گرانروی و قانون استوکس؛ محاسبه سرعت حدی سقوط کره در مایع

گرانروی را مقاومت سیال در برابر حرکت لایه‌ها ببین

گرانروی نشان می‌دهد لایه‌های یک سیال تا چه اندازه در برابر لغزش نسبی مقاومت می‌کنند. عسل در دمای اتاق از آب گرانروتر است و حرکت جسم را بیشتر کند می‌کند. ضریب گرانروی دینامیکی را با η نشان می‌دهیم و واحد SI آن Pa·s یا معادل N·s/m² است.

برای کره‌ای با شعاع r که با سرعت v در سیالی با ضریب گرانروی η حرکت می‌کند، قانون استوکس اندازه نیروی مقاومت را Fᵥ = 6πηrv می‌دهد. جهت این نیرو همیشه خلاف سرعت نسبی کره و سیال است؛ پس برای کره‌ای که در مایع ساکن رو به پایین می‌رود، مقاومت گرانروی رو به بالاست. این رابطه برای جریان آرام پیرامون کره کوچک معتبر است و فرمول عمومی مقاومت در هر سرعتی نیست.

• η بزرگ‌تر یعنی مقاومت بیشتر در سرعت یکسان.
• در قانون استوکس، نیروی مقاومت با r و v رابطه خطی دارد.
• شعاع باید بر حسب متر و گرانروی بر حسب Pa·s وارد شود.

سه نیروی وارد بر کره را پیش از نوشتن معادله مشخص کن

بر کره در حال سقوط سه نیروی اصلی وارد می‌شود: وزن mg = ρₛVg رو به پایین، نیروی شناوری Fᵦ = ρᶠVg رو به بالا و مقاومت گرانروی Fᵥ رو به بالا. در این عبارت‌ها ρₛ چگالی کره، ρᶠ چگالی مایع و V = 4πr³/3 حجم کره است.

در آغاز سقوط، سرعت و در نتیجه مقاومت گرانروی کم است؛ بنابراین اگر چگالی کره از مایع بیشتر باشد، برآیند رو به پایین و حرکت شتاب‌دار است. با زیادشدن سرعت، Fᵥ رشد می‌کند تا ρₛVg = ρᶠVg + 6πηrvₜ برقرار شود. در این وضعیت شتاب صفر است، اما سرعت صفر نیست؛ کره با سرعت حدی ثابت vₜ ادامه می‌دهد.

رابطه سرعت حدی را از تعادل نیروها بساز

از معادله تعادل در سرعت حدی داریم 6πηrvₜ = (ρₛ − ρᶠ)Vg. با قرار دادن V = 4πr³/3 و ساده‌کردن π و یک توان شعاع، نتیجه می‌شود vₜ = 2r²(ρₛ − ρᶠ)g/(9η). ساختن رابطه از نیروها کمک می‌کند نیروی شناوری یا توان دوم شعاع را فراموش نکنی.

اگر ρₛ > ρᶠ باشد، اختلاف چگالی مثبت و حرکت حدی رو به پایین است. اگر جسم سبک‌تر از مایع باشد، کره به سمت بالا حرکت می‌کند و برای اندازه سرعت حدی می‌توان |ρₛ − ρᶠ| را به کار برد؛ در آن حالت جهت مقاومت رو به پایین خواهد بود.

• vₜ با r² متناسب است؛ دو برابرشدن شعاع، سرعت حدی را چهار برابر می‌کند.
• vₜ با اختلاف چگالی جسم و سیال متناسب است.
• vₜ با η نسبت وارون دارد؛ مایع گرانروتر حرکت حدی کندتری می‌سازد.

مسئله سرعت حدی را در پنج گام حل کن

یک: جهت حرکت را از مقایسه چگالی جسم و مایع تشخیص بده. دو: نمودار جسم آزاد شامل وزن، شناوری و مقاومت را بکش. سه: مشخص کن آیا کره به سرعت حدی رسیده است؛ فقط در این حالت برآیند نیروها صفر است. چهار: داده‌ها را به SI ببر و رابطه را نمادی بنویس. پنج: وابستگی جواب به شعاع، گرانروی و اختلاف چگالی را کنترل کن.

