در بازتاب موج در مرز دو تار، تپ فرودی معمولاً به دو بخش تقسیم می‌شود: تپ بازتابی در تار اول برمی‌گردد و تپ عبوری وارد تار دوم می‌شود. اگر موج از تار سبک به تار سنگین برود، تپ بازتابی وارونه و تپ عبوری هم‌جهت تپ فرودی است؛ اگر از تار سنگین به تار سبک برود، هیچ‌یک وارونه نمی‌شود. با کشش یکسان، تندی در تار سبک بیشتر است. برای موج دوره‌ای، بسامد در مرز ثابت می‌ماند و تغییر تندی باعث تغییر طول موج می‌شود.
بازتاب موج در مرز دو تار چگونه رخ می‌دهد؟
محل اتصال دو تار یک مرز واقعی است، اما مانند دیوار کاملاً ثابت یا انتهای کاملاً آزاد رفتار نمی‌کند. وقتی تپ به اتصال می‌رسد، بخشی از انرژی موج در تار اول به صورت تپ بازتابی برمی‌گردد و بخشی به صورت تپ عبوری در تار دوم ادامه می‌یابد. بنابراین بعد از پایان برهم‌کنش، باید دو تپ را در دو سوی اتصال رسم کنی، نه اینکه کل تپ را فقط بازتابی یا فقط عبوری فرض کنی.
OpenStax در بررسی بازتاب و عبور موج مکانیکی همین دو حالت را برای تارهای با چگالی خطی متفاوت مقایسه می‌کند: جهت تپ بازتابی به سنگین‌تر یا سبک‌تر بودن محیط دوم وابسته است، در حالی که تپ عبوری هم‌فاز با تپ فرودی وارد محیط دوم می‌شود. این نتیجه برای موج‌های کوچک روی تارهای کشیده و اتصال آرمانی به کار می‌رود.
از تار سبک به تار سنگین، تپ بازتابی وارونه می‌شود
فرض کن یک برآمدگی رو به بالا روی تار سبک به سمت اتصال با تار سنگین حرکت می‌کند. تار سنگین در برابر حرکت عمودی مرز مقاومت بیشتری دارد؛ بنابراین رفتار مرز از دید تار اول به انتهای ثابت نزدیک‌تر است. تپ بازتابی به صورت فرورفتگی رو به پایین برمی‌گردد؛ یعنی نسبت به تپ فرودی وارونگی یا تغییر فاز π دارد.
تپ عبوری در تار سنگین وارونه نمی‌شود و به صورت برآمدگی رو به بالا ادامه می‌یابد. اگر کشش دو تار برابر باشد، چون μ تار سنگین بیشتر است، از v = √(T/μ) نتیجه می‌شود تندی تپ عبوری کمتر است. پس در یک زمان مساوی، تپ عبوری در تار سنگین فاصله کمتری از مرز طی می‌کند.
- بازتاب: وارونه و رو به تار اول
- عبور: بدون وارونگی و رو به تار دوم
- تندی در تار سنگین: کمتر، با فرض کشش یکسان
از تار سنگین به تار سبک، تپ بازتابی وارونه نمی‌شود
اگر همان برآمدگی از تار سنگین به تار سبک برسد، مرز برای تار اول آزادتر حرکت می‌کند. تپ بازتابی بدون وارونگی و به صورت برآمدگی به تار سنگین برمی‌گردد. تپ عبوری نیز برآمدگی است و در تار سبک پیش می‌رود؛ پس هر دو تپ پس از برخورد در همان سمت خط تعادلِ تپ فرودی‌اند.
با کشش برابر و μ کمتر در تار سبک، تندی تپ عبوری بیشتر می‌شود. سبک و سنگین را از جرم کل یا ظاهر طول تار حدس نزن؛ معیار درست چگالی خطی μ = m/L است. دو تار هم‌جرم با طول‌های متفاوت یا دو تار هم‌جنس با قطرهای متفاوت می‌توانند چگالی خطی متفاوتی داشته باشند.
- بازتاب: بدون وارونگی و رو به تار اول
- عبور: بدون وارونگی و رو به تار دوم
- تندی در تار سبک: بیشتر، با فرض کشش یکسان
بسامد ثابت می‌ماند؛ تندی و طول موج تغییر می‌کنند
در موج دوره‌ای، محل اتصال نمی‌تواند دو بسامد مستقل داشته باشد؛ نوسان مرز با همان آهنگی ادامه می‌یابد که منبع تحمیل کرده است. بنابراین بسامد موج فرودی، بازتابی و عبوری برابر است. تندی موج بازتابی نیز با فرودی برابر است، چون هر دو در تار اول حرکت می‌کنند.
در تار دوم ممکن است تندی متفاوت باشد. چون λ = v/f و f در مرز ثابت است، نسبت طول موج‌های عبوری و فرودی برابر نسبت تندی‌هاست: λ₂/λ₁ = v₂/v₁. پس ورود به تار سنگین‌تر با کشش یکسان طول موج را کم و ورود به تار سبک‌تر طول موج را زیاد می‌کند. برای یک تپ منفرد به‌جای بسامد و طول موج، درباره پهن‌تر یا باریک‌ترشدن مکانی تپ صحبت می‌کنیم.
