وقتی دو خازنِ جدا از باتری را با قطبهای همنام به هم وصل میکنیم، بار کلِ صفحههای متصل پایسته میماند و پس از پایان جریان گذرا، هر دو خازن به ولتاژ مشترک میرسند. اگر ولتاژهای اولیه V₁ و V₂ و ظرفیتها C₁ و C₂ باشند، ولتاژ نهایی از V_f = (C₁V₁ + C₂V₂)/(C₁ + C₂) به دست میآید؛ علامت ولتاژها باید با جهت مرجع یکسان وارد شود. سپس بار نهایی هر خازن Q₁f = C₁V_f و Q₂f = C₂V_f است. انرژی الکتریکی معمولاً کاهش مییابد، زیرا بخشی از آن هنگام جریان گذرا به گرما و تابش تبدیل میشود؛ بنابراین پایستگی بار، نه پایستگی انرژی ذخیرهشده خازنها، معادله اصلی حل است.
مدار را پیش و پس از اتصال به دو وضعیت جدا تبدیل کن
پیش از اتصال، هر خازن میتواند ظرفیت و ولتاژ اولیه متفاوتی داشته باشد. بار صفحه مثبت خازن i برابر Qᵢ = CᵢVᵢ است. فرض میکنیم باتریها پیش از اتصال جدا شدهاند؛ در نتیجه هنگام اتصال، منبع خارجی باری وارد مدار نمیکند. اگر باتری همچنان وصل باشد، ولتاژ را باتری تحمیل میکند و این مدل دیگر قابل استفاده نیست.
پس از اتصال قطب مثبت به مثبت و منفی به منفی، دو خازن موازیاند و اختلاف پتانسیل نهایی آنها یکسان است. جریان فقط تا زمانی ادامه دارد که اختلاف ولتاژ اولیه از بین برود. در حالت نهایی ظرفیتها تغییر نکردهاند، اما بار روی هر خازن ممکن است با مقدار اولیهاش فرق داشته باشد.
- باتریها باید از مجموعه جدا باشند.
- در اتصال موازی نهایی: V₁f = V₂f = V_f
- برای هر خازن در هر وضعیت: Q = CV
ولتاژ نهایی را از پایستگی بار جبری بساز
یک جهت مرجع برای ولتاژ هر دو خازن انتخاب کن؛ مثلاً پتانسیل سیم بالایی منهای سیم پایینی. بار اولیه مجموعه صفحههایی که به سیم بالایی وصل میشوند C₁V₁ + C₂V₂ است. چون این هادی مرکب از محیط بیرون عایق است، همین بار در پایان برابر (C₁ + C₂)V_f خواهد بود. پس V_f = (C₁V₁ + C₂V₂)/(C₁ + C₂).
این رابطه یک میانگین وزندار از ولتاژهای اولیه است. در اتصال همنام و با V₁ و V₂ مثبت، V_f باید میان آن دو باشد. اگر قطبهای ناهمنام به هم وصل شوند، یکی از ولتاژهای اولیه نسبت به جهت مرجع منفی است؛ در آن حالت جمع جبری میتواند کوچک یا حتی صفر شود. علامت را از شکل اتصال تعیین کن، نه از حفظ یک فرمول جدا.
- Qکل، اولیه = C₁V₁ + C₂V₂
- Qکل، نهایی = (C₁ + C₂)V_f
- V_f = (C₁V₁ + C₂V₂)/(C₁ + C₂)
جهت و مقدار انتقال بار را از ولتاژها تشخیص بده
در اتصال همنام، بار مثبت قراردادی از خازنی با ولتاژ بیشتر به سوی خازنی با ولتاژ کمتر جابهجا میشود تا ولتاژها برابر شوند. پس از یافتن V_f، تغییر بار صفحه مثبت هر خازن را از ΔQᵢ = Cᵢ(V_f − Vᵢ) حساب کن. یکی از تغییرها مثبت و دیگری منفی است و جمع آنها صفر میشود.
اندازه بار منتقلشده برابر قدرمطلق تغییر بار یکی از خازنهاست، نه مجموع قدرمطلق هر دو تغییر. برای دو خازن میتوان نوشت |ΔQ| = C₁C₂|V₁ − V₂|/(C₁ + C₂). اگر V₁ = V₂ باشد، ولتاژ نهایی همان مقدار اولیه است و هیچ جریان گذرایی نداریم.
