نیروی بین صفحات خازن تخت جاذبه است و در مدل صفحه‌های بزرگ با میدان یکنواخت از F = Q²/(2εA) به دست می‌آید؛ Q اندازه بار هر صفحه، A سطح هم‌پوشانی و ε گذردهی ماده میان صفحه‌هاست. همان رابطه را می‌توان به صورت F = ½εAE² یا F = ½εA(V/d)² نوشت. ضریب یک‌دوم ضروری است، چون هر صفحه فقط در میدان ساخته‌شده به‌وسیله صفحه مقابل نیرو می‌گیرد، نه در میدان کل میان دو صفحه. برای مقایسه نیرو پس از تغییر فاصله نیز ابتدا مشخص کن بار ثابت است یا باتری ولتاژ را ثابت نگه می‌دارد.
چرا در فرمول نیرو ضریب یک‌دوم وجود دارد؟
دو صفحه رسانای موازی با بارهای +Q و −Q و سطح هم‌پوشانی A در نظر بگیر. چگالی سطحی اندازه بار σ = Q/A است. یک صفحه بسیار بزرگ به‌تنهایی در هر سوی خود میدانی با اندازه σ/(2ε) می‌سازد. میان دو صفحه، میدان‌های آن‌ها هم‌جهت‌اند و میدان کل E = σ/ε می‌شود.
برای یافتن نیروی وارد بر صفحه مثبت، نباید بار همان صفحه را در میدان کل ضرب کنیم؛ یک توزیع بار به میدان ساخته‌شده به‌وسیله خودش نیروی خالص وارد نمی‌کند. میدان خارجیِ مؤثر بر صفحه مثبت فقط میدان صفحه منفی است: E_other = σ/(2ε) = E/2. پس F = Q E_other و ضریب یک‌دوم ظاهر می‌شود. همین استدلال برای صفحه منفی نیز نیرویی هم‌اندازه و خلاف‌جهت می‌دهد.
- میدان یک صفحه: E_one = σ/(2ε)
- میدان کل بین صفحه‌ها: E = σ/ε
- میدان واردکننده نیرو بر هر صفحه: E_other = E/2
- نیروها هم‌اندازه، خلاف‌جهت و جاذبه‌اند
نیروی بین صفحات خازن را با سه فرم معادل حساب کن
از F = Q×σ/(2ε) و σ = Q/A به رابطه F = Q²/(2εA) می‌رسیم. اگر میدان کل میان صفحه‌ها داده شده باشد، Q = εAE است و رابطه به F = ½εAE² تبدیل می‌شود. عبارت p = F/A = ½εE² نیز فشار الکتریکی وارد بر سطح صفحه را نشان می‌دهد.
در خازن تختِ ایدئال E = V/d است؛ بنابراین وقتی اختلاف پتانسیل و فاصله معلوم باشند، F = ½εA(V/d)². هر سه فرم یک نیرو را بیان می‌کنند، اما انتخاب فرم باید با داده‌های سؤال هماهنگ باشد. Q بار یک صفحه است، نه جمع قدرمطلق بارهای دو صفحه، و A فقط سطح روبه‌روی دو صفحه است.
- بر حسب بار: F = Q²/(2εA)
- بر حسب میدان: F = ½εAE²
- بر حسب ولتاژ و فاصله: F = εAV²/(2d²)
- فشار الکتریکی: p = ½εE²
حالت بار ثابت و ولتاژ ثابت را از هم جدا کن
اگر باتری جدا شده و راهی برای نشت بار وجود نداشته باشد، Q ثابت است. از F = Q²/(2εA) می‌بینی که در تقریب صفحه‌های بسیار بزرگ، تغییر فاصله d نیرو را عوض نمی‌کند. این نتیجه عجیب نیست: با Q و A ثابت، چگالی سطحی و میدان صفحه مقابل ثابت می‌ماند. البته در صفحه‌های واقعی، وقتی فاصله با ابعاد صفحه قابل مقایسه شود میدان لبه‌ها این استقلال را از بین می‌برد.
اگر باتری متصل بماند، V ثابت است و باتری هنگام جابه‌جایی صفحه‌ها بار را کم یا زیاد می‌کند. اکنون F = εAV²/(2d²) نشان می‌دهد با دو برابر شدن فاصله، نیرو به یک‌چهارم می‌رسد؛ با نصف شدن فاصله، نیرو چهار برابر می‌شود. پس حفظ یک تناسب بدون تشخیص اتصال باتری، پاسخ را خراب می‌کند.
- خازن جدا: Q ثابت و در مدل ایدئال F مستقل از d
- باتری متصل: V ثابت و F ∝ 1/d²
- در هر دو حالت، صفحه‌های ناهم‌نام یکدیگر را جذب می‌کنند
مثال حل‌شده: نیرو و اثر دو برابر شدن فاصله
خازن تخت هوایی با سطح هم‌پوشانی A = 200 cm² و فاصله d = 2.0 mm به باتری 600 V وصل است. اندازه نیروی جاذبه هر صفحه را بیاب و سپس بررسی کن اگر فاصله دو برابر شود، نیرو در دو حالتِ متصل‌ماندن و جداشدن باتری چه تغییری می‌کند. برای هوا ε ≈ ε₀ = 8.85×10⁻¹² F/m بگیر.
