برای کرهای کوچک که آرام در شارهای گرانرو حرکت میکند، نیروی پسا خلاف سرعت و برابر Fd = 6πηrv است. هنگام سقوط، وزن رو به پایین و شناوری و پسا رو به بالا هستند. سرعت وقتی به مقدار حدی میرسد که برآیند نیروها صفر شود؛ بنابراین برای کرهای چگالتر از شاره، vt = 2r²g(ρs − ρf)/(9η). این رابطه فقط در شرایط قانون استوکس، یعنی حرکت آرام کره در شاره و دور از اثر محسوس دیوارهها، معتبر است؛ پس نخست مدل را بررسی کن و بعد عددگذاری انجام بده.
گرانروی را مقاومت شاره در برابر حرکت نسبی ببین
گرانروی نشان میدهد لایههای شاره تا چه اندازه در برابر لغزش نسبی مقاومت میکنند. جسمی که در شاره حرکت میکند، نیروی پسایی خلاف سرعتش میگیرد. این نیرو اصطکاک خشک نیست: اندازه آن به ویژگی شاره، شکل و اندازه جسم و سرعت نسبی جسم و شاره بستگی دارد.
گرانروی دینامیکی را با η نشان میدهند و یکای SI آن Pa·s است. هرچه η بزرگتر باشد، برای یک کره با شعاع و سرعت یکسان پسای بیشتری ایجاد میشود. در همه رابطهها سرعت باید نسبت به خود شاره سنجیده شود؛ اگر شاره نیز جریان دارد، سرعت جسم نسبت به زمین لزوماً همان v قانون پسا نیست.
- پسا همیشه خلاف سرعت نسبی جسم و شاره است.
- η گرانروی دینامیکی با یکای Pa·s است.
- بزرگترشدن گرانروی، رسیدن به سرعت حدی کوچکتری را در پی دارد.
قانون استوکس را فقط برای حرکت آرام کره به کار ببر
برای کرهای با شعاع r که در رژیم جریان آرام با سرعت نسبی v حرکت میکند، اندازه پسا Fd = 6πηrv است. وابستگی خطی به v ویژگی این مدل است. اگر صورت سؤال نیروی پسا را متناسب با v² بدهد یا حرکت سریع و آشفته باشد، نباید قانون استوکس را جای آن مدل قرار دهی.
این رابطه برای کرهای که اثر دیواره ظرف و کرههای دیگر بر آن ناچیز است نوشته میشود. در مسئلههای آموزشی معمولاً این شرایط تصریح یا فرض میشوند. اگر کره تقریباً هماندازه لوله باشد، دیواره جریان را تغییر میدهد و رابطه ساده میتواند پیشبینی دقیقی نداشته باشد.
وزن، شناوری و پسا را در نمودار جسم آزاد جدا کن
برای کرهای با چگالی ρs و حجم V، وزن برابر ρsVg و رو به پایین است. نیروی شناوری برابر وزن شاره جابهجاشده، یعنی ρfVg، و رو به بالاست. وقتی کره رو به پایین حرکت میکند، پسا نیز رو به بالاست؛ بنابراین با انتخاب پایین بهعنوان جهت مثبت داریم ρsVg − ρfVg − 6πηrv = ma.
پسا از لحظه رهاشدن که v = 0 است صفر شروع میشود. با افزایش سرعت، پسا بزرگتر و شتاب کوچکتر میشود. در نهایت برآیند نیروها به صفر نزدیک میشود و کره با سرعت ثابت حرکت میکند. ثابتشدن سرعت به معنی حذف وزن یا شناوری نیست؛ فقط نیروها متعادل شدهاند.
- وزن: ρsVg رو به پایین
- شناوری: ρfVg رو به بالا
- پسا هنگام سقوط: 6πηrv رو به بالا
سرعت حدی را از شرط برآیند نیروی صفر بساز
در سرعت حدی vt شتاب صفر است، پس ρsVg = ρfVg + 6πηrvt. با انتقال جمله شناوری میرسیم به (ρs − ρf)Vg = 6πηrvt. اکنون حجم کره V = 4πr³/3 را جایگذاری و π و یک توان r را ساده میکنیم.
نتیجه vt = 2r²g(ρs − ρf)/(9η) است. این ساختن مرحلهای بهتر از حفظ فرمول است، چون نشان میدهد چرا اختلاف چگالی وارد میشود: شناوری بخشی از وزن را خنثی میکند. همچنین روشن میشود که دو برابرشدن شعاع، در محدوده اعتبار مدل، سرعت حدی را چهار برابر میکند.
