در فنر قائم سه مکان را از هم جدا نگه دار: طول طبیعی فنر، طول آن در تعادل و مکان لحظهای جرم. اگر جرم m از فنری با ثابت k آویزان و ساکن شود، کشیدگی تعادل از mg = kΔl_eq به دست میآید؛ یعنی Δl_eq = mg/k. نوسان جرم حول همین نقطه تعادل رخ میدهد، نه حول طول طبیعی. با سنجیدن جابهجایی x از تعادل، وزن از معادله حرکت حذف میشود و داریم a = −(k/m)x و T = 2π√(m/k). دامنه نیز بیشترین فاصله جرم از نقطه تعادل است.
سه مکان مرجع را روی یک شکل مشخص کن
طول طبیعی l₀ طول فنر بدون تغییر شکل است. پس از آویختن جرم و رسیدن به سکون، فنر به اندازه Δl_eq کشیده میشود و طول تعادل آن l_eq = l₀ + Δl_eq است. اگر جرم نوسان کند، طول لحظهای فنر ممکن است از طول تعادل بیشتر یا کمتر باشد.
نماد x را برای جابهجایی از نقطه تعادل بگیر؛ مثلاً جهت پایین را مثبت انتخاب کن. در این صورت کشیدگی کل فنر در هر لحظه Δl = Δl_eq + x است. این رابطه مانع خطای رایجِ یکیگرفتن دامنه نوسان با کل کشیدگی فنر میشود.
- کشیدگی تعادل: Δl_eq = l_eq − l₀
- جابهجایی نوسان: x = l − l_eq
- کشیدگی لحظهای: Δl = Δl_eq + x
کشیدگی تعادل را از برآیند صفر به دست آور
در تعادل، وزن mg رو به پایین و نیروی فنر kΔl_eq رو به بالا است. چون شتاب صفر است، اندازه این دو نیرو برابر میشود: kΔl_eq = mg. بنابراین Δl_eq = mg/k و طول تعادل برابر l₀ + mg/k است.
این رابطه تنها برای وضعیت تعادل است. هنگام نوسان، نیروی فنر و وزن لزوماً برابر نیستند و نباید در هر نقطه kΔl = mg نوشت. در مکانهای پایینتر از تعادل، نیروی فنر از وزن بیشتر و برآیند رو به بالا است؛ در مکانهای بالاتر، برآیند رو به پایین میشود.
معادله حرکت را نسبت به تعادل بنویس
با انتخاب جهت پایین بهعنوان مثبت، در جابهجایی x از تعادل کشیدگی فنر Δl_eq + x است. قانون دوم نیوتن میدهد ma = mg − k(Δl_eq + x). چون در تعادل mg = kΔl_eq، دو جمله ثابت حذف میشوند و ma = −kx باقی میماند.
پس حرکت نسبت به تعادل هماهنگ ساده است: a = −(k/m)x و ω = √(k/m). علامت منفی نشان میدهد شتاب همیشه به سوی تعادل است. دوره T = 2π√(m/k) به جرم و ثابت فنر وابسته است، اما در این مدل به g و دامنه وابسته نیست.
- نیروی بازگرداننده نسبت به تعادل: F_net = −kx
- بسامد زاویهای: ω = √(k/m)
- دوره: T = 2π√(m/k)
دامنه را از فاصله نقطه رهاسازی تا تعادل پیدا کن
اگر جرم بدون سرعت اولیه از یک مکان رها شود، همان مکان یک سرِ مسیر است و دامنه برابر فاصله آن تا تعادل خواهد بود. برای نمونه، اگر جرم را به انتهای فنرِ بدون کشیدگی وصل و بیدرنگ از سکون رها کنیم، نقطه شروع به اندازه Δl_eq بالاتر از تعادل است؛ پس A = Δl_eq = mg/k.