اگر سؤال سرعت یا شتاب یک لحظه پیش از رسیدن به سرعت حدی را بدهد، نباید ΣF = 0 بنویسی. در سقوط رو به پایین، معادله آن لحظه ρₛVg − ρᶠVg − 6πηrv = ma است. با نزدیک‌شدن v به vₜ، اندازه شتاب کاهش می‌یابد و در v = vₜ به صفر می‌رسد.

مثال حل‌شده: سرعت حدی یک ساچمه در روغن

کره‌ای با شعاع 1.0 mm و چگالی 7800 kg/m³ در روغنی با چگالی 900 kg/m³ و ضریب گرانروی 1.5 Pa·s سقوط می‌کند. با فرض اعتبار قانون استوکس و g = 10 m/s²، سرعت حدی را پیدا کن. ابتدا شعاع را تبدیل می‌کنیم: r = 1.0×10⁻³ m و اختلاف چگالی برابر 6900 kg/m³ است.

از vₜ = 2r²(ρₛ − ρᶠ)g/(9η) داریم: vₜ = [2×(10⁻³)²×6900×10]/[9×1.5] ≈ 1.02×10⁻² m/s. پس سرعت حدی تقریباً 0.010 m/s یا 1.0 cm/s رو به پایین است.

کنترل پاسخ: اگر همین کره در روغنی با گرانروی 3.0 Pa·s قرار گیرد، گرانروی دو برابر و سرعت حدی نصف می‌شود. اگر شعاع به 2.0 mm برسد و سایر داده‌ها ثابت بمانند، سرعت حدی طبق مدل چهار برابر می‌شود؛ البته باید دوباره بررسی کرد که جریان هنوز در محدوده آرام قانون استوکس باشد.

سؤال‌های مقایسه‌ای را با نسبت‌ها کوتاه کن

برای دو کره در شرایطی که قانون استوکس معتبر است، می‌توان بدون محاسبه کامل نوشت vₜ₂/vₜ₁ = (r₂/r₁)² × [(ρs₂ − ρf₂)/(ρs₁ − ρf₁)] × (η₁/η₂). اگر جنس کره و مایع یکسان باشد، فقط نسبت مربع شعاع‌ها باقی می‌ماند.

جرم به‌تنهایی معیار خوبی برای مقایسه نیست، زیرا با تغییر اندازه کره هم وزن و شناوری با r³ تغییر می‌کنند و هم مقاومت استوکس با r تغییر می‌کند. پس برای کره‌های هم‌جنس، نتیجه نهایی از r² می‌آید، نه از نسبت مستقیم جرم‌ها.

دام‌های رایج و محدوده اعتبار قانون استوکس را بشناس

رایج‌ترین خطا حذف نیروی شناوری و نوشتن mg = Fᵥ است. خطای بعدی استفاده از قطر به جای شعاع یا تبدیل‌نکردن میلی‌متر به متر است؛ چون شعاع در رابطه سرعت حدی به توان دو می‌رسد، این اشتباه اثر بزرگی دارد. همچنین صفرشدن شتاب را با توقف اشتباه نگیر: در سرعت حدی، جسم حرکت یکنواخت دارد.

قانون استوکس برای کره، جریان آرام و محیطی به اندازه کافی دور از دیواره‌ها به کار می‌رود. برای جسم نامنظم، سرعت زیاد، آشفتگی یا ظرف باریک، نیروی مقاومت می‌تواند از این مدل فاصله بگیرد. صورت قانون و شرایط جریان آرام در این راهنما با بخش گرانروی و جریان لایه‌ای کتاب آزاد University Physics, Volume 1 از OpenStax تطبیق داده شده است. برای مرور نیروی بالابر، راهنمای نیروی ارشمیدس و برای مقایسه جریان سیال در لوله، مقاله پیوستگی و برنولی را بخوان.