برای رسم نمودار جریان القایی حلقه متحرک، ابتدا زمان‌های تماس لبه‌های حلقه با دو مرز میدان را پیدا کن. هنگام ورود، مساحتِ داخل میدان و شار تغییر می‌کند و جریان با اندازه I = Bℓv/R برقرار است؛ وقتی حلقه کاملاً در میدان یکنواخت قرار دارد، شار ثابت و جریان صفر است؛ هنگام خروج همان اندازه جریان با علامت مخالف ایجاد می‌شود. این نتیجه به مرز تیز میدان، سرعت و مقاومت ثابت و ناچیزبودن خودالقایی حلقه وابسته است.
مدل حلقه و مرزهای میدان را پیش از فرمول مشخص کن
حلقه رسانای مستطیلی با پهنای a در راستای حرکت و طول ضلع عمودی ℓ، با تندی ثابت v به راست حرکت می‌کند. ناحیه میدان مغناطیسی یکنواخت پهنای D دارد و میدان بر صفحه حلقه عمود و رو به داخل صفحه است. در این مسئله D > a است تا حلقه برای مدتی کامل درون میدان قرار گیرد.
فرض می‌کنیم بیرون ناحیه میدان، B = 0 است؛ مرز میدان تیز، مقاومت کل حلقه R ثابت و خودالقایی ناچیز است. حلقه با تغییر جریان کند نمی‌شود، زیرا عامل خارجی تندی را ثابت نگه می‌دارد. اگر یکی از این شرط‌ها برداشته شود، گوشه‌های نمودار می‌توانند گرد شوند یا اندازه جریان ثابت نماند.
- a: بعد حلقه در راستای حرکت
- ℓ: طول ضلع عمود بر حرکت
- D: پهنای ناحیه میدان با شرط D > a
- جهت مثبت جریان: پادساعتگرد
نمودار جریان القایی حلقه متحرک را از چهار زمان مرزی بساز
لحظه ورود لبه جلویی را t = 0 می‌گیریم. ورود حلقه تا رسیدن لبه عقبی به مرز اول، یعنی تا t₁ = a/v، طول می‌کشد. لبه جلویی در t₂ = D/v به مرز دوم می‌رسد و خروج آغاز می‌شود. در t₃ = (D + a)/v نیز لبه عقبی از مرز دوم می‌گذرد و حلقه کاملاً خارج می‌شود.
پس نمودار چهار بازه دارد: پیش از t = 0 جریان صفر است؛ از 0 تا t₁ پالس ورود دیده می‌شود؛ از t₁ تا t₂ حلقه کامل در میدان و جریان صفر است؛ از t₂ تا t₃ پالس خروج با علامت مخالف شکل می‌گیرد؛ پس از t₃ نیز جریان دوباره صفر می‌شود.
- پایان ورود: t₁ = a/v
- آغاز خروج: t₂ = D/v
- پایان خروج: t₃ = (D + a)/v
- پهنای هر پالس در این مدل: a/v
اندازه و علامت جریان القایی را جداگانه تعیین کن
هنگام ورود، طول هم‌پوشانی با سرعت v زیاد می‌شود؛ بنابراین آهنگ تغییر مساحت dA/dt = ℓv است. از قانون فاراده، اندازه نیروی محرکه |ε| = Bℓv و از قانون اهم اندازه جریان |I| = Bℓv/R به دست می‌آید. تسلا ضرب‌در متر ضرب‌در متر بر ثانیه، ولت می‌دهد و تقسیم آن بر اهم باید آمپر بسازد.
چون شارِ رو به داخل صفحه هنگام ورود افزایش می‌یابد، میدان القایی باید رو به بیرون باشد؛ پس جریان پادساعتگرد و با قرارداد ما مثبت است. هنگام خروج، شارِ رو به داخل کاهش می‌یابد؛ جریان برای حفظ آن میدانی رو به داخل می‌سازد، ساعتگرد و منفی می‌شود. وقتی حلقه کامل در میدان یکنواخت است، B و مساحت حلقه ثابت‌اند؛ پس dΦ/dt = 0 و با وجود B ناصفر، جریان القایی صفر است.
مثال حل‌شده: داده‌ها و بازه‌های زمانی را استخراج کن
حلقه‌ای با a = 20 cm و ℓ = 30 cm با تندی ثابت v = 10 cm/s از ناحیه‌ای به پهنای D = 50 cm می‌گذرد. میدان B = 0.40 T رو به داخل صفحه و مقاومت حلقه R = 0.60 Ω است. مبدأ زمان لحظه ورود لبه جلویی است. نمودار I–t، بار عبوری و گرمای تولیدشده را بیاب؛ جریان پادساعتگرد را مثبت بگیر.
