اگر جرمی روی سطح افقیِ بدون اصطکاک میان دو فنر با ثابتهای k₁ و k₂ قرار داشته باشد و سر دیگر هر فنر به یک دیوار ثابت وصل باشد، با جابهجایی جرم هر دو فنر نیروی بازگرداننده همجهت میسازند. بنابراین F_net = −(k₁ + k₂)x، ثابت مؤثر دستگاه k_eff = k₁ + k₂ و دوره نوسان T = 2π√[m/(k₁ + k₂)] است. این آرایش از نظر مقدار ثابت مؤثر شبیه فنرهای موازی است، حتی اگر دو فنر در شکل در دو طرف جرم دیده شوند؛ معیار، اثر همزمان نیروها بر همان جرم است، نه ظاهر شکل.
نیروی هر دو فنر را پس از جابهجایی جرم رسم کن
جرم m را در مکان تعادل x = 0 در نظر بگیر. فنر چپ با ثابت k₁ و فنر راست با ثابت k₂ است و سر دور هر کدام به دیواری ثابت وصل شده. اگر جرم را به اندازه x به راست ببریم، طول فنر چپ x بیشتر و طول فنر راست x کمتر میشود؛ فرض میکنیم هر دو فنر در محدوده قانون هوک باقی میمانند.
فنر کشیده چپ جرم را به چپ میکشد. فنر فشرده راست نیز جرم را به چپ هل میدهد. پس با مثبتگرفتن راست، F₁ = −k₁x و F₂ = −k₂x است. نکته کلیدی این است که کشش و فشار متفاوتاند، اما جهت نیروی بازگرداننده هر دو یکی است. برای جابهجایی به چپ نیز هر دو جهت عوض میشوند و باز هم نیرو مخالف x خواهد بود.
- مبدأ x را مکان تعادل بگیر.
- نیروی هر فنر را جدا و با علامت بنویس.
- برای x > 0، هر دو نیروی فنر رو به چپاند.
- وزن و نیروی عمودی سطح در راستای قائم همدیگر را خنثی میکنند.
ثابت مؤثر دو فنر را از برآیند نیروها به دست آور
با جمع دو نیروی افقی داریم F_net = F₁ + F₂ = −k₁x − k₂x = −(k₁ + k₂)x. مقایسه این رابطه با شکل عمومی نیروی بازگرداننده F = −k_eff x نشان میدهد k_eff = k₁ + k₂ است.
اگر دو فنر یکسان و هر کدام دارای ثابت k باشند، ثابت مؤثر 2k میشود؛ بنابراین دستگاه از یک فنر تنها سختتر است. این نتیجه را میتوان با آزمایش ذهنی کنترل کرد: برای نگهداشتن جرم در جابهجایی مشخص x باید همزمان بر نیروی هر دو فنر غلبه کنیم، پس نیروی خارجی لازم از حالت تکفنر بیشتر است.
- نیروی خالص: F_net = −(k₁ + k₂)x
- ثابت مؤثر: k_eff = k₁ + k₂
- دو فنر یکسان: k_eff = 2k
چرا این آرایش اتصال سری فنرها نیست؟
در اتصال سری معمول، دو فنر پشت سر هم قرار میگیرند و نیروی یکسان از هر دو میگذرد؛ تغییر طول کل نیز جمع تغییر طولهای آنهاست. در آن حالت 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂. اما در دستگاه دو دیوار، جرم نقطه مشترکی است که هر دو فنر مستقیماً روی آن نیرو وارد میکنند و با یک جابهجایی x، هر دو در بازگرداندن جرم مشارکت دارند.
قاعده امن این است که فرمول سری یا موازی را از شکل حفظ نکنی. جرم را کمی جابهجا کن، تغییر طول هر فنر را بر حسب همان x بنویس و نیروها را جمع کن. اگر F_net به صورت −Kx درآمد، ضریب K همان ثابت مؤثر دیدهشده بهوسیله جرم است.
دوره و بسامد نوسان را از ثابت مؤثر حساب کن
قانون دوم نیوتن میدهد m(d²x/dt²) = −(k₁ + k₂)x. این معادله حرکت هماهنگ ساده با بسامد زاویهای ω = √[(k₁ + k₂)/m] است. در نتیجه دوره T = 2π√[m/(k₁ + k₂)] و بسامد f = (1/2π)√[(k₁ + k₂)/m] خواهد بود.
