معادله پیوستگی و برنولی؛ روش حل دبی، سرعت و فشار شاره

دبی و معادله پیوستگی چه می‌گویند؟

دبی حجمی Q حجم شاره عبوری از یک مقطع در واحد زمان است: Q = ΔV/Δt. اگر سرعت در سطح مقطع یکنواخت و بر آن عمود باشد، حجم عبوری در زمان Δt برابر A v Δt است؛ پس Q = Av. واحد دبی حجمی در SI متر مکعب بر ثانیه است.

در جریان پایای شاره تراکم‌ناپذیر، حجمی که در هر ثانیه وارد بخشی از لوله می‌شود با حجم خروجی برابر است. بنابراین A₁v₁ = A₂v₂. نتیجه مستقیم این است که با کوچک‌شدن سطح مقطع، سرعت افزایش می‌یابد. این رابطه به‌تنهایی درباره فشار چیزی نمی‌گوید؛ برای فشار باید برنولی یا اطلاعات دیگری داشته باشیم.

• دبی حجمی: Q = ΔV/Δt = Av.
• پیوستگی در لوله بدون انشعاب: A₁v₁ = A₂v₂.
• اگر قطر نصف شود، سطح مقطع یک‌چهارم و سرعت چهار برابر می‌شود، نه دو برابر.

رابطه برنولی را به‌صورت انرژی بخوان

برای جریان پایای شاره ایده‌آل و تراکم‌ناپذیر روی یک خط جریان، مجموع P + ½ρv² + ρgh ثابت است. جمله P فشار ایستایی، جمله ½ρv² انرژی جنبشی در واحد حجم و جمله ρgh انرژی پتانسیل گرانشی در واحد حجم است. هر سه جمله واحد پاسکال یا ژول بر متر مکعب دارند.

برنولی میان دو نقطه نوشته می‌شود: P₁ + ½ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + ½ρv₂² + ρgh₂. علامت ارتفاع را از یک تراز مرجع مشترک بگیر. اگر دو نقطه هم‌ارتفاع باشند، جمله‌های ρgh حذف می‌شوند؛ اما حذف فشار یا سرعت فقط وقتی مجاز است که دلیل فیزیکی یا داده صریح داشته باشی.

مسیر پنج‌مرحله‌ای حل مسئله‌های جریان شاره

اول دو نقطه مناسب انتخاب کن؛ معمولاً جایی که داده بیشتری داری و جایی که کمیت مجهول خواسته شده است. دوم، کنار هر نقطه چهار کمیت P، v، h و A را بنویس و همه واحدها را به SI تبدیل کن. سوم، اگر سطح مقطع یا سرعت مجهول است، رابطه پیوستگی را بنویس.

چهارم، رابطه برنولی را فقط با جمله‌های لازم میان همان دو نقطه بنویس و مقدار به‌دست‌آمده از پیوستگی را جای‌گذاری کن. پنجم، پاسخ را کیفی کنترل کن: در لوله افقی اگر مقطع دوم کوچک‌تر است، باید v₂ > v₁ باشد و در مدل ایده‌آل P₂ < P₁ به دست آید.

• نقطه‌ها و تراز مرجع ارتفاع را روی یک طرح ساده مشخص کن.
• شعاع یا قطر را پیش از محاسبه به سطح A = πr² تبدیل کن.
• پیوستگی را برای سرعت و برنولی را برای ارتباط فشار، سرعت و ارتفاع به کار ببر.
• واحد هر جمله برنولی را پاسکال کنترل کن.

مثال حل‌شده: سرعت و فشار در تنگ‌شدگی لوله

آب با چگالی 1000 kg/m³ در لوله‌ای افقی جریان دارد. سطح مقطع بخش اول 6 cm²، سرعت آن 2 m/s و فشار آن 150 kPa است. سطح مقطع بخش دوم 3 cm² است. از پیوستگی داریم 6×2 = 3×v₂؛ پس v₂ = 4 m/s. چون در نسبت سطح‌ها از یک واحد مشترک استفاده کرده‌ایم، نیازی به تبدیل cm² نبوده است.

دو نقطه هم‌ارتفاع‌اند، پس P₁ + ½ρv₁² = P₂ + ½ρv₂². بنابراین P₂ = 150000 + ½(1000)(2² − 4²) = 144000 Pa یا 144 kPa. سرعت در بخش باریک 2 m/s بیشتر و فشار 6 kPa کمتر شده است؛ جهت این تغییر با پیش‌بینی کیفی سازگار است.

