در دستگاه قرقره متحرک، شتاب دو جسم را نباید بیدلیل برابر گرفت. راه مطمئن این است که فقط بخشهای متغیر نخ را جمع کنی و طول کل را ثابت بگذاری. اگر یک سر نخ ثابت باشد، دو شاخه نخ قرقره متحرک را نگه دارند و سر آزاد به جرم دیگری وصل باشد، با انتخاب جهت رو به پایین برای هر دو مختصات داریم L = y + 2x + ثابت؛ پس Δy = −2Δx، v_y = −2v_x و a_y = −2a_x. بعد از ساختن این قید حرکتی، برای هر جسم جداگانه قانون دوم نیوتن را مینویسیم.
مدل آرمانی نخ و قرقره را پیش از حل مشخص کن
در مسئلههای دبیرستانی معمولاً نخ را سبک و کششناپذیر و قرقره را سبک و بدون اصطکاک فرض میکنیم. کششناپذیربودن یعنی طول کل نخ تغییر نمیکند. در یک نخ پیوسته و قرقره آرمانی، اندازه کشش T در همه بخشهای همان نخ برابر است؛ اگر دستگاه دو نخ جدا داشته باشد، کششهای آنها لزوماً برابر نیست.
قرقره ثابت فقط جهت کشش را عوض میکند، اما قرقره متحرک همراه بار جابهجا میشود. اگر دو شاخه از یک نخ، مجموعه قرقره متحرک را نگه دارند، روی آن مجموعه دو نیروی T وارد میشود و نیروی رو به بالای ناشی از نخ 2T است. این نکته نیرویی را با قید حرکتی اشتباه نکن: 2T از نمودار جسم آزاد میآید، در حالی که ضریب 2 در رابطه شتابها از دو بخش متغیر طول نخ میآید.
- هر نخ پیوسته یک قید طول مستقل دارد.
- کششهای یک نخ آرمانی برابرند.
- تعداد شاخههای نگهدارنده، نیروی وارد بر قرقره متحرک را تعیین میکند.
معادله طول نخ را فقط از بخشهای متغیر بساز
یک سر نخ را به سقف بسته، نخ را از زیر قرقره متحرک عبور داده و سر آزاد را به جرم m وصل کن. مکان رو به پایین قرقره متحرک را x و مکان رو به پایین جرم آزاد را y بگیر. دو شاخه کنار قرقره با جابهجایی x تغییر طول میدهند و شاخه متصل به جرم با y؛ طول دور قرقره و فاصلههای ثابت را در یک مقدار ثابت C جمع میکنیم: L = 2x + y + C.
چون L ثابت است، برای دو وضعیت دستگاه داریم 2Δx + Δy = 0. بنابراین اگر قرقره متحرک 1 cm بالا برود، هر دو شاخه نگهدارنده در مجموع 2 cm کوتاه میشوند و سر آزاد باید 2 cm پایین برود. علامت منفی در Δy = −2Δx نشان میدهد جهت حرکتها مخالف است؛ عدد 2 نسبت اندازه جابهجاییها را میدهد.
قید مکان را به رابطه سرعت و شتاب تبدیل کن
از رابطه 2x + y = ثابت، با مشتق زمانی به 2v_x + v_y = 0 و سپس 2a_x + a_y = 0 میرسیم. پس v_y = −2v_x و a_y = −2a_x. اگر جهت مثبت یکی از محورها را رو به بالا انتخاب کنی، علامت معادله تغییر میکند؛ بنابراین رابطه را حفظ نکن، بلکه هر بار آن را از تعریف مختصات خودت بساز.
این قید درباره اندازه و جهت حرکت است و چیزی درباره مقدار نیروها نمیگوید. برای یافتن شتاب عددی و کشش باید علاوه بر قید، قانون دوم نیوتن را برای جرم آزاد و مجموعه قرقره متحرک بنویسی. تعداد مجهولها و معادلههای مستقل را پیش از حل بشمار.
