پاسخ مستقیم این است: اگر جسمی روی صفحه افقیِ گردان بدون لغزش همراه صفحه بچرخد، اصطکاک ایستایی نیروی مرکزگرای آن را فراهم میکند؛ پس fₛ = mω²r است. این اصطکاک تا هر مقداری زیاد نمیشود و باید mω²r ≤ μₛmg باشد. بنابراین شرط نلغزیدن ω ≤ √(μₛg/r) و بیشینه تندی خطی v_max = √(μₛgr) است. اصطکاک در این مسئله رو به مرکز است، مگر اینکه حرکت نسبی یا نیروی افقی دیگری در صورت سؤال وجود داشته باشد.
نیروهای جسم روی صفحه افقی را درست رسم کن
در دستگاه مرجع زمین، سه نیروی واقعی به جسم وارد میشود: وزن mg رو به پایین، نیروی عمودی سطح N رو به بالا و اصطکاک ایستایی fₛ در راستای افقی. چون جسم شتاب قائم ندارد، N = mg است. حرکت دایرهای به شتاب افقی رو به مرکز نیاز دارد و در مدل ساده همین اصطکاک آن را تأمین میکند.
نیروی مرکزگرا نیروی چهارم و جداگانهای نیست؛ نام برآیند نیروها در راستای شعاع است. بنابراین در معادله شعاعی مینویسیم fₛ = ma_c = mω²r = mv²/r. افزودن نیروی دیگری با نام مرکزگرا در کنار اصطکاک، نیرو را دوبار میشمارد.
- راستای قائم: N − mg = 0
- راستای شعاعی: fₛ = mω²r
- جهت اصطکاک در مدل پایه: به سوی مرکز صفحه
اصطکاک ایستایی را همیشه برابر μₛN نگذار
اصطکاک ایستایی خود را با نیاز حرکت تنظیم میکند و در بازه صفر تا fₛ,max = μₛN قرار دارد. تا وقتی جسم نمیلغزد، مقدار واقعی آن mω²r است. فقط در لحظهای که جسم در آستانه لغزش قرار میگیرد، میتوان fₛ = μₛN نوشت.
با N = mg، شرط همراهماندن جسم با صفحه mω²r ≤ μₛmg است. جرم از دو طرف حذف میشود؛ پس در این مدل، آستانه لغزش به جرم جسم وابسته نیست. حذف جرم به معنی نبودن اصطکاک نیست؛ هم نیروی لازم و هم بیشینه اصطکاک با جرم متناسباند.
- پیش از آستانه: fₛ < μₛN
- در آستانه: fₛ = μₛN
- پس از شروع لغزش: دیگر نمیتوان حرکت جسم را همدور با صفحه فرض کرد
بیشینه سرعت زاویهای و تندی را پیدا کن
از mω²r ≤ μₛmg نتیجه میشود ω_max = √(μₛg/r). با زیادشدن ضریب اصطکاک، صفحه میتواند سریعتر بچرخد؛ اما با دورشدن جسم از مرکز، بیشینه سرعت زاویهای کاهش مییابد. خودِ مرکز با r = 0 حالت ویژهای است و رابطه تقسیمشده بر r را نباید بیبررسی در آن به کار برد.
چون v = ωr، بیشینه تندی خطی جسم در شعاع ثابت v_max = √(μₛgr) است. توجه کن که با افزایش r، ω_max کم ولی v_max زیاد میشود؛ این دو روند متناقض نیستند، زیرا تندی خطی حاصل ضرب ω در r است.
مسئله صفحه گردان را در پنج گام حل کن
یک: مرجع حل را مشخص کن؛ این مقاله از مرجع لخت زمین استفاده میکند. دو: شعاع r را فاصله جسم تا محور دوران بگیر، نه شعاع خود جسم یا قطر صفحه. سه: نمودار جسم آزاد را رسم و نیروی شعاعی واقعی را پیدا کن. چهار: برای حالت بدون لغزش fₛ = mω²r و برای آستانه، همزمان fₛ = μₛmg را بنویس. پنج: اگر دور بر دقیقه داده شده، آن را پیش از جایگذاری به rad/s تبدیل و پاسخ را از نظر روند و یکا کنترل کن.
