پاسخ مستقیم این است: در اثر کامپتون، فوتون با یک الکترون تقریباً آزاد برخورد میکند، بخشی از انرژی و تکانهاش را به الکترون میدهد و با طول موج بلندتری پراکنده میشود. تغییر طول موج فقط به زاویه پراکندگی فوتون و جرم ذره هدف وابسته است: Δλ = λ′ − λ = [h/(mₑc)](1 − cosθ). برای الکترون، h/(mₑc) ≈ 2.43 pm است؛ پس ابتدا Δλ را از زاویه پیدا کن، آن را به طول موج فرودی بیفزا و سپس در صورت نیاز انرژیها را از E = hc/λ حساب کن.
برخورد فوتون و الکترون را درست مدل کن
فوتون فرودی انرژی E = hc/λ و تکانه p = h/λ دارد. در مدل استاندارد کامپتون، الکترون پیش از برخورد ساکن و چنان سستبسته فرض میشود که بتوان آن را آزاد در نظر گرفت. پس از برخورد، فوتون با زاویه θ نسبت به جهت اولیه منحرف میشود و الکترون نیز با تکانهای در جهتی دیگر پس میزند.
پایستگی انرژی و پایستگی تکانه برداری همزمان برقرارند. چون مقداری انرژی به الکترون میرسد، انرژی فوتون پراکنده کمتر و طول موجش بیشتر میشود. رابطه نهاییِ تغییر طول موج حاصل ترکیب همین دو قانون است؛ لازم نیست در هر مسئله استخراج نسبیتی آن را از ابتدا تکرار کنی.
- پیش از برخورد: فوتون فرودی و الکترون تقریباً ساکن
- پس از برخورد: فوتون پراکنده و الکترون پسزده
- زاویه θ: زاویه میان مسیر فوتون فرودی و فوتون پراکنده
تغییر طول موج را از زاویه پراکندگی حساب کن
برای برخورد با الکترون، رابطه کامپتون Δλ = λ′ − λ = λC(1 − cosθ) است که در آن λC = h/(mₑc) طول موج کامپتون الکترون و تقریباً 2.43 pm است. این Δλ تغییر طول موج است، نه خود طول موج خروجی؛ بنابراین در گام بعد باید λ′ = λ + Δλ را بنویسی.
چون cosθ در بازه زاویههای 0° تا 180° از 1 تا −1 تغییر میکند، Δλ همواره بین صفر و 2λC است. در پراکندگی روبهجلو با θ = 0° تغییر طول موج صفر، در θ = 90° برابر λC و در پسپراکندگی با θ = 180° بیشینه و برابر 2λC ≈ 4.86 pm است.
- θ = 0°: Δλ = 0
- θ = 90°: Δλ = 2.43 pm
- θ = 180°: Δλmax = 4.86 pm
انرژی فوتون و الکترون پسزده را پیدا کن
پس از یافتن λ′، انرژی فوتونهای فرودی و پراکنده بهترتیب E = hc/λ و E′ = hc/λ′ هستند. چون λ′ ≥ λ، باید E′ ≤ E باشد. اگر الکترون در آغاز ساکن باشد، انرژی جنبشی آن از پایستگی انرژی برابر K = E − E′ = hc(1/λ − 1/λ′) میشود.
جرم سکون الکترون را از دو سوی معادله انرژی حذفشده در نظر گرفتهایم؛ بنابراین K اختلاف انرژی دو فوتون است و نباید mₑc² را دوباره به آن اضافه کرد. اگر انرژی فوتون بر حسب eV خواسته شده، میتوان با ثابت مناسب hc کار کرد؛ مهم این است که واحد λ و ثابت انتخابی با هم سازگار باشند.
مسئله کامپتون را در پنج گام حل کن
یک: λ و زاویه θ فوتون پراکنده را از شکل یا متن جدا کن. دو: همه طولها را به یک واحد، ترجیحاً pm یا m، ببر. سه: Δλ = 2.43 pm(1 − cosθ) را حساب کن. چهار: از λ′ = λ + Δλ طول موج پراکنده را بساز. پنج: اگر انرژی یا انرژی جنبشی الکترون خواسته شده، E = hc/λ، E′ = hc/λ′ و K = E − E′ را بهترتیب به کار ببر.