مثال حلشده: شتاب دو جرم و کشش نخ
جرم m = 2 kg به سر آزاد نخ وصل است و بار M = 3 kg همراه قرقره متحرک حرکت میکند. جرم نخ و قرقره و اصطکاک ناچیز و g = 10 m/s² است. جهت رو به پایین را برای هر دو جرم مثبت میگیریم. از ثابتبودن طول نخ، a_m + 2a_M = 0 و در نتیجه a_m = −2a_M است.
برای جرم آزاد، نیروهای رو به پایین و بالا بهترتیب mg و T هستند؛ پس mg − T = ma_m. برای مجموعه بار و قرقره متحرک، وزن Mg رو به پایین و دو کشش T رو به بالا وارد میشود؛ بنابراین Mg − 2T = Ma_M. با جایگذاری عددها داریم 20 − T = 2a_m و 30 − 2T = 3a_M.
قید a_m = −2a_M را در معادلهها قرار میدهیم. نتیجه a_M = −10/11 m/s²، a_m = 20/11 m/s² و T = 180/11 N است. علامت منفی a_M یعنی بار 3 کیلوگرمی با اندازه 10/11 m/s² رو به بالا میرود؛ جرم 2 کیلوگرمی با دو برابر این شتاب رو به پایین حرکت میکند.
برای دستگاه چندقرقرهای، هر شاخه متغیر را جدا بشمار
در شکل پیچیدهتر، بهجای استفاده از یک نسبت آماده، مسیر یک نخ را از سر ثابت تا سر دیگر دنبال کن. هر پارهای که طولش با حرکت جسم تغییر میکند یک جمله مختصاتی میسازد. اگر یک جسم به سه شاخه متغیر همان نخ مربوط باشد، مختصات آن ممکن است سه بار در معادله طول ظاهر شود؛ جهت و آرایش شکل تعیین میکند جملهها همعلامتاند یا نه.
وجود قرقره ثابت ضریب تازهای ایجاد نمیکند مگر آنکه حرکت جسمی طول یک شاخه را واقعاً تغییر دهد. همچنین برای هر نخ جدا یک معادله طول جدا بنویس. سپس روابط قید را کنار نمودار جسم آزاد هر بخش قرار بده؛ راهنمای رسم نمودار جسم آزاد برای تشخیص نیروها و مقاله ماشین آتوود برای حالت سادهتر دو جرم متصل، پیشنیازهای مرتبط این حل هستند.
چهار خطای رایج را با کنترل فیزیکی پیدا کن
برابرگرفتن شتاب همه اجزا، شمردن طول ثابت دور قرقره بهعنوان بخش متغیر، نوشتن فقط یک T روی قرقره متحرک و برابرگرفتن T با وزن یک جرم، چهار خطای متداولاند. رابطه T = mg فقط وقتی برای آن جسم درست است که شتاب عمودیاش صفر باشد؛ در دستگاه شتابدار باید برآیند نیروها را بنویسی.
پس از حل، جواب را با سه آزمون بررسی کن: رابطه شتابها باید دقیقاً قید طول را برآورده کند؛ جهت حرکت دو سر مرتبط باید با کوتاه و بلندشدن شاخهها سازگار باشد؛ و جایگذاری T و شتاب در معادله نیوتن هر جسم باید ابعاد نیرو و علامت درست بدهد. اگر نسبت شتاب را تنها از حافظه نوشتهای، یک بار با جابهجایی کوچک فرضی آن را بازسازی کن.
- ابتدا جهت مثبت هر مختصات را روی شکل تعیین کن.
- فقط طولهای متغیر را در L بنویس.
- نیروهای وارد بر هر جسم را جدا رسم کن.
- علامت منفی جواب را به جهت فیزیکی ترجمه کن.
در قرقره متحرک، نسبت شتابها از تعداد شاخههای متغیر نخ به دست میآید، نه از حدس یا شکل ظاهری دستگاه. ابتدا مختصات و جهت مثبت را تعریف کن، سپس طول نخ را با همه بخشهای متغیر بنویس و از ثابتبودن آن رابطه شتابها را بساز. در مدل آرمانی کشش در سراسر یک نخ یکسان است، اما قرقره متحرک ممکن است چند نیروی کشش دریافت کند. در پایان، قید حرکتی، معادله نیوتن هر جسم و علامت جوابها را همزمان کنترل کن.