اگر سطح آزاد مایع به اندازه h بالاتر از سوراخ کوچک مخزن باشد، در مدل آرمانی سرعت خروج از قانون توریچلی به دست میآید: v = √(2gh). جریان از سوراخ دیواره افقی بیرون میآید؛ بنابراین برای یافتن محل برخورد آن با زمین، حرکت افقی با سرعت ثابت v را با سقوط قائم از ارتفاع y سوراخ ترکیب کن. زمان سقوط t = √(2y/g) و برد افقی x = vt = 2√(hy) است. h را عمق سوراخ زیر سطح مایع و y را ارتفاع سوراخ از محل برخورد بگیر؛ یکیگرفتن این دو فاصله رایجترین خطای این مسئله است.
پیش از استفاده از قانون توریچلی، مدل مخزن را بررسی کن
مخزن را باز و سطح مقطع آن را بسیار بزرگتر از سطح سوراخ فرض کن. در این صورت فشار روی سطح آزاد و جلوی سوراخ هر دو فشار هواست و در معادله برنولی حذف میشوند. سرعت پایینرفتن سطح آب نیز در مقایسه با سرعت خروج ناچیز است. اگر سوراخ کوچک باشد و اتلاف ناشی از گرانروی نادیده گرفته شود، سرعت خروج فقط به اختلاف ارتفاع h وابسته میشود.
این فرضها بخشی از پاسخاند، نه حاشیه مسئله. در مخزن دربسته با فشار گاز متفاوت، رابطه ساده کافی نیست. برای سوراخ یا لوله خروجی واقعی نیز اصطکاک و انقباض جریان میتواند دبی و سرعت عملی را از مقدار آرمانی کمتر کند. در سؤالهای دبیرستانی معمولاً عبارتهایی مانند «مخزن بزرگ»، «مایع آرمانی» و «سوراخ کوچک» اجازه استفاده از مدل را میدهند.
- مخزن و سوراخ هر دو در تماس با فشار هوای یکساناند.
- سطح مقطع مخزن بسیار بزرگتر از سوراخ است.
- h فاصله قائم سطح آزاد تا مرکز سوراخ است.
سرعت خروج را از معادله برنولی به دست آور
نقطه ۱ را روی سطح آزاد و نقطه ۲ را در مرکز سوراخ انتخاب کن. تراز سوراخ را صفر بگیر؛ در نتیجه z₁ = h و z₂ = 0 است. معادله برنولی میان این دو نقطه برابر p₁ + ρgh + ½ρv₁² = p₂ + ½ρv₂² میشود.
چون p₁ = p₂ = pهوا و برای مخزن بزرگ v₁ ≈ 0 است، دو جمله فشار و سرعت سطح حذف میشوند. پس ρgh = ½ρv₂² و در نهایت v₂ = √(2gh). چگالی نیز حذف میشود؛ بنابراین در مدل آرمانی، مایعات مختلف با ارتفاع یکسان سرعت خروج یکسانی دارند، هرچند دبی جرمی آنها یکسان نیست.
- قانون توریچلی: v = √(2gh)
- h عمق سوراخ زیر سطح آزاد است.
- یکای سرعت خروج: m/s
فوران آب را پس از خروج یک پرتاب افقی ببین
سرعت آب در لحظه خروج از سوراخ دیواره افقی است. پس از خروج و با صرفنظر از مقاومت هوا، هر قطره در راستای افقی با سرعت ثابت v حرکت میکند و در راستای قائم از ارتفاع y سقوط آزاد دارد. از y = ½gt² زمان رسیدن به زمین t = √(2y/g) به دست میآید.
برد افقی برابر x = vt است. با جایگذاری v = √(2gh) و زمان سقوط داریم x = √(2gh)√(2y/g) = 2√(hy). شتاب گرانش در نتیجه نهایی برد حذف میشود، اما این به معنای نبود نقش گرانش نیست؛ g هم سرعت خروج و هم زمان سقوط را تغییر میدهد و اثرهای آن در این مدل یکدیگر را خنثی میکنند.
- زمان سقوط: t = √(2y/g)
- برد افقی: x = 2√(hy)
- y ارتفاع سوراخ تا سطح برخورد است.
مثال حلشده: محل برخورد آب با زمین
سطح آب مخزنی بزرگ 1.80 m بالاتر از زمین است و سوراخ کوچکی روی دیواره در ارتفاع 0.80 m از زمین قرار دارد. با g = 10 m/s²، سرعت خروج، زمان رسیدن آب به زمین و فاصله افقی محل برخورد را پیدا کن.
