پاسخ مستقیم این است: برای فنری یکنواخت، ثابت فنر با طول آن نسبت وارون دارد؛ پس اگر فنر با طول L و ثابت k به قطعهای با طول ℓ بریده شود، ثابت قطعه k_piece = kL/ℓ است. در نتیجه هر نیمه 2k و هر یک از n قطعه مساوی nk دارد. بعد از تعیین ثابت هر قطعه، اگر قطعهها دوباره ترکیب شوند باید قواعد سری یا موازی را جداگانه اجرا کنی؛ کوتاهشدن فنر بهتنهایی آن را سفتتر میکند، اما نوع اتصال میتواند ثابت معادل را تغییر دهد.
چرا قطعه کوتاهتر ثابت فنر بزرگتری دارد؟
در محدوده رفتار کشسان و برای فنر یکنواخت، تغییر طول کل میان حلقههای طول فنر تقسیم میشود. اگر تنها بخشی کوتاهتر از همان فنر را بکشیم، حلقههای کمتری در تغییر طول سهیماند؛ بنابراین برای نیروی یکسان، کشیدگی آن قطعه کمتر است. از F = kx نتیجه میشود قطعهای که x کمتری دارد، k بزرگتری خواهد داشت.
برای دو قطعه از همان فنر، حاصلضرب ثابت فنر در طول ثابت میماند: k₁L₁ = k₂L₂. اگر فنر اولیه طول L و ثابت k داشته باشد، قطعهای به طول ℓ دارای k_piece = kL/ℓ است. این رابطه به یکنواختبودن جنس، قطر سیم و شکل پیچش در سراسر فنر وابسته است؛ برای دو فنر متفاوت نمیتوان تنها از نسبت طولها نتیجه گرفت.
- فنر کوتاهتر از همان فنر اولیه، سفتتر است.
- رابطه طولی: k_piece/k = L/ℓ
- بریدن جرم آویخته را تغییر نمیدهد؛ فقط ویژگی فنر عوض میشود.
فنر را به قطعههای مساوی تقسیم کن
اگر فنر به n قطعه مساوی بریده شود، طول هر قطعه L/n است. با جایگذاری در رابطه طولی داریم k_piece = kL/(L/n) = nk. بنابراین نصف فنر ثابت 2k، یکسوم فنر ثابت 3k و یکچهارم آن ثابت 4k دارد.
خطای رایج این است که چون طول نصف شده، ثابت را نیز نصف کنیم. پیش از محاسبه این کنترل فیزیکی را انجام بده: قطعه کوتاهتر باید برای نیروی یکسان کمتر کش بیاید، پس ثابتش باید بیشتر شود. همین بررسی جهت تناسب را مشخص میکند.
مثال حلشده: بریدن فنر به دو قطعه نامساوی
فنری یکنواخت با طول 60 cm و ثابت 120 N/m را در فاصله 20 cm از یک سر میبریم. ثابت قطعه 20 سانتیمتری و قطعه 40 سانتیمتری را بیاب. چون در نسبت طولها واحد یکسان است، نیازی نیست سانتیمتر را به متر تبدیل کنیم.
برای قطعه کوتاهتر داریم k₁ = 120×(60/20) = 360 N/m. برای قطعه بلندتر نیز k₂ = 120×(60/40) = 180 N/m میشود. نتیجه معقول است: قطعه 20 سانتیمتری که کوتاهتر است، ثابت بزرگتری دارد.
یک کنترل دقیقتر این است که این دو قطعه را ذهنی دوباره پشت سر هم قرار دهیم. 1/k₁ + 1/k₂ = 1/360 + 1/180 = 1/120؛ پس ثابت سری آنها همان 120 N/m فنر اولیه میشود.
پس از بریدن، نوع اتصال قطعهها را تشخیص بده
محاسبه ثابت هر قطعه پایان کار نیست. اگر قطعهها پشت سر هم باشند و نیروی یکسان از هر دو بگذرد، اتصال سری است و 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂. اگر دو سر قطعهها میان تکیهگاه و یک جسم مشترک بسته شده باشند و تغییر طول یکسان داشته باشند، اتصال موازی است و k_eq = k₁ + k₂.