افزایش هر یک از ثابتهای فنر، دستگاه را سختتر و دوره را کمتر میکند؛ افزایش جرم دوره را بیشتر میکند. دامنه در مدل آرمانی وارد رابطه دوره نمیشود، به شرط آنکه تغییر شکلها آنقدر کوچک باشند که قانون هوک معتبر بماند.
- ω = √[(k₁ + k₂)/m]
- T = 2π√[m/(k₁ + k₂)]
- f = 1/T
مثال حلشده: دوره و بیشینه سرعت جرم میان دو فنر
جرمی به اندازه 2 kg میان دو فنر با k₁ = 120 N/m و k₂ = 80 N/m روی سطح بدون اصطکاک قرار دارد. جرم را 10 cm از تعادل کنار میبریم و از سکون رها میکنیم. ثابت مؤثر، دوره و بیشینه سرعت را بیاب.
ابتدا k_eff = 120 + 80 = 200 N/m. پس ω = √(200/2) = 10 rad/s و T = 2π/10 ≈ 0.628 s است. چون جرم از سکون در فاصله 10 cm رها شده، دامنه A = 0.10 m است و بیشینه سرعت در تعادل رخ میدهد: v_max = Aω = 0.10×10 = 1.0 m/s.
برای کنترل، انرژی اولیه دو فنر برابر ½k₁A² + ½k₂A² = ½(k₁ + k₂)A² = 1 J است. در تعادل این انرژی جنبشی میشود: ½mv_max² = ½×2×1² = 1 J؛ پس پاسخ سرعت با پایستگی انرژی سازگار است.
کشش اولیه فنرها چه زمانی دوره را تغییر نمیدهد؟
ممکن است فنرها در مکان تعادل از پیش کشیده باشند. اگر نیروهای اولیه آنها همدیگر را خنثی کنند، جرم ساکن میماند. با جابهجایی کوچک x، تغییر نیروی فنر چپ k₁x و تغییر نیروی فنر راست k₂x است؛ نیروهای ثابتِ متعادل حذف میشوند و نیروی خالصِ وابسته به جابهجایی همچنان −(k₁ + k₂)x خواهد بود.
پس در مدل فنر خطی، پیشکشش متعادل مکان یا نیروهای پایه را تعیین میکند، اما دوره نوسان کوچک را تغییر نمیدهد. اگر فنری شل شود، رفتار غیرخطی باشد یا دیوارها حرکت کنند، این نتیجه دیگر خودکار معتبر نیست و باید دستگاه تازه مدلسازی شود.
دامهای رایج مسئله دو فنر را کنترل کن
خطای نخست، سری دانستن فنرها فقط چون در دو سوی جرم رسم شدهاند. خطای دوم، کمکردن نیروها به دلیل کشیدهشدن یکی و فشردهشدن دیگری است؛ جهت نیروی وارد بر جرم مهم است و هر دو بازگردانندهاند. خطای سوم، استفاده از طول طبیعی بهجای جابهجایی از تعادل در معادله نوسان است.
در پایان، یکای k_eff باید N/m و عبارت m/k_eff دارای یکای s² باشد. برای مرور تفاوت آرایشها، راهنمای قانون هوک و فنرهای سری و موازی را بخوان؛ برای یافتن سرعت در هر مکان، مقاله انرژی نوسانگر جرم–فنر و برای ساخت تابع x(t)، راهنمای معادله نوسان هماهنگ ادامه مستقیم این بحثاند.
- نیروها را پیش از انتخاب فرمول رسم کن.
- x را از تعادل اندازه بگیر.
- همه ثابتها را با واحد N/m وارد کن.
- اعتبار قانون هوک و ثابتبودن دیوارها را بررسی کن.
برای جرم میان دو فنر، جابهجایی مثبت x را از تعادل تعریف و نیروی هر فنر را جداگانه علامتگذاری کن. چون کشیدهشدن یک فنر و فشردهشدن دیگری هر دو جرم را به سوی تعادل میرانند، نیروها جمع میشوند و k_eff = k₁ + k₂ است. سپس از T = 2π√(m/k_eff)، ω = √(k_eff/m) و v_max = Aω استفاده کن. این نتیجه به فنرهای خطی، دیوارهای ثابت، جرم ناچیز فنرها و نبود اصطکاک وابسته است و نباید صرفاً از محل ظاهری فنرها، اتصال سری نتیجه گرفت.