در آونگ مخروطی، جرم با تندی ثابت روی دایرهای افقی میچرخد و نخ با راستای قائم زاویه θ میسازد. وزن رو به پایین است و کشش در امتداد نخ؛ مؤلفه قائم کشش وزن را خنثی میکند و مؤلفه افقی آن شتاب مرکزگرا را میسازد. بنابراین T cosθ = mg و T sinθ = mv²/r. با تقسیم این دو رابطه، tanθ = v²/(rg) به دست میآید. شعاع نیز مستقل از طول نخ نیست و از r = L sinθ پیدا میشود. همین چهار رابطه، مسیر اصلی حل بیشتر سؤالهای آونگ مخروطیاند.
هندسه مسیر و نیروها را پیش از فرمول مشخص کن
جرمی با نخ به طول L از تکیهگاه آویزان است و در صفحهای افقی دور محور قائم میچرخد. نخ سطح جانبی یک مخروط را جاروب میکند؛ به همین دلیل این حرکت آونگ مخروطی نام دارد. اگر θ زاویه نخ با قائم باشد، شعاع دایره افقی برابر r = L sinθ و فاصله قائم جرم تا تکیهگاه برابر L cosθ است.
فقط دو نیروی واقعی به جرم وارد میشود: وزن mg رو به پایین و کشش T در امتداد نخ و به سوی تکیهگاه. نیروی جداگانهای به نام «نیروی مرکزگرا» به فهرست نیروها اضافه نکن؛ مرکزگرا نام برآیند مؤلفههای نیرو در راستای شعاعی است. در این مسئله مؤلفه افقی کشش همین برآیند را فراهم میکند.
- زاویه θ با راستای قائم سنجیده میشود.
- شعاع مسیر: r = L sinθ
- نیروهای واقعی: وزن و کشش نخ
کشش نخ را در دو راستای قائم و شعاعی تجزیه کن
جرم ارتفاع ثابتی دارد، پس شتاب قائم آن صفر است. مؤلفه قائم کشش باید وزن را خنثی کند: T cosθ = mg. از این رابطه T = mg/cosθ به دست میآید؛ بنابراین برای زاویه غیرصفر، کشش از وزن بیشتر است.
شتاب افقی رو به مرکز دایره است و اندازه آن v²/r یا ω²r است. پس در راستای شعاعی مینویسیم T sinθ = mv²/r = mω²r. با تقسیم معادله شعاعی بر معادله قائم، T و m حذف میشوند و tanθ = v²/(rg) حاصل میشود. این حذف نشان میدهد اگر هندسه و تندی یکسان باشند، زاویه حرکت به جرم وابسته نیست.
- راستای قائم: T cosθ = mg
- راستای شعاعی: T sinθ = mv²/r
- نسبت دو معادله: tanθ = v²/(rg)
رابطه دوره را از هندسه و دینامیک بساز
برای یک دور کامل، v = 2πr/P و ω = 2π/P است. اگر T sinθ = mω²r را با r = L sinθ ترکیب کنیم، برای θ غیرصفر به T = mω²L میرسیم. اکنون با T cosθ = mg داریم ω² = g/(L cosθ).
پس دوره حرکت برابر P = 2π√(L cosθ/g) است. این P را با نماد کشش T اشتباه نکن؛ در این مقاله برای دوره از P استفاده کردهایم. رابطه دوره آونگ مخروطی با رابطه تقریبی آونگ ساده یکسان نیست: در آونگ ساده جرم رفتوبرگشت میکند، اما اینجا جرم روی دایره افقی میچرخد.
مسئله آونگ مخروطی را در پنج گام حل کن
یک: زاویه را نسبت به قائم یا افق مشخص کن؛ اگر زاویه با افق داده شده، پیش از استفاده آن را به زاویه با قائم تبدیل کن. دو: از r = L sinθ شعاع را بساز. سه: نمودار جسم آزاد شامل mg و T را رسم کن. چهار: دو معادله T cosθ = mg و T sinθ = mv²/r را بنویس. پنج: بر اساس خواسته، از tanθ = v²/(rg)، v = 2πr/P یا P = 2π√(L cosθ/g) استفاده و پاسخ را کنترل کن.
