در مدار جریان مستقیم، ولتاژ دو سر خازن نمیتواند ناگهانی تغییر کند. بنابراین خازنِ بدون بار درست پس از بستن کلید مانند اتصال کوتاه رفتار میکند و جریان بیشینه است؛ با شارژشدن خازن، جریان کاهش مییابد و در حالت ماندگار خازن مانند شاخه باز جریان را قطع میکند. در مدار سری ساده با باتری ε، مقاومت R و خازن C، ثابت زمانی τ = RC سرعت این تغییر را تعیین میکند. برای حل مطمئن، مدار را در سه تصویر t = 0+، زمان دلخواه t و t → ∞ بررسی کن و فقط مقاومت مؤثر دیدهشده از دو سر خازن را در C ضرب کن.
مدار را در سه لحظه جداگانه ببین
پیش از کلیدزنی، ولتاژ اولیه خازن را مشخص کن. اگر خازن بدون بار باشد، VC(0−) = 0 است. چون جابهجایی یکباره بار به جریان نامتناهی نیاز دارد، ولتاژ خازن پیوسته میماند؛ پس VC(0+) = VC(0−). در نتیجه خازن بدون بار در همان لحظه اول افت ولتاژ صفر دارد، نه اینکه همیشه یک سیم باشد.
در بازه گذرا، بار روی صفحهها جمع یا از آنها خارج میشود و ولتاژ و جریان تغییر میکنند. پس از زمان کافی در یک مدار DC ثابت، VC دیگر تغییر نمیکند و I = C(dVC/dt) صفر میشود. خازن در این حالت مانند شاخه باز است، اما ممکن است همچنان ولتاژ و انرژی ذخیرهشده داشته باشد.
- لحظه آغاز: VC(0+) = VC(0−)
- حالت گذرا: ولتاژ و جریان تابع زماناند
- حالت ماندگار DC: جریان شاخه خازن صفر است
شارژ خازن سری را از مقدار آغاز و پایان تحلیل کن
در مدار سری ساده شامل باتری آرمانی ε، مقاومت R و خازن بدون بار C، بلافاصله پس از بستن کلید جریان I0 = ε/R است. سپس ولتاژ خازن بالا میرود و سهم ولتاژ مقاومت کم میشود. رابطهها VC(t) = ε(1 − e^(−t/RC))، q(t) = Cε(1 − e^(−t/RC)) و I(t) = (ε/R)e^(−t/RC) هستند.
این رابطهها را با دو حد کنترل کن. در t = 0، عبارت نمایی یک است؛ بنابراین VC = 0 و I = ε/R به دست میآید. وقتی t بسیار بزرگ شود، عبارت نمایی به صفر میل میکند؛ در نتیجه VC به ε، بار به Cε و جریان به صفر نزدیک میشود. اگر پاسخ این دو رفتار را ندارد، علامت یا مقدار نهایی را اشتباه نوشتهای.
- ولتاژ هنگام شارژ: VC = ε(1 − e^(−t/τ))
- بار هنگام شارژ: q = Cε(1 − e^(−t/τ))
- جریان هنگام شارژ: I = (ε/R)e^(−t/τ)
در تخلیه، مقدار اولیه را در عامل نمایی ضرب کن
اگر خازنی با ولتاژ اولیه V0 فقط از راه مقاومت R تخلیه شود، ولتاژ آن VC(t) = V0e^(−t/RC) و اندازه بار q(t) = Q0e^(−t/RC) است. اندازه جریان نیز (V0/R)e^(−t/RC) کاهش مییابد. جهت جریان تخلیه برعکس جهت جریان شارژی است که همان صفحه را مثبت کرده بود؛ اگر جهت مرجع را ثابت نگه داری، علامت جریان تخلیه منفی میشود.
در تخلیه منبع انرژی باتری نیست؛ انرژی الکتریکی ذخیرهشده در خازن به گرمای مقاومت تبدیل میشود. در مدل آرمانی پس از زمان بینهایت ولتاژ دقیقاً صفر میشود، اما در محاسبه عملی پس از چند ثابت زمانی آنقدر کوچک است که خازن را تقریباً تخلیهشده در نظر میگیرند.
ثابت زمانی را درست بساز و تفسیر کن
ثابت زمانی τ = RC واحد زمان دارد، زیرا اهم ضربدر فاراد برابر ثانیه است. پس از یک τ در شارژ، ولتاژ خازن به 1 − e^−1 ≈ 0.632 مقدار نهایی میرسد و جریان به e^−1 ≈ 0.368 مقدار اولیه کاهش مییابد. در تخلیه نیز پس از یک τ حدود 0.368 مقدار اولیه ولتاژ یا بار باقی میماند.