مثال حل‌شده: تپ از تار سبک وارد تار سنگین می‌شود
دو تار با کشش مشترک 36 N به هم متصل‌اند. چگالی خطی تار اول μ₁ = 0.010 kg/m و تار دوم μ₂ = 0.040 kg/m است. موجی دوره‌ای با بسامد 10 Hz از تار اول به مرز می‌رسد. جهت تپ بازتابی و عبوری، تندی‌ها و طول موج هر طرف را پیدا کن.
چون μ₂ از μ₁ بیشتر است، موج از تار سبک به سنگین می‌رود؛ پس اگر قله‌ای رو به بالا به مرز برسد، تپ بازتابی رو به پایین و تپ عبوری رو به بالا خواهد بود. تندی تار اول v₁ = √(36/0.010) = 60 m/s و تندی تار دوم v₂ = √(36/0.040) = 30 m/s است.
بسامد در دو طرف 10 Hz می‌ماند. بنابراین λ₁ = v₁/f = 60/10 = 6 m و λ₂ = v₂/f = 30/10 = 3 m است. کنترل جواب: چهار برابرشدن μ باید تندی را به علت ریشه دوم نصف کند؛ طول موج نیز با بسامد ثابت نصف شده است. برای دامنه تپ‌های بازتابی و عبوری عددی نداده‌ایم، چون از داده‌های این مثال و رابطه‌های دبیرستانیِ تندی به‌تنهایی تعیین نمی‌شوند.
چک‌لیست رسم تپ‌های بازتابی و عبوری را اجرا کن
پیش از رسم، روی هر تار μ و جهت حرکت تپ را بنویس. سپس تپ عبوری را در تار دوم و دورشونده از مرز رسم کن. برای تپ بازتابی، جهت انتشار را برگردان و فقط اگر محیط دوم سنگین‌تر است علامت جابه‌جایی را نیز عوض کن. فاصله هر تپ از مرز را با تندی همان تاری حساب کن که تپ در آن قرار دارد.
شکل نامتقارن تپ را ساده کپی نکن. بخش جلویی تپ زودتر به مرز می‌رسد و زودتر هم بازمی‌گردد یا عبور می‌کند؛ بنابراین هنگام رسم پس از برخورد، ترتیب مکانی اجزای تپ بازتابی نسبت به جهت حرکت عوض می‌شود. در سؤال‌های معمول، نخست جهت، وارونگی و فاصله را جدا تعیین کن و بعد شکل را بساز.
- سبک و سنگین را از μ مقایسه کرده‌ام؟
- هر دو تپ بازتابی و عبوری را رسم کرده‌ام؟
- فقط بازتاب از محیط سنگین‌تر را وارونه کرده‌ام؟
- تندی هر تپ را از محیط فعلی آن گرفته‌ام؟
- بسامد موج دوره‌ای را در مرز ثابت نگه داشته‌ام؟
مرز دو تار را با انتهای ثابت یا شکست نور یکی نگیر
خطای نخست این است که در مرز دو تار، کل موج را بازتابیده فرض کنیم؛ در اتصال آرمانی بخشی نیز عبور می‌کند. خطای دوم وارونه‌کردن تپ عبوری است؛ تغییر فاز گفته‌شده مربوط به تپ بازتابی هنگام ورود از تار سبک به سنگین است. خطای سوم تغییر دادن بسامد در تار دوم است؛ منبع همان آهنگ را به مرز تحمیل می‌کند.
در این مسئله یک‌بعدی، واژه «شکست موج» به تغییر تندی و طول موج هنگام عبور اشاره دارد؛ مسیر تپ روی همان امتداد تار می‌ماند و زاویه شکستی مانند نور نداریم. برای انتهای کاملاً ثابت و آزاد، راهنمای بازتاب تپ موج را بخوان؛ برای محاسبه v = √(T/μ)، مقاله سرعت موج روی تار را ببین؛ و برای جایگاه این مفهوم در فصل، راهنمای نوسان و موج مسیر بعدی است.
در مرز دو تار، اول جهت فرود و چگالی خطی دو طرف را مشخص کن. بخشی از موج بازمی‌تابد و بخشی عبور می‌کند؛ بازتاب از مرز سنگین‌تر وارونه و بازتاب از مرز سبک‌تر بدون وارونگی است، اما تپ عبوری در هر دو حالت هم‌جهت تپ فرودی می‌ماند. با کشش مشترک، v = √(T/μ) تندی هر طرف را می‌دهد و برای موج دوره‌ای، بسامد ثابت و طول موج متناسب با تندی تغییر می‌کند. این نتیجه درباره جهت و طول موج است؛ اندازه دامنه‌ها را بدون داده یا رابطه مرزی حدس نزن.