همه رابطهها را همزمان جایگذاری نکن. اگر کشش خواسته شده و زاویه معلوم است، T = mg/cosθ کوتاهترین راه است. اگر تندی و شعاع داده شدهاند، tanθ مستقیم زاویه را میدهد. اگر طول نخ و زاویه و دوره خواسته شدهاند، رابطه دوره از محاسبه جداگانه تندی کوتاهتر است.
مثال حلشده: آونگ مخروطی با نخ ۸۰ سانتیمتری
جرمی 0.50 kg به نخی با طول L = 0.80 m بسته شده و نخ با قائم زاویه 60° میسازد. با فرض g = 10 m/s²، شعاع مسیر، کشش نخ، تندی و دوره را پیدا کن.
ابتدا r = L sinθ = 0.80×sin60° ≈ 0.693 m. از تعادل قائم، T = mg/cosθ = (0.50×10)/0.50 = 10 N. برای تندی از tanθ = v²/(rg) استفاده میکنیم: v = √(rg tanθ) = √(0.693×10×√3) ≈ 3.46 m/s.
دوره را میتوان از P = 2πr/v به دست آورد که تقریباً 1.26 s میشود. کنترل مستقل با P = 2π√(L cosθ/g) نیز 2π√(0.80×0.50/10) ≈ 1.26 s میدهد. کشش 10 نیوتونی هم از وزن 5 نیوتونی بزرگتر است، پس روند پاسخ با T = mg/cosθ سازگار است.
اثر تغییر زاویه و تندی را بدون محاسبه پیشبینی کن
برای نخ و g ثابت، با زیادشدن θ، شعاع L sinθ بیشتر و cosθ کمتر میشود. در نتیجه کشش mg/cosθ افزایش مییابد و دوره 2π√(L cosθ/g) کاهش پیدا میکند. پس بازترشدن مخروط با چرخش سریعتر و کشش بیشتر همراه است.
رابطهها حالت θ = 0 را بهعنوان حرکت دایرهای غیرصفر توصیف نمیکنند، چون در آن حالت r = 0 است و مخروطی تشکیل نمیشود. همچنین نزدیک 90 درجه، مدل آرمانی کشش بسیار بزرگی پیشبینی میکند؛ نخ واقعی محدودیت استحکام دارد و صورت مسئله باید آرمانیبودن نخ را روشن یا قابل فرض کرده باشد.
چهار خطای رایج را پیش از انتخاب گزینه کنترل کن
خطای اول، استفاده از r = L cosθ برای زاویهای است که با قائم سنجیده شده؛ تصویر قائم و افقی نخ را دوباره رسم کن. خطای دوم، نوشتن T = mv²/r است؛ فقط مؤلفه افقی کشش، یعنی T sinθ، مرکزگراست. خطای سوم، فرض T = mg است؛ این برابری فقط وقتی مؤلفه افقی کشش صفر باشد برقرار میشود. خطای چهارم، یکیگرفتن دوره آونگ مخروطی با دوره تقریبی آونگ ساده است.
برای کنترل نهایی، r نباید از L بزرگتر باشد، یکای دوره باید ثانیه و یکای کشش نیوتون شود. مقاله حرکت دایرهای یکنواخت توضیح میدهد چرا شتاب با وجود تندی ثابت صفر نیست؛ راهنمای تجزیه بردارها برای انتخاب سینوس و کسینوس و مقاله آونگ ساده برای مقایسه دو نوع حرکت، ادامههای مرتبط این بحثاند.
آونگ مخروطی یک مسئله تعادل قائم و حرکت دایرهای افقی است. ابتدا r = L sinθ را از هندسه بنویس، سپس کشش را به مؤلفههای قائم و افقی تجزیه کن: T cosθ = mg و T sinθ = mv²/r. نسبت این دو، tanθ = v²/(rg)، و ترکیب آنها با v = 2πr/P، رابطه دوره P = 2π√(L cosθ/g) را میدهد. زاویه را همیشه نسبت به قائم بخوان، کشش را نیروی مرکزگرا ننام و در پایان شعاع، یکا و روند فیزیکی پاسخ را کنترل کن.