آونگ بالستیک؛ محاسبه سرعت گلوله با پایستگی تکانه و انرژی

آونگ بالستیک را به دو مرحله زمانی جدا کن

گلوله با سرعت u به قطعه‌ای آویزان برخورد می‌کند، در آن فرو می‌رود و هر دو بلافاصله با سرعت مشترک V حرکت می‌کنند. این برخورد زمان بسیار کوتاهی دارد. پس از پایان برخورد، مجموعه مانند آونگ بالا می‌رود تا در بیشینه ارتفاع برای یک لحظه سرعتش صفر شود.

مرز میان این دو بازه کلید حل است. مرحله اول از لحظه پیش از برخورد تا لحظه پس از آن ادامه دارد؛ مرحله دوم از لحظه پس از برخورد تا بیشینه ارتفاع. نماد V حلقه اتصال دو مرحله است: خروجی معادله تکانه و ورودی معادله انرژی.

• مرحله برخورد: از u به V
• مرحله صعود: از V به سرعت صفر
• کمیت واسط میان دو مرحله: سرعت مشترک V

در زمان برخورد، پایستگی تکانه را بنویس

محور افقی را در جهت حرکت گلوله مثبت بگیر. اگر قطعه پیش از برخورد ساکن باشد، تکانه اولیه m u است و پس از گیرکردن گلوله، جرم متحرک M + m خواهد بود. بنابراین m u = (M + m)V و در نتیجه u = ((M + m)/m)V.

در بازه بسیار کوتاه برخورد، ضربه نیروهای خارجی مانند وزن و کشش نخ در مقایسه با ضربه نیروی برخورد ناچیز فرض می‌شود؛ به همین دلیل تکانه در راستای حرکت پایسته است. اگر قطعه ابتدا ساکن نباشد، باید تکانه اولیه آن را نیز با علامت درست وارد کنی و دیگر صورت ساده بالا کافی نیست.

• پیش از برخورد: pᵢ = m u
• پس از برخورد: p𝒇 = (M + m)V
• رابطه برخورد: m u = (M + m)V

در صعود آونگ، انرژی مکانیکی را پایسته بگیر

پس از پایان برخورد و در مدل بدون اتلاف، انرژی جنبشی مجموعه به انرژی پتانسیل گرانشی تبدیل می‌شود. تراز صفر پتانسیل را پایین‌ترین نقطه بگیر: ½(M + m)V² = (M + m)gh. جرم مشترک از دو طرف حذف می‌شود و V = √(2gh) به دست می‌آید.

اگر بیشینه ارتفاع مستقیم داده نشده و طول نخ L و بیشینه زاویه θ با قائم معلوم باشد، از هندسه آونگ استفاده کن: h = L − L cosθ = L(1 − cosθ). زاویه باید همان زاویه انحراف نخ از راستای قائم باشد؛ برای زاویه داده‌شده با افق ابتدا آن را تبدیل کن.

• رابطه صعود: ½(M + m)V² = (M + m)gh
• سرعت پس از برخورد: V = √(2gh)
• افزایش ارتفاع: h = L(1 − cosθ)

دو مرحله را برای یافتن سرعت گلوله ترکیب کن

از مرحله صعود V = √(2gh) را پیدا کن و آن را در u = ((M + m)/m)V قرار بده. نتیجه u = ((M + m)/m)√(2gh) است. اگر زاویه داده شده باشد، می‌توان h را جای‌گذاری کرد: u = ((M + m)/m)√(2gL(1 − cosθ)).

این رابطه را حفظ‌کردنی نبین؛ ساختن دوباره آن از دو اصل، احتمال اشتباه را کمتر می‌کند. همچنین نسبت (M + m)/m بی‌واحد و معمولاً بزرگ‌تر از یک است، پس سرعت گلوله باید از سرعت مشترک مجموعه بیشتر باشد. این کنترل ساده خطاهای جابه‌جایی نسبت جرم‌ها را آشکار می‌کند.