ابتدا واحدها را به SI می‌بریم: a = 0.20 m، ℓ = 0.30 m، v = 0.10 m/s و D = 0.50 m. زمان پایان ورود t₁ = 0.20/0.10 = 2.0 s است. خروج در t₂ = 0.50/0.10 = 5.0 s آغاز می‌شود و در t₃ = (0.50 + 0.20)/0.10 = 7.0 s پایان می‌یابد.
مثال حل‌شده: جریان هر قطعه نمودار را حساب کن
اندازه نیروی محرکه در ورود و خروج برابر |ε| = Bℓv = 0.40×0.30×0.10 = 0.012 V است. پس |I| = 0.012/0.60 = 0.020 A، یعنی 20 mA. از قانون لنز، پالس ورود مثبت و پالس خروج منفی است.
بنابراین تابع قطعه‌ای نمودار چنین است: برای t < 0، I = 0؛ در 0 < t < 2 s، I = +0.020 A؛ در 2 < t < 5 s، I = 0؛ در 5 < t < 7 s، I = −0.020 A؛ و برای t > 7 s، I = 0. در مدل مرز تیز، تغییرها ناگهانی رسم می‌شوند؛ مقدار دقیق روی خود مرزها برای مساحت زیر نمودار اهمیتی ندارد.
- ورود: +20 mA به مدت 2 s
- حضور کامل در میدان: 0 A به مدت 3 s
- خروج: −20 mA به مدت 2 s
- پس از خروج کامل: 0 A
بار عبوری، گرما و معقول‌بودن جواب را کنترل کن
مساحت علامت‌دار زیر نمودار I–t بار جبری عبوری است. در ورود qin = (+0.020)(2.0) = +0.040 C و در خروج qout = (−0.020)(2.0) = −0.040 C می‌شود؛ پس بار جبری کل صفر است. این صفرشدن به معنی نبودن جریان نیست: اندازه کل باری که در دو جهت از یک مقطع گذشته 0.080 C است.
گرمای ژولی علامت جریان را نادیده می‌گیرد. برای هر پالس Qheat = I²RΔt = (0.020)²(0.60)(2.0) = 4.8×10⁻⁴ J و برای دو پالس مجموع گرما 9.6×10⁻⁴ J است. کنترل نهایی: دو پالس باید هم‌اندازه و خلاف‌علامت باشند، جریان در بازه شار ثابت صفر بماند و واحد I آمپر، بار کولن و گرما ژول باشد.
خطاهای رایج و مرز کاربرد پاسخ را بشناس
خطای رایج نخست این است که چون حلقه داخل میدان است، در تمام مدت I = Bℓv/R بنویسیم؛ شرط القا تغییر شار است، نه فقط وجود میدان. خطای دوم، یکسان‌گرفتن علامت ورود و خروج است. خطای سوم، استفاده از a به‌جای ℓ در Bℓv است؛ ℓ طول مرزی است که مساحت هم‌پوشانی را جاروب می‌کند. خطای چهارم، جای‌گذاری سانتی‌متر بدون تبدیل به متر است.
این شکل نمودار برای D > a و میدان ایدئال با مرز تیز نوشته شد. اگر D = a باشد، بازه صفر میانی از بین می‌رود؛ اگر D < a باشد، زمان‌بندی هم‌پوشانی باید از نو و بر اساس هندسه رسم شود. برای بنیان جهت‌یابی مقاله قانون لنز و شار مغناطیسی، برای منشأ رابطه Bℓv راهنمای نیروی محرکه حرکتی و برای تفسیر مساحت نمودار، مقاله بار الکتریکی از نمودار جریان–زمان را بخوان.
- وجود B به‌تنهایی جریان القایی نمی‌سازد.
- علامت جریان از افزایش یا کاهش شار می‌آید.
- بعد عمود بر حرکت، ℓ، وارد آهنگ تغییر مساحت می‌شود.
- پیش از محاسبه همه طول‌ها را به متر تبدیل کن.
نمودار جریان القایی حلقه متحرک از تغییر مساحت هم‌پوشانی ساخته می‌شود، نه از حضور صرف حلقه در میدان. برای ناحیه‌ای پهن‌تر از حلقه، نمودار ایدئال شامل یک پالس هنگام ورود، یک بازه صفر در حضور کامل و پالسی هم‌اندازه با علامت مخالف هنگام خروج است. زمان مرزها را از هندسه و سرعت، اندازه جریان را از Bℓv/R و علامت را از قانون لنز به دست آور. سپس واحد آمپر، صفرشدن جریان در شار ثابت و صفرشدن بار جبری دو پالس را کنترل کن.