعیت اولیه، تشخیص یکچهارمهای دوره و کنترل یکا و انرژی، مسیر حل را کوتاه و قابل اعتماد نگه میدارد.