عمق سوراخ زیر سطح آب h = 1.80 − 0.80 = 1.00 m است. پس v = √(2×10×1.00) = √20 ≈ 4.47 m/s. ارتفاع سقوط y = 0.80 m است؛ بنابراین t = √(2×0.80/10) = √0.16 = 0.40 s.
برد افقی x = vt = 4.47×0.40 ≈ 1.79 m میشود. کنترل مستقیم با x = 2√(hy) نیز 2√(1.00×0.80) ≈ 1.79 m میدهد. اگر بهاشتباه 1.80 متر را بهجای h در قانون توریچلی بگذاریم، سرعت خروج را بیش از مقدار درست حساب کردهایم.
ارتفاع سوراخ برای بیشترین برد را بدون مشتق پیدا کن
فرض کن سطح آب در ارتفاع ثابت H از زمین باشد و سوراخ در ارتفاع y قرار گیرد. در این صورت عمق سوراخ h = H − y است و مربع برد برابر x² = 4y(H − y) میشود. حاصلضرب دو عدد نامنفی با مجموع ثابت H زمانی بیشینه است که آن دو برابر باشند؛ پس y = H − y و در نتیجه y = H/2 است.
بنابراین سوراخی در نیمه ارتفاع سطح آب بیشترین برد افقی را دارد. همچنین دو سوراخ با ارتفاعهای y₁ و y₂ که y₁ + y₂ = H باشد، بردهای برابر دارند؛ یکی سرعت خروج بیشتر و زمان سقوط کمتر دارد و دیگری سرعت کمتر و زمان سقوط بیشتر. این نتیجه زمانی معتبر است که H هنگام مقایسه ثابت بماند.
- رابطه ارتفاعها: h + y = H
- بیشترین برد: h = y = H/2
- سوراخهای متقارن نسبت به H/2 برد برابر دارند.
مسئله سوراخ مخزن را در پنج گام حل کن
یک: سطح آزاد، سوراخ و زمین را روی یک خط قائم علامت بزن. دو: h را از سطح آزاد تا سوراخ و y را از سوراخ تا زمین جدا بنویس. سه: با v = √(2gh) سرعت خروج را حساب کن. چهار: با t = √(2y/g) زمان سقوط را بیاب. پنج: x = vt را بنویس و پاسخ را با x = 2√(hy) کنترل کن.
اگر دبی حجمی خواسته شده باشد، پس از یافتن سرعت از Q = Av استفاده کن که A مساحت سوراخ است. اگر تراز آب با زمان پایین میآید، h و سرعت خروج ثابت نیستند و مسیر ساده بالا فقط وضعیت یک لحظه را توصیف میکند. برای ساختن معادله کامل جریان، راهنمای پیوستگی و برنولی و برای تحلیل بخش پس از خروج، مقاله پرتاب افقی را مرور کن.
چهار خطای رایج در مسئله توریچلی را کنار بگذار
خطای نخست، استفاده از ارتفاع کل آب بهجای عمق سوراخ h است. خطای دوم، بهکاربردن همین h برای زمان سقوط؛ زمان با ارتفاع y از سوراخ تا زمین تعیین میشود. خطای سوم، فرض قائمبودن سرعت خروج از سوراخ دیواره است؛ سرعت آغازین مماس بر سوراخ و افقی است. خطای چهارم، استفاده از قانون توریچلی بدون توجه به فشار متفاوت دو نقطه یا سرعت محسوس سطح مایع است.
در کنترل نهایی، سرعت باید با ریشه طول متناسب باشد، برد یکای طول داشته باشد و اگر سوراخ به سطح آب یا زمین نزدیک شود، برد به صفر میل کند. این دو حالت حدی نشان میدهند چرا سوراخ میانی میتواند برد بیشتری از سوراخهای نزدیک دو انتها داشته باشد.
در مخزن بزرگ و باز با سوراخ کوچک، اختلاف ارتفاع سطح آزاد و سوراخ را h بگیر و از v = √(2gh) سرعت خروج را بساز. سپس ارتفاع سوراخ تا زمین را y قرار بده: t = √(2y/g) و x = 2√(hy). اگر ارتفاع سطح آب از زمین H ثابت باشد، h = H − y و برد برابر x = 2√(y(H − y)) است؛ پس سوراخ میانی با y = H/2 بیشترین برد را میدهد. این نتیجه به جریان آرمانی، فشار هوای یکسان و تقریب ثابتبودن سطح آب وابسته است و برای سوراخ بزرگ یا تخلیه طولانی باید تغییر تراز آب را نیز در نظر گرفت.