برای پیدا کردن لحظه جدا شدن جسم از سطح نیم‌کره صاف، سرعت را از پایستگی انرژی و نیروی عمودی را از معادله شعاعی به دست آور. تماس تا وقتی برقرار است که N ≥ 0 باشد و مرز جدایی با N = 0 مشخص می‌شود. اگر جسم کوچک از سکونِ بالای نیم‌کره ثابت با شعاع R رها شود، ترکیب دو معادله به cosθ = 2/3 می‌رسد؛ بنابراین جسم در زاویه حدود 48.2 درجه از قائم، پس از افت ارتفاع R/3 و با سرعت √(2gR/3) سطح را ترک می‌کند.
مدل نیم‌کره و زاویه را پیش از حل تعریف کن
جسمی کوچک با جرم m روی سطح خارجی و صافِ یک نیم‌کره ثابت با شعاع R قرار دارد و از بالاترین نقطه بدون سرعت اولیه رها می‌شود. θ را زاویه شعاعِ محل جسم با خط قائم رو به بالا می‌گیریم؛ پس θ = 0 در رأس است و با پایین‌آمدن جسم افزایش می‌یابد. سطح صاف است، بنابراین اصطکاک نداریم و نیروهای واقعی فقط وزن mg و نیروی عمودی N سطح‌اند.
تا وقتی تماس برقرار است، مرکز مسیر دایره‌ای همان مرکز کره و شعاع حرکت R است. نیروی N بر سطح عمود و در راستای شعاع رو به بیرون است. مؤلفه وزن در راستای رو به مرکز برابر mg cosθ می‌شود. پس جهت «به سوی مرکز» را مثبت می‌گیریم تا معادله شعاعی بدون ابهام نوشته شود.
- θ از قائمِ رو به بالا اندازه‌گیری می‌شود.
- جهت شعاعی مثبت: به سوی مرکز کره
- نیروی عمودی سطح: رو به بیرون
- فرض‌ها: جسم کوچک، سطح صاف و نیم‌کره ثابت
سرعت را از پایستگی انرژی در زاویه θ به دست آور
جسم از رأس تا زاویه θ به اندازه h = R − R cosθ = R(1 − cosθ) پایین می‌آید. نیروی عمودی در هر لحظه بر جابه‌جایی مماسی عمود است و کار انجام نمی‌دهد؛ اصطکاکی هم وجود ندارد. بنابراین کاهش انرژی پتانسیل گرانشی به انرژی جنبشی تبدیل می‌شود.
با انتخاب رأس به‌عنوان حالت آغاز، mgR(1 − cosθ) = ½mv² و در نتیجه v² = 2gR(1 − cosθ) است. جرم حذف می‌شود. این رابطه می‌گوید جسم در هر زاویه چه سرعتی دارد، اما هنوز معلوم نمی‌کند در کدام زاویه تماس قطع می‌شود؛ برای آن باید N را از قانون دوم نیوتن پیدا کنیم.
- افت ارتفاع: h = R(1 − cosθ)
- سرعت روی سطح: v² = 2gR(1 − cosθ)
- نیروی عمودی کار نمی‌کند.
نیروی عمودی را با معادله شعاعی درست بنویس
شتاب شعاعی تا پیش از جدایی اندازه v²/R و جهت رو به مرکز دارد. در همین جهت، مؤلفه وزن mg cosθ مثبت و نیروی عمودی N منفی است؛ پس قانون دوم نیوتن می‌دهد mg cosθ − N = mv²/R. از این رابطه N = mg cosθ − mv²/R به دست می‌آید.
با افزایش θ، هم مؤلفه رو به مرکز وزن کوچک‌تر و هم سرعت جسم بزرگ‌تر می‌شود. بنابراین N کاهش می‌یابد تا به صفر برسد. سطح می‌تواند جسم را هل بدهد، اما نمی‌تواند آن را به سوی خود بکشد؛ پس جواب N < 0 از نظر فیزیکی به معنی ادامه حرکت روی سطح نیست، بلکه نشان می‌دهد جدایی پیش‌تر رخ داده است.
جدا شدن جسم از سطح نیم‌کره را با N = 0 پیدا کن
در آخرین لحظه تماس، نیروی عمودی درست به صفر می‌رسد. با قرار دادن N = 0 در معادله شعاعی داریم mg cosθ = mv²/R، یا v² = gR cosθ. این شرط را نباید از ابتدای حرکت به کار برد؛ در رأس، N = mg است و تماس کاملاً برقرار است.
اکنون رابطه انرژی و شرط جدایی را برابر می‌گذاریم: 2gR(1 − cosθ) = gR cosθ. پس 2 − 2cosθ = cosθ و نتیجه cosθ = 2/3 است. زاویه جدایی θ = arccos(2/3) ≈ 48.2° از قائم خواهد بود. این زاویه به جرم جسم، شعاع نیم‌کره و مقدار g وابسته نیست، زیرا همه آن‌ها هنگام ترکیب دو رابطه حذف می‌شوند.
- شرط مرزی تماس: N = 0
- زاویه جدایی: cosθ = 2/3
- θ ≈ 48.2° از قائم
- صفر شدن N به معنی صفر شدن وزن نیست.
