کار از نمودار نیرو–مکان؛ محاسبه مساحت و تغییر سرعت

مساحت زیر نمودار F–x را به کار تبدیل کن

وقتی نیروی هم‌جهت محور x با مکان تغییر می‌کند، کار آن در یک بازه برابر مساحت علامت‌دار زیر نمودار F برحسب x است. برای نیروی ثابت، این مساحت همان مستطیل Fx و سازگار با رابطه W = FΔx است. برای نیروی متغیر، جمع نوارهای باریکِ FΔx همان مفهوم را به کل بازه گسترش می‌دهد.

محورهای نمودار باید واقعاً نیرو و مکان باشند. مساحت زیر نمودار نیرو–زمان معنای کار ندارد و معمولاً به ضربه مربوط است. پیش از هر محاسبه، برچسب و مقیاس دو محور و ابتدا و انتهای جابه‌جایی را بخوان. اگر نیرو بر حسب نیوتن و مکان بر حسب متر باشد، واحد مساحت N·m یا ژول است.

• بالای محور مکان: F مثبت و کار در حرکت رو به +x مثبت است.
• پایین محور مکان: F منفی و کار در حرکت رو به +x منفی است.
• روی محور مکان: نیرو صفر است و آن بخش مساحتی به کار اضافه نمی‌کند.

علامت مساحت را با جهت جابه‌جایی هماهنگ کن

اگر جسم از x₁ به x₂ و در جهت افزایش x حرکت کند، مساحت بالای محور مثبت و مساحت پایین محور منفی است. برای حرکت برگشتی از x₂ به x₁، ترتیب کران‌ها عوض می‌شود و علامت کل کار همان مسیر برعکس خواهد شد. پس علامت را فقط از بالا یا پایین بودن نمودار نگیر؛ جهت پیمودن بازه نیز بخشی از مسئله است.

منفی‌شدن کار به معنی منفی‌بودن مساحت هندسی نیست؛ یعنی نیرو در مجموع انرژی جنبشی جسم را کاهش می‌دهد، اگر این نیرو تنها نیروی انجام‌دهنده کار باشد. مساحت هندسی را مثبت حساب کن و سپس علامت فیزیکی هر بخش را اعمال کن.

نمودار چندبخشی را به شکل‌های ساده تقسیم کن

در نمودارهای پاره‌خطی، مرز هر بخش را جایی بگذار که شیب عوض می‌شود یا نمودار محور x را قطع می‌کند. بخش افقی یک مستطیل، تغییر خطی نیرو از صفر یک مثلث و تغییر خطی میان دو نیروی ناصفر یک ذوزنقه می‌سازد. برای ذوزنقه با نیروهای ابتدا و انتهای F₁ و F₂ می‌توان نوشت W = [(F₁ + F₂)/2]Δx؛ این رابطه همان نیروی متوسط در یک تغییر خطی است.

اگر یک پاره‌خط محور را قطع کند، آن را در نقطه عبور به دو مثلث جدا تقسیم کن. استفاده از یک ذوزنقه با ارتفاع‌های دارای علامت نیز ممکن است، اما جداسازی دو بخش معمولاً خطای علامت را کمتر می‌کند.

• مستطیل: قاعده × ارتفاع.
• مثلث: یک‌دوم × قاعده × ارتفاع.
• ذوزنقه: یک‌دوم × مجموع دو ارتفاع × قاعده.

مثال حل‌شده: کار خالص یک نمودار سه‌بخشی

نیروی خالص وارد بر جسمی از x = 0 تا 2 m به‌طور خطی از صفر به 6 N می‌رسد، از x = 2 تا 5 m برابر 6 N می‌ماند و از x = 5 تا 7 m برابر −3 N است. کار بخش نخست مساحت مثلث است: W₁ = ½×2×6 = 6 J. کار بخش دوم از مستطیل به دست می‌آید: W₂ = 3×6 = 18 J. بخش سوم پایین محور قرار دارد، پس W₃ = 2×(−3) = −6 J.

