بسامد تار مرتعش با جرم آویزان از سه گام ساخته می‌شود: اول کشش تار را از وضعیت جرم آویزان پیدا کن، سپس سرعت موج را با v = √(T/μ) به دست آور و در پایان شرط تار دو سر ثابت را بنویس: fn = nv/(2L). اگر آویزه ساکن و قرقره آرمانی باشد، T = Mg است؛ اما اگر آویزه شتاب داشته باشد، باید کشش واقعی را از قانون دوم نیوتن حساب کنی. این مقاله دقیقاً برای تست‌هایی است که سرعت موج، موج ایستاده و دینامیک را در یک صورت سؤال ترکیب می‌کنند.
فرمول بسامد تار مرتعش با جرم آویزان را از کجا بیاوریم؟
اگر تار از دو سر ثابت باشد، طول بخش مرتعش باید تعداد صحیحی از نیم‌طول موج را در خود جا دهد: L = nλ/2. از طرف دیگر سرعت موج روی تار برابر v = fλ است. ترکیب این دو رابطه می‌دهد fn = nv/(2L). این بخش فقط شرط هندسی موج ایستاده است و هنوز درباره جنس تار یا کشش چیزی نگفته‌ایم.
سرعت موج روی تار از کشش T و چگالی خطی μ تعیین می‌شود: v = √(T/μ). پس برای تار دو سر ثابت داریم fn = n/(2L)√(T/μ). اگر کشش را جرم آویزانِ ساکن فراهم کند، T = Mg و رابطه به fn = n/(2L)√(Mg/μ) تبدیل می‌شود. همین رابطه پاسخ مستقیم بسیاری از تست‌های بسامد تار مرتعش با جرم آویزان است، به شرطی که فرض‌های آن برقرار باشند.
- تار دو سر ثابت: L = nλ/2
- سرعت موج روی تار: v = √(T/μ)
- جرم آویزان ساکن: T = Mg
- بسامد مجاز: fn = n/(2L)√(T/μ)
کشش را از جرم آویزان درست پیدا کن
در صورت‌های ساده، یک سر نخ یا تار از روی قرقره می‌گذرد و وزنه‌ای از آن آویزان است. اگر وزنه در تعادل باشد، نیروهای عمودی روی آن برابرند و T = Mg می‌شود. در این مدل، نخ بی‌جرم، قرقره بدون اصطکاک و دستگاه ساکن فرض شده است.
اگر صورت سؤال از شتاب، حرکت وزنه، اصطکاک قرقره یا جرم‌دار بودن نخ حرف بزند، دیگر اجازه نداری وزن را مستقیم جای کشش بگذاری. باید برای جرم آویزان نمودار نیرو بکشی و از Mg − T = Ma یا شکل مناسب قانون دوم نیوتن استفاده کنی. بسیاری از گزینه‌های دام‌دار دقیقاً روی همین اشتباه ساخته می‌شوند.
- تعادل آویزه: T = Mg
- آویزه شتاب‌دار: قانون دوم نیوتن لازم است
- قرقره غیرآرمانی: کشش دو طرف می‌تواند برابر نباشد
- در تست، واژه ساکن یا تعادل را جدی بخوان
چگالی خطی تار را قبل از هر فرمول بساز
چگالی خطی تار برابر جرم تار تقسیم بر طول آن است: μ = m/L. جرم باید بر حسب کیلوگرم و طول بر حسب متر وارد شود. اگر جرم تار 6 گرم و طول آن 1.5 متر باشد، μ = 0.006/1.5 = 0.004 kg/m است.
گاهی طول کل تار با طول بخش مرتعش یکی نیست. مثلاً فقط قسمت بین دو تکیه‌گاه نوسان می‌کند، اما جرم کل تار داده شده است. اگر تار یکنواخت باشد، μ کل تار و بخش مرتعش برابر است؛ ولی اگر فقط جرم همان بخش داده شده، همان طول بخش را در μ وارد کن. اشتباه در همین مرحله، همه محاسبه‌های بعدی را جابه‌جا می‌کند.
مثال حل‌شده: تار مرتعش با وزنه آویزان
تاری یکنواخت به طول بخش مرتعش 80 cm و جرم 4 g از دو سر ثابت است. کشش تار با وزنه‌ای 1.6 kg که ساکن آویزان مانده تأمین می‌شود. با g = 10 m/s²، بسامد پایه و بسامد سوم تار را پیدا کن.
اول واحدها را تبدیل کن: L = 0.80 m و m_string = 0.004 kg. پس μ = 0.004/0.80 = 0.005 kg/m. چون وزنه ساکن است، T = Mg = 1.6×10 = 16 N. سرعت موج می‌شود v = √(16/0.005) = √3200 ≈ 56.6 m/s.
