برای محاسبه بار القایی در پیچه بسته با مقاومت کل ثابت R و خودالقایی ناچیز، بار خالص عبوری از یک مقطع سیم برابر q = −N(Φ₂ − Φ₁)/R است؛ Φ شار خارجی هر دور و N تعداد دورهای مشابه است. بنابراین برای تغییر شار یکسان، کوتاه‌ترشدن زمان، بار خالص را عوض نمی‌کند؛ جریان متوسط بزرگ‌تر می‌شود. اگر جهت جریان در مسیر عوض شود، اندازه کل بار عبوری را باید با جمع قدرمطلق بارِ بخش‌ها پیدا کرد، نه فقط با دو سر بازه.
محاسبه بار القایی در پیچه از قانون فاراده
مدل را روشن کن: پیچه یک مسیر بسته سری با N دور مشابه است، مقاومت کل مسیر ثابت می‌ماند، منبع ولتاژ دیگری نداریم و اثر خودالقایی را ناچیز می‌گیریم. جهت مثبت گردش روی سیم را انتخاب کن و با قاعده دست راست، جهت مثبت عمود بر سطح را به آن پیوند بده. در میدان یکنواخت، شار هر دور Φ = BA cosθ است؛ θ زاویه میدان با عمود بر سطح است.
قانون فاراده برای این قرارداد می‌گوید ε = −N dΦ/dt و در مدل مقاومتی I = ε/R است. از تعریف I = dq/dt نتیجه می‌گیریم dq = −(N/R)dΦ. جمع تغییرهای کوچک در کل بازه می‌دهد q = −NΔΦ/R. برای شار یکنواخت‌تغییر نیز بدون حساب دیفرانسیل می‌توان نوشت Iavg = −NΔΦ/(RΔt) و سپس q = IavgΔt؛ زمان حذف می‌شود.
اگر فقط بزرگی بار خالص خواسته شده، |q| = N|Φ₂ − Φ₁|/R را بنویس. منفی‌شدن q در قرارداد جهت‌دار یعنی عبور خالص در خلاف جهت انتخابی؛ به معنی تولید بار منفی یا منفی‌بودن اندازه بار نیست.
برای ساخت قرارداد جهت و تعیین ساعتگرد یا پادساعتگرد بودن جریان، راهنمای قانون لنز و شار مغناطیسی پیش‌نیاز این محاسبه است.
چرا بار به مدت تغییر شار وابسته نیست؟
دو آزمایش با پیچه و مقاومت یکسان را مقایسه کن که شار هر دور در هر دو از یک مقدار اولیه به همان مقدار نهایی می‌رسد. در آزمایش سریع‌تر، نیروی محرکه و جریان متوسط بزرگ‌تر است، اما جریان مدت کوتاه‌تری برقرار می‌ماند. حاصل IavgΔt و در نتیجه بار خالص یکسان می‌شود. این استدلال به ثابت‌بودن جریان لحظه‌ای نیاز ندارد.
مثال کوتاه: اگر N = 100، R = 5 Ω و ΔΦ = 0.002 Wb باشد، اندازه بار خالص 100×0.002/5 = 0.040 C است. برای تغییر یکنواخت در ۰٫۲۰ ثانیه، اندازه جریان ۰٫۲۰ آمپر؛ برای همان تغییر یکنواخت در ۰٫۸۰ ثانیه، اندازه جریان ۰٫۰۵۰ آمپر می‌شود. هر دو جریان در زمان خود، ۰٫۰۴۰ کولن عبور می‌دهند.
این استقلال را به گرمای ژولی تعمیم نده. در همین دو تغییر یکنواخت، گرما از I²RΔt به‌ترتیب ۰٫۰۴۰ و ۰٫۰۱۰ ژول است. بار خالص برابر الزاماً به معنی گرما یا توان برابر نیست؛ توان به اندازه جریان و گرما به نحوه انجام فرایند هم وابسته است.
شار هر دور را با شار پیوندی اشتباه نگیر
اگر داده، شار یک دور Φ برحسب وبر باشد، ضریب N را در رابطه بار وارد کن. اگر صورت سؤال شار پیوندی کل را به صورت Λ = NΦ داده باشد، رابطه q = −ΔΛ/R است و نباید یک بار دیگر در N ضرب شود. برای دورهای با شار متفاوت، شار پیوندی مجموع شار دورهاست و میان‌بر NΦ فقط برای شار برابرِ دورها معتبر است.
R مقاومت کل مسیر بسته است؛ اگر مقاومت خود پیچه و یک مقاومت خارجی سری داده شده، ابتدا آن‌ها را جمع کن. بار محاسبه‌شده از هر مقطع همان سیم سری می‌گذرد؛ دورهای سیم شاخه‌های موازی نیستند تا بار را میانشان تقسیم یا دوباره جمع کنی.
