برای محاسبه دمای نهایی مخلوط آب و یخ و بخار، نباید از ابتدا فرض کنید هر سه جزء به آب مایع تبدیل می‌شوند. ابتدا در 0°C بسنجید آیا گرمای آزادشده بخار و آب گرم برای ذوب همه یخ کافی است؛ سپس در 100°C بررسی کنید آیا اجزای سرد می‌توانند همه بخار را چگالیده کنند. اگر هر دو آزمون نشان دهند یخ و بخار کاملاً از بین می‌روند، موازنه گرمای آزادشده و جذب‌شده را برای آب مایع نهایی می‌نویسیم و دمایی میان صفر و صد درجه به دست می‌آوریم.
صورت مسئله، داده‌ها و فرض‌های مدل را جدا کن
در یک ظرف عایق، 100 g یخ در 0°C، مقدار 200 g آب در 20°C و مقدار 20 g بخار آب در 100°C را با هم مخلوط می‌کنیم. دما و فاز نهایی را بیاب. از c_w = 4.2 J/(g·°C)، L_f = 334 J/g و L_v = 2260 J/g استفاده کن.
فرض می‌کنیم فشار ثابت و نزدیک فشار معمول است، ظرف ظرفیت گرمایی ناچیز دارد، انرژی با محیط مبادله نمی‌شود و بخارِ داده‌شده بخار اشباع در 100°C است. پس مرز ذوب یخ 0°C و مرز میعان بخار 100°C است. جرم کل سامانه نیز ثابت و برابر 320 g می‌ماند.
مدل درست، پایستگی انرژی برای یک سامانه عایق است: اندازه گرمای آزادشده اجزای گرم برابر گرمای جذب‌شده اجزای سرد خواهد بود. بااین‌حال، پیش از نوشتن معادله نهایی باید معلوم کنیم چه مقدار یخ ذوب و چه مقدار بخار چگالیده می‌شود؛ رابطه Q = mcΔT به‌تنهایی انرژی تغییر فاز را در بر نمی‌گیرد.
- جرم‌ها: m_i = 100 g، m_w = 200 g و m_s = 20 g
- ثابت‌ها: c_w = 4.2 J/(g·°C)، L_f = 334 J/g و L_v = 2260 J/g
- مجهول‌ها: فاز یا فازهای باقی‌مانده و دمای تعادل T_f
محاسبه دمای نهایی مخلوط آب و یخ و بخار را با دو آزمون مرزی آغاز کن
آزمون نخست را در 0°C انجام می‌دهیم. اگر همه بخار چگالیده و آب حاصل از 100 تا صفر سرد شود، Q_steam→0 = m_sL_v + m_sc_w(100 − 0) = 20×2260 + 20×4.2×100 = 53600 J آزاد می‌شود. آب 20 درجه نیز با سردشدن تا صفر Q_water→0 = 200×4.2×20 = 16800 J آزاد می‌کند. در مجموع 70400 J در دسترس است، در حالی که ذوب همه یخ فقط Q_melt = 100×334 = 33400 J می‌خواهد. پس یخ حتماً کامل ذوب می‌شود و T_f بالاتر از صفر است.
آزمون دوم را در 100°C انجام می‌دهیم. برای رساندن یخ به آب 100 درجه، Q_ice→100 = 100×334 + 100×4.2×100 = 75400 J لازم است. آب اولیه نیز برای رسیدن از 20 به 100 درجه Q_water→100 = 200×4.2×80 = 67200 J می‌خواهد. نیاز کل 142600 J است، اما میعان همه بخار فقط 20×2260 = 45200 J آزاد می‌کند. بنابراین انرژی برای رسیدن سامانه به 100°C کافی نیست؛ همه بخار چگالیده می‌شود و T_f پایین‌تر از صد درجه خواهد بود.
این دو مقایسه مدل فاز نهایی را تعیین می‌کنند: چون T_f > 0°C، یخی باقی نمی‌ماند؛ چون T_f < 100°C، بخاری باقی نمی‌ماند. در نتیجه جرم نهایی 320 g آب مایع است و اکنون مجازیم دمای میانی را با موازنه انرژی پیدا کنیم.
موازنه انرژی را مرحله‌به‌مرحله حل کن
بخار ابتدا در 100°C میعان می‌کند و سپس آب حاصل تا T_f سرد می‌شود. گرمای آزادشده آن Q_hot = 20×2260 + 20×4.2(100 − T_f) است. در سوی سرد، یخ در صفر ذوب می‌شود و آب حاصل تا T_f گرم می‌شود؛ آب اولیه 20 درجه نیز تا T_f گرم می‌شود. بنابراین Q_cold = 100×334 + 100×4.2T_f + 200×4.2(T_f − 20) است.
با برابرگذاشتن دو طرف داریم 45200 + 8400 − 84T_f = 33400 + 420T_f + 840T_f − 16800. پس 53600 − 84T_f = 16600 + 1260T_f و در نتیجه 37000 = 1344T_f.
دمای نهایی T_f = 37000/1344 ≈ 27.5°C به دست می‌آید. فاز نهایی، 320 g آب مایع در حدود 27.5°C است. واحد جمله‌های موازنه ژول است: g×J/g برای گرمای نهان و g×J/(g·°C)×°C برای تغییر دما، هر دو به J ساده می‌شوند.