مثال حل‌شده: نیم‌کره‌ای با شعاع ۱٫۸ متر
جسمی کوچک از سکون روی رأس نیم‌کره صاف و ثابتی با شعاع R = 1.8 m رها می‌شود. با g = 10 m/s²، زاویه، افت ارتفاع، ارتفاع محل جدایی از صفحه قاعده و سرعت جسم در لحظه جدایی را حساب کن.
از نتیجه عمومی cosθ = 2/3 داریم θ ≈ 48.2°. افت ارتفاع نسبت به رأس برابر Δh = R(1 − cosθ) = 1.8×(1 − 2/3) = 0.6 m است. ارتفاع رأس از صفحه قاعده R و ارتفاع نقطه جدایی برابر y = R cosθ است؛ بنابراین y = 1.8×2/3 = 1.2 m. افت ارتفاع و ارتفاع از قاعده دو کمیت متفاوت‌اند و جمعشان R می‌شود.
برای سرعت می‌توان از هر دو رابطه استفاده کرد: v² = gR cosθ = 10×1.8×2/3 = 12. پس v = √12 ≈ 3.46 m/s. کنترل انرژی نیز همان نتیجه را می‌دهد: v² = 2gΔh = 2×10×0.6 = 12. در این نقطه N = 0 است و از لحظه بعد جسم تحت اثر وزن، حرکت پرتابه‌ای انجام می‌دهد.
اگر جسم در رأس سرعت اولیه داشته باشد، شرط را تعمیم بده
اگر جسم در رأس سرعت مماسی v₀ داشته باشد، پایستگی انرژی به صورت v² = v₀² + 2gR(1 − cosθ) نوشته می‌شود. شرط مرزی همچنان v² = gR cosθ است. ترکیب آن‌ها نتیجه می‌دهد cosθ = [2 + v₀²/(gR)]/3؛ پس با بیشترشدن سرعت اولیه، جدایی زودتر و در زاویه کوچک‌تری رخ می‌دهد.
در خود رأس، معادله شعاعی N_top = m(g − v₀²/R) را می‌دهد. اگر v₀ = √(gR) باشد، N از همان رأس صفر است. برای v₀ بزرگ‌تر از این مقدار، سطح خارجی نمی‌تواند شتاب رو به مرکز لازم را فراهم کند و جسم از آغاز مسیر دایره‌ای را دنبال نمی‌کند. این حالت حدی، دامنه اعتبار فرمول زاویه را هم روشن می‌کند.
- سرعت دلخواه در رأس: cosθ = [2 + v₀²/(gR)]/3
- شرط تماس در رأس: v₀ ≤ √(gR)
- برای v₀ = √(gR)، جدایی در همان رأس رخ می‌دهد.
چک‌لیست حل و دام‌های رایج مسئله جدایی را اجرا کن
یک: مشخص کن جسم روی سطح خارجی است یا داخل حلقه؛ جهت N در این دو آرایش برعکس است. دو: زاویه را روی شکل تعریف کن و افت ارتفاع را از هندسه بساز. سه: سرعت را با انرژی پیدا کن. چهار: محور شعاعی را رو به مرکز بگیر و نیروهای واقعی را در همان راستا بنویس. پنج: فقط در مرز قطع تماس N = 0 قرار بده. شش: دو رابطه را ترکیب و سپس زاویه، سرعت یا ارتفاع خواسته‌شده را استخراج کن.
دام نخست این است که «نیروی مرکزگرا» را نیرویی جداگانه روی نمودار بکشیم؛ مرکزگرا نام برآیند شعاعی نیروهاست. دام دوم، نوشتن mg cosθ + N برای سطح خارجی است، در حالی که N رو به بیرون است. دام سوم، صفر گرفتن N در تمام مسیر و دام چهارم، ادامه‌دادن حرکت دایره‌ای پس از جدایی است. برای مقایسه تماس از داخل حلقه، راهنمای حرکت دایره‌ای قائم را بخوان؛ مقاله نیروی عمودی روی پل علامت معادله شعاعی را تمرین می‌دهد و راهنمای پایستگی انرژی انتخاب روش انرژی را کامل می‌کند.
- سطح خارجی یا داخلی را تشخیص بده.
- افت ارتفاع را با R(1 − cosθ) بساز.
- N را پیش از مرز جدایی صفر نکن.
- پس از جدایی، فقط وزن بر جسم وارد می‌شود.
- جواب N < 0 یعنی فرض تماس نامعتبر شده است.
در مسئله سطح خارجی نیم‌کره، انرژی فقط سرعت را در هر ارتفاع می‌دهد و به‌تنهایی محل قطع تماس را مشخص نمی‌کند. معادله شعاعی درست mg cosθ − N = mv²/R است و شرط مرزی جدایی N = 0. برای رهاسازی از سکون در بالا، نتیجه cosθ = 2/3، افت ارتفاع R/3 و سرعت √(2gR/3) است. پیش از پاسخ، جهت شعاعی، معنی زاویه و نامنفی‌بودن N را کنترل کن؛ پس از جدایی نیز مسیر جسم پرتابه‌ای است، نه دایره‌ای.