تبدیل رایج چنین است: اگر صفحه n دور بر دقیقه بچرخد، بسامد f = n/60 هرتز و سرعت زاویهای ω = 2πf = 2πn/60 است. قرار دادن مستقیم rpm به جای rad/s، یکی از علتهای پاسخ عددی نادرست است.
مثال حلشده: بیشترین دور صفحه پیش از لغزش
جسم کوچکی در فاصله r = 0.50 m از مرکز یک صفحه افقی قرار دارد. ضریب اصطکاک ایستایی میان جسم و صفحه μₛ = 0.20 و g = 10 m/s² است. بیشینه سرعت زاویهای و بیشینه تعداد دور بر دقیقه را بیاب.
در آستانه لغزش، mω²r = μₛmg. جرم حذف میشود و ω_max = √(μₛg/r) = √(0.20×10/0.50) = 2 rad/s به دست میآید.
برای تبدیل به دور بر دقیقه، n = 60ω/(2π) است؛ بنابراین n_max = 120/(2π) ≈ 19.1 rpm. اگر صفحه آهستهتر بچرخد، اصطکاک واقعی کمتر از μₛmg است. اگر سرعت از این مقدار بیشتر شود، اصطکاک ایستایی برای شتاب مرکزگرا کافی نیست و جسم نسبت به صفحه میلغزد.
اثر شعاع، اصطکاک و جرم را بدون محاسبه مقایسه کن
برای دو جسم روی یک صفحه با μₛ یکسان، جسم دورتر از مرکز زودتر به آستانه لغزش میرسد، چون در ω یکسان به شتاب مرکزگرای ω²r بیشتری نیاز دارد. اگر ω ثابت باشد، بیشترین شعاع مجاز r_max = μₛg/ω² است.
افزایش جرم آستانه را تغییر نمیدهد، اما نیروی اصطکاک لازم و بیشینه اصطکاک را هر دو افزایش میدهد. افزایش μₛ یا g، ω_max را بیشتر میکند. این مقایسهها فقط برای صفحه افقی و جسمی معتبرند که نیروی افقی دیگری ندارد.
پنج خطای رایج را پیش از انتخاب گزینه حذف کن
خطای اول، رسم نیروی مرکزگرا علاوه بر اصطکاک است. خطای دوم، قرار دادن fₛ = μₛmg در هر سرعت است؛ این برابری فقط در آستانه لغزش برقرار است. خطای سوم، استفاده از ضریب اصطکاک جنبشی پیش از لغزش است. خطای چهارم، گرفتن r برابر شعاع صفحه بدون توجه به جای جسم و خطای پنجم، جایگذاری rpm به جای rad/s است.
برای مرور شتاب v²/r و ω²r به راهنمای حرکت دایرهای یکنواخت، برای تفاوت اصطکاک ایستایی و جنبشی به مقاله اصطکاک و برای تبدیل v = ωr و دور بر دقیقه به راهنمای سرعت زاویهای و خطی مراجعه کن. این سه پیوند پیشنیازهای مستقیم همین مدلاند.
برای جسم ساکن نسبت به صفحه گردان افقی، ابتدا دستگاه مرجع زمین را انتخاب و نیروهای واقعی را رسم کن. وزن و نیروی عمودی همدیگر را خنثی میکنند و اصطکاک ایستاییِ رو به مرکز باید mω²r را بسازد. تا پیش از آستانه لغزش fₛ = mω²r است، نه μₛmg؛ فقط در مرز لغزش این دو برابر میشوند. از mω²r ≤ μₛmg، رابطه ω_max = √(μₛg/r) به دست میآید. در پایان جهت اصطکاک، تبدیل rpm، یکا و وابستگی پاسخ به شعاع را کنترل کن.