ابتدا واحدها را تبدیل می‌کنیم: A = 200×10⁻⁴ = 2.00×10⁻² m² و d = 2.0×10⁻³ m. از F = ε₀AV²/(2d²) داریم F = [8.85×10⁻¹² × 2.00×10⁻² × (600)²] / [2×(2.0×10⁻³)²]؛ پس F ≈ 7.97×10⁻³ N، یعنی حدود 8.0 mN.
اگر باتری متصل بماند و فاصله به 4.0 mm برسد، V ثابت است و چون F ∝ 1/d²، نیروی تازه F/4 ≈ 2.0 mN می‌شود. اگر پیش از تغییر فاصله باتری را جدا کنیم، Q ثابت می‌ماند و در مدل ایدئال نیرو همان حدود 8.0 mN است. انرژی و ولتاژ این حالت تغییر می‌کنند، اما ثابت‌بودن نیرو با ثابت‌بودن همه کمیت‌ها یکسان نیست.
اثر دی‌الکتریک را با کمیت ثابت تحلیل کن
اگر فاصله میان صفحه‌ها کاملاً با دی‌الکتریک خطی و یکنواختی با ثابت κ پر شود، گذردهی ε = κε₀ است. با خازن جدا و بار آزاد ثابت، F = Q²/(2εA) نشان می‌دهد نیرو به 1/κ مقدار قبلی می‌رسد. قطبش ماده میدان ناشی از بار آزاد را کاهش می‌دهد.
با باتری متصل و ولتاژ ثابت، از F = εAV²/(2d²) نتیجه می‌شود نیرو κ برابر می‌شود، زیرا باتری بار بیشتری روی صفحه‌ها می‌نشاند. این نتیجه برای پرشدن کامل و محیط همگن است. اگر تیغه فقط بخشی از فضا را پر کند یا از کنار وارد شود، هندسه میدان و نیروی وارد بر خود تیغه نیز مطرح می‌شود و باید خازن را به بخش‌های مناسب تقسیم کرد.
رابطه نیرو را با انرژی خازن کنترل کن
برای خازن جداشده با بار ثابت، انرژی U = Q²/(2C) و ظرفیت C = εA/d است؛ پس U = Q²d/(2εA). افزایش فاصله به کار خارجی مثبت نیاز دارد و آهنگ تغییر انرژی نسبت به d همان اندازه نیروی جاذبه را می‌دهد: F = Q²/(2εA). این کنترل مستقل، ضریب یک‌دوم را دوباره تأیید می‌کند.
در حالت ولتاژ ثابت، باتری نیز با جابه‌جایی بار انرژی مبادله می‌کند؛ بنابراین مشتق‌گرفتن از انرژی خازن به‌تنهایی می‌تواند جهت یا عامل را اشتباه نشان دهد. برای تست دبیرستانی، مطمئن‌ترین مسیر این است که نیرو را از میدان صفحه مقابل به دست آوری و سپس وضعیت باتری را فقط برای تعیین Q، V و تناسب‌ها وارد کنی.
چک‌لیست حل و دام‌های رایج را اجرا کن
یک: مدل خازن تخت و ناچیزبودن میدان لبه را بررسی کن. دو: A و d را به متر مربع و متر تبدیل کن. سه: مشخص کن Q ثابت است یا V. چهار: از میان سه فرم نیرو، رابطه‌ای را انتخاب کن که کمیت ثابت را آشکار نگه دارد. پنج: جهت جاذبه را جدا از اندازه نیرو گزارش کن. شش: جواب را با واحد نیوتون و فشار را با پاسکال بنویس.
دام اول حذف ضریب یک‌دوم و نوشتن F = QE با میدان کل است. دام دوم استفاده از مجموع 2Q به‌جای بار یک صفحه است. دام سوم ثابت‌گرفتن هم‌زمان Q و V هنگام تغییر هندسه است؛ معمولاً فقط یکی از آن‌ها به‌سبب وضعیت باتری ثابت می‌ماند. برای مرور C = εA/d به راهنمای خازن تخت، برای ورود ماده به مقاله دی‌الکتریک و برای رابطه‌های U به آموزش خازن‌های سری، موازی و انرژی رجوع کن.
- آیا میدان صفحه مقابل را به‌جای میدان کل به کار برده‌ای؟
- آیا وضعیت اتصال باتری روشن است؟
- آیا A سطح هم‌پوشانی و Q بار یک صفحه است؟
- آیا تقریب صفحه‌های بزرگ نسبت به فاصله معتبر است؟
- آیا اندازه نیرو مثبت و جهت آن جاذبه گزارش شده است؟
برای نیروی بین صفحات خازن تخت، میدان وارد بر یک صفحه را با میدان کل اشتباه نگیر: E_other = E/2 و در نتیجه F = ½εAE² = Q²/(2εA). اگر خازن جدا و Q ثابت باشد، در تقریب صفحه‌های بزرگ نیرو با فاصله تغییر نمی‌کند؛ اگر باتری متصل و V ثابت باشد، F با 1/d² تغییر می‌کند. جهت نیرو همیشه به سوی صفحه مقابل است. در پایان، وضعیت باتری، واحدها، سطح هم‌پوشانی و معتبر بودن تقریب میدان یکنواخت را کنترل کن.