افزایش R عبور بار را کندتر و افزایش C مقدار بار لازم برای تغییر ولتاژ را بیشتر میکند؛ هر دو τ را افزایش میدهند. ثابت زمانی زمان کاملشدن شارژ نیست. نمودار نمایی به مقدار نهایی نزدیک میشود و در مدل ریاضی در زمان محدود دقیقاً به آن نمیرسد.
مثال حلشده: ولتاژ و جریان پس از یک ثابت زمانی
یک خازن بدون بار 10 μF از راه مقاومت 200 kΩ به باتری 12 V وصل میشود. ابتدا یکاها را تبدیل کن: C = 10×10^−6 F و R = 200×10^3 Ω. پس τ = RC = 2.0 s است و جریان آغازین I0 = ε/R = 12/(200×10^3) = 60 μA به دست میآید.
در t = 2.0 s، یعنی یک ثابت زمانی، VC = 12(1 − e^−1) ≈ 7.58 V است. جریان همان لحظه I = 60e^−1 ≈ 22.1 μA میشود. کنترل قانون حلقه نیز جواب را تأیید میکند: افت ولتاژ مقاومت IR ≈ 4.42 V و مجموع آن با 7.58 V برابر 12 V است.
اگر پس از شارژ کامل، باتری جدا و خازن از همان مقاومت تخلیه شود، پس از 2.0 s ولتاژ آن 12e^−1 ≈ 4.42 V خواهد بود. شباهت عدد 4.42 V در دو حالت تصادفی نیست: هنگام شارژ، این مقدار ولتاژ مقاومت است و هنگام تخلیه، مقدار باقیمانده ولتاژ خازن.
در مدار چندمقاومتی، مقاومت دیدهشده از خازن را پیدا کن
برای محاسبه τ در مدار پیچیدهتر، خازن را موقتاً از مدار بردار و مقاومت معادل دیدهشده از دو پایانه آن را بیاب. منبع ولتاژ مستقل آرمانی را با سیم و منبع جریان مستقل آرمانی را با شاخه باز جایگزین کن. سپس Req را از همان دو پایانه حساب کن و بنویس τ = ReqC.
این خاموشکردن منبع فقط برای یافتن مقاومت زمانی است؛ برای محاسبه ولتاژ نهایی خازن باید مدار اصلی و منبعهای فعال را دوباره در نظر بگیری. در حالت ماندگار، شاخه خازن باز است و ولتاژ دو پایانه آن را میتوان با تقسیم ولتاژ یا قانونهای کیرشهف پیدا کرد.
مسیر حل پنجمرحلهای و خطاهای رایج
یک: VC(0−) را از وضعیت پیش از کلید تعیین کن. دو: از پیوستگی ولتاژ، VC(0+) را بنویس. سه: مدار حالت ماندگار را با شاخه باز خازن حل و Vنهایی را پیدا کن. چهار: Req و τ = ReqC را به دست آور. پنج: برای هر کمیت از الگوی «مقدار نهایی + اختلاف اولیه و نهایی × e^(−t/τ)» استفاده کن.
خازن را در تمام زمانها اتصال کوتاه یا در تمام زمانها مدار باز فرض نکن. مقاومت معادل کل مدار لزوماً همان مقاومتی نیست که خازن میبیند، و μF باید پیش از ضرب در Ω به فاراد تبدیل شود. در پایان، t = 0 و t → ∞، یکای τ و این واقعیت را کنترل کن که ولتاژ خازن هنگام کلیدزنی پرش ندارد.
برای تحلیل خازن در مدار DC سه لحظه را جدا کن: در t = 0+ ولتاژ خازن همان مقدار پیش از کلیدزنی است؛ در گذر زمان، اختلاف مقدار لحظهای با مقدار نهایی با عامل e^(−t/τ) کم میشود؛ و در حالت ماندگار جریان خازن صفر است. در مدار سری ساده τ = RC، هنگام شارژ VC = ε(1 − e^(−t/τ)) و I = (ε/R)e^(−t/τ) است؛ هنگام تخلیه نیز VC = V0e^(−t/τ). اگر مدار چند مقاومت دارد، ابتدا منبعهای مستقل را خاموش و مقاومت معادل دیدهشده از پایانههای خازن را پیدا کن. پیوستگی ولتاژ خازن، یکای ثانیه برای τ و سازگاری پاسخ با حالت آغاز و پایان، سه کنترل نهاییاند.