اگر زاویه حرکت الکترون داده شده باشد، آن را بیدرنگ جای θ نگذار؛ θ در فرمول تغییر طول موج، زاویه فوتون پراکنده با جهت فوتون فرودی است. همچنین پیش از محاسبه انرژی، ابتدا طول موج خروجی را کامل به دست آور تا Δλ با λ′ اشتباه نشود.
مثال حلشده: پرتو ایکس با پراکندگی ۶۰ درجه
فوتونی با طول موج فرودی λ = 50.0 pm به الکترونی ساکن برخورد میکند و با زاویه θ = 60° پراکنده میشود. طول موج فوتون پراکنده و انرژی جنبشی الکترون را بیاب. برای بخش انرژی از hc ≈ 1.24×10⁶ eV·pm استفاده کن.
ابتدا Δλ = 2.43(1 − cos60°) = 2.43(1 − 0.5) = 1.215 pm. پس λ′ = 50.0 + 1.215 = 51.215 pm که با رعایت رقمهای داده میتوان آن را 51.2 pm نوشت.
انرژی فرودی E = (1.24×10⁶)/50.0 ≈ 24800 eV و انرژی پراکنده E′ = (1.24×10⁶)/51.215 ≈ 24212 eV است. بنابراین K = E − E′ ≈ 588 eV. مثبتبودن K و بزرگترشدن طول موج دو کنترل مستقل پاسخاند؛ تفاوت جزئی عدد نهایی با گردکردن ثابتها طبیعی است.
اثر زاویه و طول موج فرودی را مقایسه کن
با زیادشدن θ از صفر تا 180 درجه، عبارت 1 − cosθ و در نتیجه تغییر طول موج بیشتر میشود. پس فوتون در زاویههای بزرگتر انرژی بیشتری از دست میدهد و الکترون انرژی جنبشی بیشتری میگیرد. بیشترین انتقال انرژی در پسپراکندگی رخ میدهد.
برای یک زاویه و ذره هدف ثابت، مقدار مطلق Δλ به طول موج فرودی وابسته نیست؛ اما اهمیت نسبی آن به نسبت Δλ/λ بستگی دارد. همان تغییر چند پیکومتری برای پرتو ایکس با طول موج کوتاه محسوستر از موجی با طول موج بسیار بلند است. این نکته را با ثابتبودن Δλ و ثابتنبودن درصد تغییر اشتباه نگیر.
پنج خطای رایج را پیش از انتخاب گزینه حذف کن
خطای اول، نوشتن λ′ = λC(1 − cosθ) است؛ سمت راست فقط Δλ را میدهد. خطای دوم، استفاده از زاویه الکترون بهجای زاویه فوتون است. خطای سوم، مخلوطکردن pm و nm است؛ هر 1 nm برابر 1000 pm است. خطای چهارم، انتظار کوتاهترشدن طول موج فوتون پس از واگذاری انرژی است. خطای پنجم، فرض وابستگی جابهجایی کامپتون به شدت پرتو یا طول موج فرودی است.
برای مرور رابطه تکانه فوتون p = h/λ به مقاله طول موج دوبروی، برای مقایسه تبدیل انرژی فوتون به انرژی الکترون به راهنمای اثر فوتوالکتریک و برای نمونه دیگری از انتقال تکانه نور به مقاله فشار تابشی مراجعه کن. تفاوت اصلی اینجاست که در اثر کامپتون، هم فوتون پراکنده باقی میماند و هم الکترون پس میزند.
در پراکندگی کامپتون، فوتون بخشی از انرژی و تکانه خود را به الکترون میدهد؛ بنابراین λ′ از λ کوچکتر نمیشود. مسیر مطمئن حل این است: زاویه فوتون را تشخیص بده، Δλ = 2.43 pm(1 − cosθ) را حساب کن، λ′ = λ + Δλ را بساز و فقط پس از آن سراغ انرژیها برو. انرژی جنبشی الکترون از اختلاف hc/λ و hc/λ′ به دست میآید. در پایان با سه حد θ = 0°، 90° و 180° و با یکسانبودن واحد طول موجها پاسخ را کنترل کن.