مثال حلشده: سرعت حدی یک ساچمه در روغن
ساچمهای کروی با شعاع 1.0 mm و چگالی 7800 kg/m³ در روغنی با چگالی 900 kg/m³ و گرانروی دینامیکی 0.50 Pa·s سقوط میکند. با g = 10 m/s² و با فرض برقرار بودن قانون استوکس، سرعت حدی را میخواهیم. ابتدا شعاع را به متر تبدیل میکنیم: r = 1.0×10⁻³ m.
در رابطه سرعت حدی میگذاریم: vt = [2×(1.0×10⁻³)²×10×(7800−900)]/(9×0.50). صورت کسر 0.138 و مخرج 4.5 است؛ پس vt ≈ 0.0307 m/s، یعنی حدود 3.1 cm/s میشود.
پاسخ با وابستگیها سازگار است: چگالی ساچمه از روغن بیشتر است، پس جهت حدی رو به پایین است؛ گرانروی نسبتاً زیاد نیز سرعت را کوچک نگه میدارد. اگر قطر 1.0 mm داده شده بود، باید r = 0.50 mm میگرفتیم و پاسخ به دلیل وابستگی r² چهار برابر کوچکتر میشد.
مسئلههای مقایسهای و اندازهگیری گرانروی را کوتاه حل کن
از vt ∝ r²(ρs − ρf)/η میتوان بسیاری از سؤالهای نسبتی را بدون محاسبه کامل حل کرد. برای دو کره همجنس در یک شاره، نسبت سرعتهای حدی برابر مربع نسبت شعاعهاست. برای یک کره در دو شاره، هم گرانروی و هم اختلاف چگالی را باید مقایسه کرد؛ گفتن اینکه شاره چگالتر همیشه سرعت حدی کمتری میدهد کافی نیست.
اگر سرعت حدی از اندازهگیری مسافت L در زمان t به دست آمده باشد، ابتدا مطمئن شو کره در آن بازه با سرعت تقریباً ثابت حرکت کرده و سپس vt = L/t را بنویس. از رابطه استوکس میتوان گرانروی را یافت: η = 2r²g(ρs − ρf)/(9vt). اندازهگیری را بلافاصله پس از رهاکردن آغاز نکن، چون کره هنوز ممکن است شتاب داشته باشد.
اگر جسم سبکتر از شاره است، جهتها را وارونه تحلیل کن
فرمول نوشتهشده با ρs > ρf سرعت حدیِ سقوط رو به پایین را میدهد. اگر ρs < ρf باشد، شناوری از وزن بزرگتر است و جسم تمایل دارد بالا بیاید. در حرکت رو به بالا، پسا رو به پایین است و اندازه سرعت حدی از 2r²g|ρs − ρf|/(9η) به دست میآید.
اگر دو چگالی برابر باشند، وزن و شناوری همدیگر را خنثی میکنند. جسمی که نسبت به شاره ساکن رها شود شتاب آغازین ندارد؛ اما این نتیجه را نباید به حرکت اولیه تعمیم داد، زیرا جسم متحرک هنوز پسا میگیرد و سرعت نسبیاش کاهش مییابد.
پاسخ را با پنج کنترل فیزیکی بسنج
یک: مشخص کن جسم کره است و قانون پسا متناسب با v داده یا قابل فرض است. دو: شعاع را از قطر جدا و به متر تبدیل کن. سه: نمودار جسم آزاد را متناسب با جهت حرکت رسم کن. چهار: فقط در سرعت حدی شتاب را صفر بگیر. پنج: پس از محاسبه، جهت حرکت، یکا و وابستگی پاسخ به r²، اختلاف چگالی و 1/η را بررسی کن.
یکای صورت رابطه سرعت حدی پس از تقسیم بر Pa·s به m/s میرسد. خطاهای رایج عبارتاند از حذف شناوری، استفاده از جرم بهجای چگالی، گذاشتن قطر بهجای شعاع، صفرگرفتن شتاب از لحظه رهاشدن و بهکاربردن قانون استوکس برای هر نوع نیروی مقاومت. اگر مدل مسئله متفاوت است، معادله نیروها را نگه دار اما رابطه پسا را مطابق همان مدل عوض کن.
در مسئله سقوط کره در شاره، سه نیرو را جدا رسم کن: وزن ρsVg، شناوری ρfVg و پسای 6πηrv. در سرعت حدی شتاب صفر است، نه اینکه نیروها وجود نداشته باشند؛ پس وزن با مجموع شناوری و پسا برابر میشود. با V = 4πr³/3 رابطه vt = 2r²g(ρs − ρf)/(9η) به دست میآید. شعاع را با قطر، چگالی را با جرم و گرانروی سینماتیکی را با گرانروی دینامیکی جابهجا نکن. در پایان، جهت حرکت، یکای Pa·s و مناسببودن فرض حرکت آرام و فاصله از دیواره را کنترل کن.