برای تار دو سر ثابت، f1 = v/(2L) = 56.6/(1.6) ≈ 35.4 Hz. بسامد سوم سه برابر بسامد پایه است: f3 ≈ 106 Hz. کنترل پاسخ هم ساده است: اگر جرم آویزان بیشتر شود، کشش و سرعت و بسامد بیشتر می‌شوند؛ اگر تار سنگین‌تر شود، μ بیشتر و بسامد کمتر می‌شود.
- L را طول بخش مرتعش بگیر
- وزنه ساکن یعنی T = Mg
- f3 = 3f1 برای تار دو سر ثابت
- واحد Hz فقط پس از m، kg و N درست بیرون می‌آید
مسئله‌های مقایسه‌ای را با نسبت‌گیری سریع حل کن
وقتی طول و شماره هارمونیک ثابت باشند، بسامد با ریشه نسبت کشش به چگالی خطی تغییر می‌کند: f ∝ √(T/μ). اگر جرم آویزان چهار برابر شود و تار همان باشد، کشش چهار برابر و بسامد دو برابر می‌شود. اگر چگالی خطی چهار برابر شود و کشش ثابت بماند، بسامد نصف می‌شود.
اگر طول بخش مرتعش هم عوض شود، آن را جداگانه وارد کن: f ∝ (n/L)√(T/μ). پس نصف شدن طول، در همان هارمونیک و با همان تار و کشش، بسامد را دو برابر می‌کند. این روش برای تست‌های زمان‌دار خیلی سریع‌تر از جای‌گذاری عددی کامل است، اما فقط وقتی امن است که کمیت‌های ثابت را دقیق شناخته باشی.
- T چهار برابر، μ ثابت: f دو برابر
- μ چهار برابر، T ثابت: f نصف
- L نصف، n ثابت: f دو برابر
- n دو برابر، بقیه ثابت: f دو برابر
شماره هارمونیک را با تعداد گره و شکم قاطی نکن
در تار دو سر ثابت، هارمونیک nام دارای n شکم و n + 1 گره است؛ دو گره انتهایی هم جزو شمارش‌اند. اگر سؤال بگوید شکل موج سه شکم دارد، یعنی n = 3 و بسامد آن f3 = 3f1 است. اما اگر بگوید چهار گره در طول تار دیده می‌شود، باید حواس‌ات باشد که n = 3 است، نه 4.
بهترین راه این است که شکل را به نیم‌موج‌ها تقسیم کنی. هر شکم یک نیم‌موج نیست، اما در تار دو سر ثابت تعداد شکم‌ها با شماره هارمونیک برابر می‌شود. در سؤال‌های بی‌شکل، عباراتی مثل «هماهنگ سوم»، «بسامد تشدیدی سوم» یا «سه شکم» را به n تبدیل کن و بعد سراغ فرمول برو.
چک‌لیست حل تست تار مرتعش را اجرا کن
این مدل چند رابطه را پشت سر هم می‌خواهد؛ بنابراین اگر ترتیب را حفظ نکنی، خطا پنهان می‌ماند. اول طول بخش مرتعش و نوع انتهاها را مشخص کن. دوم μ را از جرم و طول تار بساز. سوم کشش واقعی را تعیین کن. چهارم سرعت موج و در نهایت بسامد هارمونیک خواسته‌شده را حساب کن.
برای مرور عمیق‌تر، مقاله سرعت موج روی تار رابطه v = √(T/μ) را جداگانه توضیح می‌دهد. مقاله موج ایستاده در تار و لوله صوتی نیز شرط گره، شکم و هارمونیک را کامل‌تر باز می‌کند. اگر هنوز در تشخیص نوع موج یا رابطه دوره و بسامد تردید داری، راهنمای نوسان و موج را به‌عنوان صفحه مادر بخوان.
- طول بخش مرتعش همان طول وارد فرمول است؟
- جرم تار به kg و طول به m تبدیل شده؟
- کشش از تعادل آویزه آمده یا از قانون دوم؟
- شماره هارمونیک درست خوانده شده؟
- پاسخ با افزایش کشش و کاهش جرم تار رفتار منطقی دارد؟
برای حل تست‌های تار مرتعش، مسیر را جابه‌جا نکن: اول وضعیت آویزه و کشش واقعی، بعد چگالی خطی μ = m/L، سپس سرعت v = √(T/μ)، و در آخر شرط هارمونیک تار. در حالت تار دو سر ثابت، fn = n/(2L)√(T/μ) است و اگر کشش از جرم ساکن آویزان بیاید، می‌توان T = Mg نوشت. هر جا آویزه شتاب دارد، قرقره غیرآرمانی است یا طول بخش مرتعش با طول کل تار فرق دارد، قبل از جای‌گذاری فرمول باید مدل فیزیکی را دوباره بسازی.