برای یافتن انرژی یک واکنش هستهای، جرم کل ذرات پیش از واکنش را از جرم کل ذرات پس از واکنش کم کن و حاصل را در c² ضرب کن: Q = (mi − mf)c². اگر جرمها بر حسب واحد جرم اتمی u باشند، میتوان نوشت Q(MeV) = Δm(u) × 931.5. مقدار Q مثبت یعنی بخشی از انرژی سکون به انرژی جنبشی یا تابش تبدیل و انرژی آزاد شده است؛ Q منفی یعنی واکنش برای انجامشدن دستکم به اندازه |Q| انرژی میخواهد. شرط مهم این است که جرمها را سازگار انتخاب کنی: یا همه جرم اتمی باشند و تعداد الکترونهای دو طرف برابر باشد، یا همه جرم هستهای.
مقدار Q را از پایستگی انرژی تعریف کن
واکنش کلی a + A → b + B را در نظر بگیر. انرژی کل، شامل انرژی سکون و انرژی جنبشی، پایسته است. اگر mi مجموع جرم سکون a و A و mf مجموع جرم سکون b و B باشد، اختلاف انرژی سکون دو طرف به صورت Q = (mi − mf)c² تعریف میشود. بنابراین Q خودِ اختلاف انرژی جنبشی نهایی و اولیه نیز هست: Q = Kf − Ki، به شرط آنکه انرژی تابشی یا برانگیختگی را هم در حساب انرژی نهایی وارد کنیم.
وقتی Q مثبت است، انرژی جنبشی یا تابشی فرآوردهها از انرژی جنبشی اولیه بیشتر میشود و واکنش انرژی آزاد میکند. وقتی Q منفی است، بخشی از انرژی جنبشی ورودی باید به انرژی سکون تبدیل شود؛ پس واکنش بدون تأمین انرژی کافی رخ نمیدهد. صفرشدن Q نیز فقط برابری مجموع انرژی جنبشی ابتدا و انتها را نشان میدهد، نه اینکه هر ذره سرعت ثابتی داشته باشد.
- Q > 0: واکنش انرژیزا
- Q < 0: واکنش نیازمند انرژی
- Q = Kf − Ki = (mi − mf)c²
پیش از محاسبه، عدد جرمی و عدد اتمی را موازنه کن
در واکنش هستهای، مجموع عدد جرمی A و مجموع عدد اتمی Z در دو طرف برابر است. این دو موازنه ذره مجهول را مشخص میکنند و جلوی انتخاب جرم اشتباه را میگیرند. برای نمونه در ¹⁴₇N + ⁴₂He → ¹⁷₈O + X، از موازنه A داریم 14 + 4 = 17 + AX، پس AX = 1؛ از موازنه Z نیز 7 + 2 = 8 + ZX، پس ZX = 1 و X یک پروتون است.
عدد جرمی فقط تعداد نوکلئونهاست و جرم دقیق ایزوتوپ نیست. برای محاسبه Q نمیتوان A را بهجای جرم بر حسب u گذاشت؛ همین اختلاف کوچک میان جرم واقعی و عدد جرمی منشأ انرژی بستگی و Q واکنش است. جرم دقیق دادهشده در صورت سؤال یا جدول معتبر را استفاده کن.
جرم اتمی و جرم هستهای را با هم مخلوط نکن
جرم اتمی، جرم هسته بهاضافه الکترونهای اتم خنثی است؛ جرم هستهای الکترونها را دربر نمیگیرد. اگر در دو طرف واکنش مجموع عددهای اتمی برابر باشد و همه جرمهای جدول، جرم اتم خنثی باشند، تعداد کل الکترونها نیز برابر است و جرم الکترونها در تفاضل حذف میشود. در این حالت میتوان مستقیماً از جرمهای اتمی استفاده کرد.
اگر ذرهای مانند پوزیترون یا الکترون در معادله آمده، یا دادهها ترکیبی از جرم اتم و هستهاند، حذف الکترونها را جداگانه بررسی کن. در سؤالهای دبیرستانی معمولاً نوع جرم مشخص یا دادههای لازم ارائه میشود. قاعده امن این است: برچسب جدول و صورت سؤال را بخوان و همه جملههای جمع جرم را به یک قرارداد تبدیل کن.
- همه دادهها جرم اتمی و تعداد الکترون دو طرف برابر: استفاده مستقیم مجاز است.
- همه دادهها جرم هستهای: بدون افزودن جرم الکترون محاسبه کن.
- دادههای مخلوط: نخست آنها را به یک نوع جرم تبدیل کن.
مسیر حل Q را در پنج گام اجرا کن
یک: واکنش را با پایستگی A و Z موازنه کن. دو: نوع جرمهای دادهشده را مشخص کن. سه: مجموع جرم واکنشدهندهها mi و مجموع جرم فرآوردهها mf را جدا بنویس. چهار: Δm = mi − mf را با حفظ علامت حساب کن. پنج: اگر جرم بر حسب u است، Δm را در 931.5 MeV/u ضرب و علامت Q را تفسیر کن.