مثال حلشده: اتصال خازن ۲ و ۴ میکروفارادی
خازن اول با C₁ = 2 μF تا V₁ = 12 V و خازن دوم با C₂ = 4 μF تا V₂ = 3 V شارژ شدهاند. باتریها جدا میشوند و صفحههای مثبت به هم و صفحههای منفی به هم وصل میشوند. ولتاژ نهایی، بار نهایی هر خازن و اندازه بار منتقلشده را بیاب.
بار اولیه صفحههای مثبت برابر (2×12) + (4×3) = 36 μC است. ظرفیت کل پس از اتصال 6 μF میشود؛ بنابراین V_f = 36/6 = 6 V. بارهای نهایی Q₁f = 2×6 = 12 μC و Q₂f = 4×6 = 24 μC هستند.
خازن اول از 24 μC به 12 μC رسیده و خازن دوم از 12 μC به 24 μC رسیده است؛ پس 12 μC بار مثبت قراردادی از خازن اول به دوم منتقل شده است. کنترل کیفی نیز درست است: 6 V میان 3 و 12 V قرار دارد و خازن با ولتاژ اولیه بیشتر بار از دست داده است.
کاهش انرژی الکتریکی را جدا از پایستگی بار حساب کن
انرژی ذخیرهشده هر خازن U = 1/2 CV² است. در مثال بالا، انرژی اولیه برابر 1/2(2 μF)(12²) + 1/2(4 μF)(3²) = 162 μJ است. انرژی نهایی دو خازن برابر 1/2(6 μF)(6²) = 108 μJ میشود؛ پس 54 μJ از انرژی الکتریکی ذخیرهشده کاسته شده است.
این اختلاف از بین نرفته است. در مدار واقعی، جریان گذرا در مقاومت سیمها گرما تولید میکند و سهم کوچکی نیز میتواند به صورت تابش الکترومغناطیسی خارج شود. حتی اگر مقاومت سیم را بسیار کوچک فرض کنیم، نباید انرژی اولیه و نهایی خازنها را برابر بگذاریم؛ مدل ایدئالِ اتصال ناگهانی جزئیات گذرا را حذف میکند، نه قانون پایستگی کل انرژی را.
- U_i = 1/2 C₁V₁² + 1/2 C₂V₂²
- U_f = 1/2 (C₁ + C₂)V_f²
- انرژی تبدیلشده = U_i − U_f
مسئله اتصال خازنها را در شش گام حل و کنترل کن
یک: مطمئن شو باتری پیش از اتصال جدا شده است. دو: جهت مرجع ولتاژ و قطب صفحههای متصل را روی شکل علامت بزن. سه: بار اولیه هر صفحه را با Q = CV و با علامت درست بنویس. چهار: از پایستگی بار صفحههای متصل و برابری ولتاژ نهایی، V_f را بیاب. پنج: Q_f و مقدار انتقال بار را حساب کن. شش: اگر انرژی خواسته شده، U_i و U_f را جداگانه به دست آور.
سه کنترل سریع جلوی بیشتر خطاها را میگیرد: در اتصال همنام، V_f باید میان V₁ و V₂ باشد؛ مجموع جبری تغییر بارها باید صفر شود؛ و انرژی نهایی نباید از انرژی اولیه بیشتر باشد. برای مرور ظرفیت معادل و انرژی، مقاله خازنهای سری و موازی را بخوان. اگر ظرفیت در اثر ورود دیالکتریک تغییر میکند، ابتدا وضعیت اتصال باتری را با راهنمای دیالکتریک مشخص کن و سپس سراغ بازتوزیع بار برو.
در اتصال موازی دو خازنِ جدا از باتری، ابتدا قطبها و جهت مرجع ولتاژ را مشخص کن. بار جبری مجموعه صفحههای متصل پایسته است و در تعادل، ولتاژ دو خازن برابر میشود؛ از ترکیب این دو اصل V_f را پیدا کن و بعد بار نهایی هر خازن را جداگانه بساز. ولتاژ نهایی در اتصال همنام میان دو ولتاژ اولیه قرار میگیرد و بار از خازن با ولتاژ بیشتر به خازن با ولتاژ کمتر منتقل میشود. انرژی ذخیرهشده خازنها را جداگانه در ابتدا و انتها حساب کن؛ کاهش آن نقض پایستگی انرژی نیست، بلکه سهم گرما و تابشِ جریان گذراست.