مثال حل‌شده: سرعت خروج شاره از مخزن

مخزن بزرگی را در نظر بگیر که سوراخ کوچکی به اندازه H پایین‌تر از سطح آزاد آب دارد. نقطه ۱ را روی سطح آزاد و نقطه ۲ را درست بیرون سوراخ می‌گیریم. هر دو نقطه با هوا تماس دارند، پس فشار جو در دو طرف برنولی حذف می‌شود. چون سطح مخزن نسبت به سوراخ بسیار بزرگ است، از پیوستگی سرعت پایین‌رفتن سطح آب در مقایسه با سرعت خروج ناچیز است و v₁ ≈ 0.

اگر تراز سوراخ را صفر بگیریم، h₁ = H و h₂ = 0 است. برنولی به ρgH = ½ρv₂² تبدیل می‌شود و v₂ = √(2gH) به دست می‌آید. این نتیجه که قانون توریچلی نامیده می‌شود، سرعت ایده‌آل خروج را می‌دهد؛ در جریان واقعی، اتلاف و شکل سوراخ می‌توانند سرعت را کمتر کنند.

فشار مطلق، فشار گیج و فشار جو را مخلوط نکن

فشار مطلق نسبت به خلأ سنجیده می‌شود و فشار گیج اختلاف فشار با فشار جو است. در برنولی می‌توان از فشارهای مطلق استفاده کرد. اگر هر دو نقطه زیر یک فشار جوی مشترک باشند، همان مقدار از دو طرف حذف می‌شود و استفاده از فشار گیج نیز نتیجه یکسانی می‌دهد.

اما اگر فقط یکی از نقطه‌ها با هوا تماس دارد یا فشار محیط دو نقطه یکسان نیست، حذف خودکار فشار مجاز نیست. برای مرور اختلاف فشار در شاره ساکن و روش حرکت در لوله U، راهنمای فشار شاره و مانومتر مکمل این بخش است.

فرض‌های برنولی و مرز اعتبار آن را بررسی کن

شکل ساده برنولی برای جریان پایا، شاره تراکم‌ناپذیر و اثر ناچیز گرانروی نوشته می‌شود و دو نقطه معمولاً باید روی یک خط جریان باشند. اگر پمپ به شاره انرژی بدهد، توربین انرژی بگیرد یا اتلاف اصطکاکی مهم باشد، رابطه ساده بدون افزودن جمله‌های مربوط به این اثرها کافی نیست.

از عبارت «سرعت بیشتر، فشار کمتر» به‌عنوان قانون عمومی همه موقعیت‌ها استفاده نکن. این نتیجه برای مقایسه دو نقطه هم‌ارتفاع در همان مدل برنولی به دست می‌آید. تغییر ارتفاع، پمپ یا اتلاف می‌تواند مقایسه فشار را عوض کند. برای شاره ساکن نیز رابطه فشار با عمق مناسب‌تر است و نیروی شناوری باید با راهنمای ارشمیدس تحلیل شود.

خطاهای رایج و کنترل نهایی پاسخ

رایج‌ترین خطای هندسی، استفاده مستقیم از نسبت قطرها به‌جای نسبت سطح‌هاست؛ چون A با مربع قطر متناسب است. خطای دیگر، تبدیل‌نکردن لیتر بر دقیقه یا سانتی‌متر مربع هنگام محاسبه دبی عددی است. یک لیتر 10⁻³ متر مکعب و یک سانتی‌متر مربع 10⁻⁴ متر مربع است.

پس از حل، از راهنمای تحلیل ابعادی و کنترل واحد کمک بگیر: Av باید واحد m³/s داشته باشد و هر جمله برنولی باید Pa باشد. همچنین اگر سطح مقطع به صفر نزدیک شود، مدل سرعت نامحدود پیش‌بینی می‌کند؛ این علامت نشان می‌دهد تقریب‌های شاره ایده‌آل و جریان پایا پیش از آن حد از اعتبار می‌افتند، نه اینکه سرعت واقعی بی‌نهایت شود.

• سطح مقطع دایره‌ای با d² متناسب است.
• فشار مشترک دو طرف معادله حذف می‌شود، نه هر فشار جوی در هر مسئله.
• کم‌شدن سطح در جریان تراکم‌ناپذیر، سرعت را افزایش می‌دهد.
• نتیجه فشار را همراه با ارتفاع و فرض‌های برنولی تفسیر کن.