تفاضل جرمها معمولاً بسیار کوچکتر از خود جرمهاست؛ بنابراین گردکردن زودهنگام میتواند علامت یا مقدار جواب را تغییر دهد. رقمهای دادهشده را تا پایان نگه دار و فقط نتیجه نهایی را متناسب با دقت صورت سؤال گرد کن. اگر جرم بر حسب kg داده شده، از Q = Δmc² استفاده کن و برای جواب ژول، c را بر حسب m/s بگذار.
مثال حلشده: انرژی آزادشده در همجوشی دوتریم و تریتیوم
واکنش ²₁H + ³₁H → ⁴₂He + ¹₀n را با جرمهای اتمی m(²H) = 2.014102 u، m(³H) = 3.016049 u، m(⁴He) = 4.002603 u و جرم نوترون mn = 1.008665 u در نظر بگیر. عدد جرمی دو طرف 5 و عدد اتمی دو طرف 2 است؛ دو الکترون موجود در مجموع اتمهای دوتریم و تریتیوم نیز با دو الکترون اتم هلیم خنثی میشوند، پس استفاده از این جرمهای اتمی سازگار است.
جرم اولیه mi = 2.014102 + 3.016049 = 5.030151 u و جرم نهایی mf = 4.002603 + 1.008665 = 5.011268 u است. پس Δm = 5.030151 − 5.011268 = 0.018883 u و Q = 0.018883 × 931.5 ≈ 17.6 MeV میشود.
علامت مثبت نشان میدهد واکنش حدود 17.6 MeV انرژی آزاد میکند. این انرژی میان انرژی جنبشی هلیم و نوترون تقسیم میشود؛ نمیتوان بدون استفاده از پایستگی تکانه گفت هر فرآورده نیمی از انرژی را میگیرد.
در صورت دادهشدن انرژی بستگی، از اختلاف مجموعها استفاده کن
گاهی جرم ایزوتوپها داده نمیشود و انرژی بستگی هستهها را میدهند. چون انرژی بستگی بیشتر به معنی جرم سکون کمترِ هسته مقید است، برای یک واکنش موازنهشده میتوان نوشت Q = مجموع انرژی بستگی فرآوردهها − مجموع انرژی بستگی واکنشدهندهها. ترتیب این تفاضل برعکس تفاضل جرم است.
اگر انرژی بستگی بهازای هر نوکلئون داده شده، ابتدا آن را در عدد جرمی همان هسته ضرب کن تا انرژی بستگی کل به دست آید. مقایسه مستقیم انرژی بستگی ویژه دو هسته با عدد جرمی متفاوت، Q دقیق واکنش را نمیدهد. برای مرور ریشه این رابطه، راهنمای «نقص جرم و انرژی بستگی هستهای» سایت را بخوان.
Q منفی را با انرژی آستانه یکسان نگیر
اگر Q منفی باشد، از پایستگی انرژی میدانیم حداقل |Q| باید از انرژی جنبشی اولیه تأمین شود. بااینحال در آزمایشگاهی که هدف پیش از برخورد ساکن است، پایستگی تکانه اجازه نمیدهد همه انرژی ورودی به افزایش جرم سکون تبدیل شود؛ فرآوردهها باید مقداری انرژی جنبشی برای حمل تکانه داشته باشند. بنابراین انرژی آستانه معمولاً از |Q| بزرگتر است.
در سطح مسئلههای مقدماتی، اگر صورت سؤال فقط «کمبود انرژی» یا «انرژی لازم بر پایه Q» را بخواهد، |Q| پاسخ مربوط است. فرمول دقیق آستانه را تنها وقتی به کار ببر که مدل برخورد و جرم پرتابه و هدف مشخص شده باشد. این تفکیک مانع تعمیم نادرست یک نتیجه مرکز جرم به چارچوب آزمایشگاه میشود.
چهار خطای رایج را پیش از ثبت پاسخ کنترل کن
خطای اول، برعکسگرفتن تفاضل جرم و نوشتن mf − mi است. خطای دوم، استفاده از عدد جرمی بهجای جرم دقیق ایزوتوپ است. خطای سوم، مخلوطکردن جرم اتمی و هستهای بدون حساب الکترونهاست. خطای چهارم، تعبیر Q مثبت به عنوان انرژی جنبشی یک فرآورده خاص است؛ Q تغییر مجموع انرژی جنبشی و تابشی دستگاه را بیان میکند.
یک کنترل سریع انجام بده: اگر جرم اولیه بیشتر است باید Q مثبت شود. واحد را نیز بررسی کن؛ ضرب جرم بر حسب u در 931.5، جواب را بر حسب MeV میدهد، اما در رابطه SI باید kg را در (m/s)² ضرب کرد تا J به دست آید. در پایان، مقدار بهدستآمده را همراه علامت و تفسیر فیزیکی بنویس.
برای محاسبه Q، ابتدا واکنش را از نظر عدد جرمی و عدد اتمی موازنه کن، سپس جرم کل سمت چپ و راست را با یک نوع داده جرم بساز و Δm = mi − mf را به دست آور. علامت Q معنای فیزیکی پاسخ است: Q > 0 واکنش انرژیزا و Q < 0 واکنش نیازمند انرژی است. در واکنش دوجسمیِ هدف ساکن، Q مثبت لزوماً به معنی بینیازی از شرطهای دیگر نیست و Q منفی نیز آستانهای بزرگتر از |Q| میتواند داشته باشد. موازنه، واحد و حذف درست جرم الکترونها سه کنترل نهاییاند.