در این حالت سر دیگر مسیر به همان اندازه پایینتر از تعادل قرار میگیرد. بنابراین بیشترین کشیدگی فنر از طول طبیعی برابر Δl_max = Δl_eq + A = 2mg/k است. عبارت «آرام آویزانکردن تا تعادل» با «وصلکردن و رهاکردن از طول طبیعی» یکسان نیست؛ حالت اول نوسانی ایجاد نمیکند، اما حالت دوم دامنه mg/k دارد.
مثال حلشده: طول تعادل، دامنه و بیشترین کشیدگی
فنری با طول طبیعی 30 cm و ثابت 50 N/m از سقف آویزان است. جرم 0.20 kg را به انتهای آن وصل میکنیم و در حالی که فنر هنوز طول طبیعی دارد، جرم را از سکون رها میکنیم. با g = 10 m/s²، طول تعادل، دامنه، بیشترین طول فنر و دوره را بیاب.
کشیدگی تعادل Δl_eq = mg/k = (0.20 × 10)/50 = 0.04 m یا 4 cm است؛ پس طول تعادل 34 cm میشود. جرم از طول طبیعی و بدون سرعت رها شده، بنابراین نقطه شروع 4 cm بالاتر از تعادل و دامنه A = 4 cm است. سر پایین مسیر 4 cm پایینتر از تعادل است؛ پس بیشترین طول فنر 38 cm خواهد بود.
دوره T = 2π√(m/k) = 2π√(0.20/50) ≈ 0.40 s است. کنترل پاسخ: بیشترین کشیدگی از طول طبیعی 8 cm، یعنی دو برابر کشیدگی تعادل است؛ همچنین دوره به طول طبیعی 30 cm وابسته نیست.
سرعت و شتاب را با جابهجایی از تعادل حساب کن
اگر x از تعادل سنجیده شود، اندازه سرعت در هر مکان از v = ω√(A² − x²) به دست میآید. سرعت در تعادل بیشینه و برابر v_max = ωA است؛ در دو سر مسیر که x = ±A، سرعت صفر میشود. اندازه شتاب نیز |a| = ω²|x| است و در دو سر مسیر بیشینه میشود.
اگر صورت سؤال مکان را بهصورت کشیدگی کل Δl بدهد، ابتدا x = Δl − Δl_eq را بساز و بعد رابطه نوسان را به کار ببر. قرار دادن کشیدگی کل به جای x در a = −ω²x یا رابطه سرعت، اثر وزن را دوباره وارد محاسبه میکند و پاسخ نادرست میشود.
حل را با پنج کنترل کوتاه جمعبندی کن
یک: طول طبیعی و تعادل را جدا علامت بزن. دو: کشیدگی تعادل را با mg/k پیدا کن. سه: مبدأ x را نقطه تعادل بگیر. چهار: از شرایط اولیه، بهویژه سرعت اولیه، دامنه را تعیین کن. پنج: اگر طول یا کشیدگی کل خواسته شده است، در پایان x را دوباره به مرجع طول طبیعی تبدیل کن.
رابطههای این راهنما فنر بیجرم، رفتار خطی در محدوده قانون هوک و نبودِ میرایی را فرض میکنند. اگر جرم فنر مهم، نوسان میرا یا تغییر شکل خارج از محدوده کشسان باشد، مدل ساده T = 2π√(m/k) کافی نیست. در مسئلههای معمول دبیرستانی، کنترل اینکه A فاصله از تعادل باشد مهمترین راه جلوگیری از خطاست.
برای حل فنر قائم، ابتدا طول طبیعی و نقطه تعادل را روی شکل علامت بزن و Δl_eq = mg/k را حساب کن. سپس همه مکانهای شروع و پایان را نسبت به تعادل بسنج؛ بیشترین قدرمطلق این جابهجاییها دامنه است. در نوسان کوچک و ایدئال، گرانش فقط نقطه تعادل را جابهجا میکند و دوره T = 2π√(m/k) است. اگر کشیدگی کل فنر خواسته شد، جابهجایی نسبت به تعادل را با کشیدگی تعادل ترکیب کن و پیش از پایان، علامت، واحد و حد کشسانی مدل را کنترل کن.