برای n قطعه مساوی که هر کدام ثابت nk دارند، اتصال سری همه آنها k_eq = (nk)/n = k میدهد؛ یعنی فنر اولیه را بازسازی کردهایم. اتصال موازی همان قطعهها k_eq = n(nk) = n²k میدهد. این n² نتیجه دو مرحله جداست: ابتدا بریدن و سپس موازیکردن.
- سری: نیرو یکسان و تغییر طولها جمع میشوند.
- موازی: تغییر طول یکسان و نیروها جمع میشوند.
- ابتدا k هر قطعه، سپس k معادل اتصال را حساب کن.
مثال حلشده: چهار تکه فنر در اتصال موازی
فنری با ثابت اولیه k = 50 N/m به چهار قسمت مساوی بریده میشود و هر چهار قطعه موازی یک جرم را نگه میدارند. ثابت هر قطعه برابر 4k = 200 N/m است. چون تغییر طول چهار قطعه یکسان است، ثابتها جمع میشوند: k_eq = 4×200 = 800 N/m.
همین پاسخ از قاعده n²k نیز به دست میآید: k_eq = 4²×50 = 800 N/m. اگر نیروی کل 40 N باشد، کشیدگی مجموعه x = F/k_eq = 40/800 = 0.05 m یا 5 cm است. نیروی هر شاخه یکچهارم نیروی کل، یعنی 10 N خواهد بود.
اثر ثابت جدید را بر انرژی و دوره نوسان دنبال کن
پس از یافتن k جدید میتوان آن را در رابطههای دیگر به کار برد. انرژی کشسانی در کشیدگی x برابر U = ½kx² است؛ پس در کشیدگی یکسان، قطعه سفتتر انرژی بیشتری ذخیره میکند. اما اگر نیرو ثابت باشد، x = F/k و در نتیجه U = F²/(2k) است؛ در این حالت افزایش k انرژی ذخیرهشده را کم میکند. ثابت نگهداشتهشدن x یا F را از صورت سؤال تشخیص بده.
برای جرم m متصل به فنر، دوره نوسان T = 2π√(m/k_eq) است. اگر همان جرم را به نصف فنر اولیه وصل کنیم، k به 2k میرسد و دوره به T/√2 کاهش مییابد. جرم خود فنر در مدل معمول مدرسهای ناچیز فرض میشود؛ اگر صورت سؤال جرم فنر را وارد مدل کند، این نتیجه ساده الزاماً کافی نیست.
مسیر حل و خطاهای رایج را یکجا مرور کن
مسیر مطمئن چهار مرحله دارد: طول هر قطعه را نسبت به طول اولیه پیدا کن؛ از k_i = kL/ℓ_i ثابت آن را به دست آور؛ سری یا موازیبودن اتصال را از برابری نیرو یا تغییر طول تشخیص بده؛ سپس کمیت نهایی مانند کشیدگی، انرژی یا دوره را حساب کن.
از بهکاربردن رابطه وارون طول برای فنرهایی با جنس یا هندسه متفاوت خودداری کن. ثابت قطعهها را پیش از ترکیب برابر k اولیه نگذار، سری و موازی را فقط از ظاهر افقی یا عمودی شکل تشخیص نده و واحد ثابت فنر را N/m گزارش کن. برای مرور اتصالها راهنمای قانون هوک و فنرهای سری و موازی، برای انرژی مقاله نمودار نیرو–تغییر طول فنر و برای دوره راهنمای فنر قائم را بخوان.
- کوتاهتر شدن قطعه باید k را افزایش دهد.
- اتصال دوباره همه قطعهها به شکل سری باید k اولیه را بازگرداند.
- در پایان، ثابت معادل را با واحد N/m بنویس.
در مسئله فنر بریدهشده، اول از یکنواختبودن فنر و نسبت k ∝ 1/L برای یافتن ثابت هر قطعه استفاده کن: k_i = kL/ℓ_i. سپس شکل اتصال را بخوان؛ در سری وارون ثابتها جمع و در موازی خود ثابتها جمع میشوند. برای n قطعه مساوی، ثابت هر قطعه nk است؛ اتصال دوباره همه قطعهها به صورت سری همان k اولیه و اتصال موازی آنها n²k میدهد. بررسی سفتترشدن قطعه کوتاهتر، واحد N/m و حد اتصال دوباره، سه کنترل سریع پاسخاند.