کار خالص در کل بازه برابر Wnet = 6 + 18 − 6 = 18 J است. اگر جرم جسم 2 kg و تندی اولیه آن 3 m/s باشد، انرژی جنبشی اولیه K₁ = ½mv₁² = 9 J است. از Wnet = K₂ − K₁ داریم K₂ = 27 J و در نتیجه v₂ = √(2K₂/m) = √27 ≈ 5.2 m/s. چون کار خالص مثبت است، بیشترشدن تندی با علامت پاسخ سازگار است.

کار یک نیرو را با کار خالص اشتباه نگیر

قضیه کار و انرژی می‌گوید کار خالص همه نیروهای وارد بر جسم برابر تغییر انرژی جنبشی است. اگر نمودار فقط نیروی کشش، اصطکاک یا نیروی یک فنر را نشان دهد، مساحت آن فقط کار همان نیروست. برای استفاده از ΔK باید کار وزن، نیروی عمودی، اصطکاک و هر نیروی مؤثر دیگر را نیز برحسب شرایط مسئله بررسی کنی.

برای مثال، اگر نمودار کار نیروی کشنده را 30 J بدهد و اصطکاک در همان جابه‌جایی 8 J کار منفی انجام دهد، با فرض صفر بودن کار سایر نیروها، کار خالص 22 J است؛ نه 30 J. عبارت «نمودار نیروی خالص» در صورت سؤال اجازه می‌دهد مساحت را مستقیماً برابر تغییر انرژی جنبشی قرار دهی.

از مساحت تجمعی، مکان توقف یا نیروی مجهول را پیدا کن

گاهی انرژی جنبشی اولیه معلوم است و باید مکانی را بیابی که جسم در آن لحظه‌ای متوقف می‌شود. از نقطه شروع، مساحت علامت‌دار را تا مکان مجهول جمع کن و شرط K = K₀ + Wnet = 0 را بنویس. مکان پاسخ باید در همان بخشی باشد که برای مساحت آن رابطه نوشته‌ای؛ اگر بیرون افتاد، باید محاسبه را با بخش بعدی ادامه دهی.

در نوع دیگری از سؤال، ارتفاع یا طول یک قسمت نمودار مجهول است و کار کل داده می‌شود. مساحت قسمت‌های معلوم را ابتدا جمع کن، آن‌ها را از کار کل کم کن و باقیمانده را برابر مساحت شکل مجهول قرار بده. این روش از ساختن یک معادله شلوغ برای کل نمودار جلوگیری می‌کند.

خطاهای رایج را با یک چک‌لیست کوتاه حذف کن

سه خطای پرتکرار، جمع‌کردن قدر مطلق همه مساحت‌ها، فراموش‌کردن ضریب یک‌دوم مثلث و برابرگرفتن کار یک نیرو با تغییر انرژی جنبشی‌اند. خطای دیگر خواندن طول واقعی بازه از ظاهر شکل است؛ نمودار ممکن است با مقیاس یکنواخت رسم نشده باشد و عددهای محور ملاک‌اند.

اگر میان پایستگی انرژی و قضیه کار و انرژی مردد هستی، راهنمای انتخاب روش حل انرژی مسیر تصمیم را توضیح می‌دهد. برای مقایسه با نمودار U–x نیز به یاد داشته باش که در آن نمودار ارتفاع انرژی پتانسیل و شیب نیرو را می‌دهد، در حالی که در نمودار F–x مساحت کار را نشان می‌دهد.

• بازه و جهت حرکت را مشخص کن.
• نقاط تغییر شیب و عبور از محور را جدا کن.
• مساحت‌ها را با علامت جمع بزن.
• بررسی کن نمودار یک نیروست یا نیروی خالص.
• واحد ژول و سازگاری علامت با تغییر تندی را کنترل کن.