مثال حل‌شده: یافتن سرعت گلوله از زاویه بیشینه

گلوله‌ای با جرم 20 g در قطعه‌ای چوبی با جرم 980 g فرو می‌رود. قطعه با نخ 0.80 m آویزان است و مجموعه تا زاویه 60° نسبت به قائم بالا می‌رود. با g = 10 m/s² سرعت اولیه گلوله را پیدا کن.

ابتدا جرم‌ها را به کیلوگرم تبدیل می‌کنیم: m = 0.020 kg و M = 0.980 kg، پس M + m = 1.000 kg. افزایش ارتفاع برابر h = L(1 − cosθ) = 0.80(1 − 0.50) = 0.40 m است. از مرحله صعود، V = √(2gh) = √(2×10×0.40) = √8 ≈ 2.83 m/s.

اکنون معادله برخورد را به کار می‌بریم: u = ((M + m)/m)V = (1.000/0.020)×2.83 ≈ 141 m/s. کنترل روند نشان می‌دهد سرعت گلوله حدود 50 برابر سرعت مشترک است؛ این ضریب همان نسبت جرم کل به جرم گلوله است.

چرا انرژی جنبشی در برخورد پایسته نیست؟

فرو رفتن گلوله در قطعه نشانه برخورد کاملاً ناکشسان است. بخشی از انرژی جنبشی هنگام تغییر شکل، گرم‌شدن و ایجاد صدا به انرژی درونی تبدیل می‌شود؛ بنابراین نمی‌توان ½m u² را با ½(M + m)V² برابر گذاشت. پایستگی انرژی کل نقض نشده، اما انرژی مکانیکیِ بخش برخورد ثابت نمانده است.

اگر مقدار انرژی جنبشی تلف‌شده خواسته شود، ابتدا u و V را از مسیر درست پیدا کن و سپس ΔKₗₒₛₜ = ½m u² − ½(M + m)V² را حساب کن. این اختلاف باید نامنفی باشد. در مرحله صعودِ آرمانی، برعکس، همین انرژی جنبشی پس از برخورد به پتانسیل گرانشی تبدیل می‌شود.

مسئله آونگ بالستیک را در شش گام حل کن

یک: جرم گلوله و قطعه را به کیلوگرم تبدیل کن. دو: دو تصویرِ پیش و پس از برخورد را جدا بکش. سه: برای برخورد، m u = (M + m)V را بنویس. چهار: ارتفاع را مستقیم یا از h = L(1 − cosθ) پیدا کن. پنج: برای صعود، V = √(2gh) را به دست آور. شش: V را در معادله تکانه قرار بده و اندازه و یکای u را کنترل کن.

اگر سؤال برعکس باشد و سرعت گلوله را بدهد، ابتدا از تکانه V = mu/(M + m) را بیاب و سپس h = V²/(2g) را حساب کن. برای یافتن زاویه نیز از cosθ = 1 − h/L استفاده کن و فقط پاسخی را بپذیر که با 0 ≤ h ≤ 2L سازگار باشد.

خطاهای رایج را با سه کنترل کوتاه پیدا کن

خطای نخست، پایسته‌گرفتن انرژی جنبشی در برخورد است. خطای دوم، حذف جرم گلوله از جرم مجموعه پس از برخورد است؛ در این لحظه جرم متحرک M + m است. خطای سوم، استفاده از h = L sinθ است؛ افزایش ارتفاع از اختلاف مؤلفه قائم طول نخ به دست می‌آید و برابر L(1 − cosθ) است.

در پایان سه کنترل انجام بده: u باید از V بزرگ‌تر باشد، V² و 2gh باید یکای یکسان داشته باشند و پاسخ زاویه باید در محدوده هندسی آونگ قرار گیرد. برای مرور برخورد و ضربه، راهنمای تکانه را بخوان؛ مقاله انتخاب میان پایستگی انرژی و کار–انرژی نیز کمک می‌کند بازه درست هر اصل را تشخیص بدهی.

منابع علمی

• OpenStax University Physics Volume 1 — Inelastic Collisions in One Dimension
• OpenStax University Physics Volume 1 — Conservation of Energy