- گرمای آزادشده بخار: Q_hot ≈ 51.29 kJ
- گرمای جذب‌شده یخ و آب اولیه: Q_cold ≈ 51.29 kJ
- پاسخ نهایی: 320 g آب مایع در T_f ≈ 27.5°C
علامت گرما را بدون دو بار شمردن انرژی کنترل کن
در روش بودجه انرژی، اندازه گرمای آزادشده و جذب‌شده را مثبت می‌نویسیم و Q_released = Q_absorbed قرار می‌دهیم. در روش جبری نیز می‌توان برای هر جزء Q = mc(T_f − T_i) نوشت، گرمای جذب‌شده را مثبت و گرمای آزادشده را منفی گرفت و مجموع Qها را صفر قرار داد. هر دو روش درست‌اند، اما ترکیب قراردادهای آن‌ها ممکن است یک علامت منفی اضافی بسازد.
برای بخار دو سهم جدا داریم: میعان در 100°C و سردشدن آب حاصل از 100 تا T_f. برای یخ نیز دو سهم داریم: ذوب در 0°C و گرم‌شدن آب حاصل از صفر تا T_f. نوشتن فقط mL، تغییر دمای مایع حاصل را حذف می‌کند؛ نوشتن فقط mcΔT نیز انرژی نهان را نادیده می‌گیرد.
جواب را با فاز، کران دما و تراز انرژی بررسی کن
کنترل فازی: آزمون‌های مرزی پیش‌بینی کردند 0 < T_f < 100°C و جواب 27.5°C همین بازه را رعایت می‌کند. چون دما نه صفر و نه صد است، در مدل تعادل فشار معمول نمی‌توان یخ یا بخار اشباع را همراه آب مایع باقی‌مانده دانست؛ نتیجه تک‌فازی آب مایع سازگار است.
کنترل عددی: بخار 45.2 kJ هنگام میعان و حدود 6.09 kJ هنگام سردشدن آزاد می‌کند؛ مجموع تقریباً 51.29 kJ است. یخ 33.4 kJ برای ذوب، آب حاصل از یخ حدود 11.56 kJ و آب اولیه حدود 6.32 kJ جذب می‌کنند؛ جمع آن‌ها نیز تقریباً 51.29 kJ است.
کنترل معقول‌بودن: با وجود جرم کم بخار، L_v بسیار بزرگ است؛ پس بخار می‌تواند همه 100 g یخ را ذوب کند، اما جرم 20 گرمی آن برای رساندن کل 320 g سامانه به دمای نزدیک 100 درجه کافی نیست. دمای نهایی کمی بالاتر از دمای اولیه آب، با این رقابت انرژی سازگار است.
خطاهای رایج مسئله سه‌فازی را حذف کن
رایج‌ترین خطا، فرض‌کردن ذوب کامل یخ و میعان کامل بخار پیش از آزمون مرزی است؛ در داده‌های دیگر ممکن است یکی از آن‌ها باقی بماند و معادله دمای میانی نامعتبر شود. خطای دوم، میانگین‌گرفتن از دماهای صفر، 20 و 100 درجه است؛ میانگین دما نه جرم‌ها را درست وزن می‌دهد و نه دو گرمای نهان بسیار متفاوت را وارد می‌کند.
خطای سوم، استفاده از گرمای نهان تبخیر با علامت جذب برای بخاری است که در حال میعان و آزادکردن انرژی است. خطای چهارم، مخلوط‌کردن واحدهاست؛ اگر جرم را بر حسب گرم نگه می‌داری، c و L نیز باید بر حسب J/(g·°C) و J/g باشند. استفاده هم‌زمان از kg و J/g پاسخ را هزار برابر جابه‌جا می‌کند.
- فاز نهایی را پیش از معادله دما تعیین کن.
- برای هر تغییر حالت یک جمله mL مستقل بنویس.
- برای مایع حاصل از تغییر فاز، جمله mcΔT را نیز حساب کن.
- پس از حل، فاز فرض‌شده را با دمای به‌دست‌آمده دوباره بسنج.
الگوی حل مسئله‌های مشابه را در شش گام اجرا کن
یک: جرم، دما و فاز اولیه هر جزء را فهرست کن. دو: فشار، عایق‌بودن ظرف و ظرفیت گرمایی ظرف را از فرض‌ها مشخص کن. سه: بودجه انرژی را روی پایین‌ترین مرز فازی بسنج. چهار: آزمون مشابه را روی بالاترین مرز انجام بده. پنج: فقط برای فاز نهایی سازگار، موازنه انرژی را بنویس. شش: واحد، علامت، بازه دما و بازسازی عددی انرژی را کنترل کن.
برای حالتی که فقط آب و یخ حضور دارند، راهنمای مخلوط آب و یخ شاخه صفر درجه را با جزئیات بررسی می‌کند. مقاله مخلوط آب و بخار برای شاخه میعان در صد درجه مناسب است و راهنمای دمای تعادل، قرارداد عمومی جمع جبری گرماها و اثر ظرفیت گرمایی ظرف را توضیح می‌دهد.
در محاسبه دمای نهایی مخلوط آب و یخ و بخار، ترتیب حل از خود محاسبه مهم‌تر است: سامانه و فرض‌ها را مشخص کن، بودجه انرژی را یک‌بار در 0°C و یک‌بار در 100°C بیازما، فاز نهایی را تعیین کن و فقط بعد معادله دمای نهایی را بنویس. در مثال این مقاله هر سه جزء در پایان آب مایع‌اند و T_f ≈ 27.5°C است. بازسازی تراز انرژی، قرارگرفتن جواب میان صفر و صد، و یکسان‌بودن واحد همه جمله‌ها سه کنترل مستقل پاسخ‌اند.