مثال حل‌شده: نمودار شار بالا می‌رود و سپس پایین می‌آید
مسئله تألیفی: پیچه‌ای ۲۰۰ دور با مقاومت کل ۱۰ اهم داریم. خودالقایی ناچیز است. شار علامت‌دار هر دور ابتدا ۱ میلی‌وبر است، طی ۰٫۴ ثانیه یکنواخت به ۴ میلی‌وبر می‌رسد و سپس طی ۰٫۲ ثانیه یکنواخت به ۳ میلی‌وبر کاهش می‌یابد. بار خالص و اندازه کل بار عبوری از یک مقطع سیم را بیاب.
بخش اول: ΔΦ₁ = (4−1)×10⁻³ = 0.003 Wb؛ پس q₁ = −200×0.003/10 = −0.060 C. بخش دوم: ΔΦ₂ = (3−4)×10⁻³ = −0.001 Wb؛ پس q₂ = −200×(−0.001)/10 = +0.020 C. جریان در دو بخش خلاف جهت است، زیرا علامت شیب نمودار شار عوض شده است.
بار خالص qnet = −0.060+0.020 = −0.040 C است. محاسبه مستقیم از دو سر بازه هم همین جواب را می‌دهد: −200×(3−1)×10⁻³/10 = −0.040 C. اما کل بار در دو جهت برابر |q₁|+|q₂| = 0.080 C است. قدرمطلق بار خالص، یعنی ۰٫۰۴۰ کولن، پاسخ خواسته دوم نیست.
کنترل با جریان: I₁ = −0.060/0.4 = −0.150 A و I₂ = 0.020/0.2 = +0.100 A. مساحت علامت‌دار این دو مستطیل در نمودار I–t همان −۰٫۰۴۰ کولن است. کنترل واحد نیز Wb/Ω = (V·s)/(V/A) = A·s = C را می‌دهد.
برای مرور تفاوت مساحت علامت‌دار و مجموع قدرمطلق مساحت‌ها، آموزش بار الکتریکی از نمودار جریان–زمان روش هندسی این کنترل را توضیح می‌دهد.
در نمودار شار–زمان، ارتفاع و شیب چه نقشی دارند؟
اختلاف ارتفاع دو سر نمودار Φ–t، تغییر شار و در نتیجه بار خالص را تعیین می‌کند؛ شیب نمودار، نیروی محرکه و با دانستن R جریان را می‌دهد. مساحت زیر نمودار شار–زمان، بار الکتریکی نیست. برای کل بار، نمودار شار را در بیشینه‌ها و کمینه‌ها به بخش‌های یکنواخت تقسیم کن و N/R را در مجموع قدرمطلق تغییر شار آن بخش‌ها ضرب کن.
تغییر علامت خودِ شار الزاماً جریان را معکوس نمی‌کند؛ معکوس‌شدن علامت شیب است که در این مدل جهت جریان را عوض می‌کند. اگر شار پس از چند تغییر به مقدار اول برگردد، بار خالص صفر است، اما ممکن است در مسیر بار زیادی در هر دو جهت عبور کرده باشد.
نمونه فیزیکی دو جریان خلاف جهت را در نمودار جریان القایی حلقه متحرک ببین؛ آن صفحه زمان‌های ورود و خروج و شکل پالس‌های جریان را از هندسه حرکت پیدا می‌کند.
چک‌لیست کاربرد رابطه بار و تغییر شار
اگر مدار باز باشد، رابطه جریان مقاومتیِ مسیر بسته را به کار نبر. اگر مقاومت با دما یا زمان تغییر کند، نمی‌توان 1/R را از جمع تغییرهای کوچک بیرون کشید. اگر خودالقایی قابل توجه باشد، شار خارجی به‌تنهایی برای این میان‌بر کافی نیست و باید پاسخ گذرای مدار و جریان دو سر بازه بررسی شود.
- آیا پیچه بسته، مقاومت ثابت و خودالقایی ناچیز است؟
- داده شار هر دور است یا شار پیوندی کل؟
- واحد میلی‌وبر را به وبر تبدیل کرده‌ای؟
- بار خالص خواسته شده یا کل مقدار بار در هر دو جهت؟
- برای کل بار، تغییر جهت شیب نمودار را جدا کرده‌ای؟
- آیا واحد جواب کولن و جهت آن با قانون لنز سازگار است؟
برای بار خالص، تغییر شار علامت‌دار هر دور را در −N/R ضرب کن. برای کل بار در دو جهت، مسیر را در نقطه‌های تغییر جهت جریان تقسیم کن و قدرمطلق بار هر بخش را جمع بزن. حذف زمان به مقاومت ثابت و مدل خودالقایی ناچیز وابسته است. در مثال پیچه، بار خالص −۰٫۰۴ کولن و کل بار ۰٫۰۸ کولن شد؛ هیچ‌یک را دوباره در تعداد دور ضرب نمی‌کنیم.