پاسخ مستقیم این است: در ظرفهای مرتبطِ ساکن، دو نقطه از یک مایع پیوسته که در یک تراز افقیاند فشار برابر دارند. یک تراز مناسب، معمولاً سطح جدایی دو مایع، انتخاب کن و فشار دو طرف را تا سطحهای آزاد بنویس. اگر هر دو سطح آزاد زیر فشار هوا باشند، فشار هوا حذف میشود و برای دو ستون با چگالیهای ρ₁ و ρ₂ داریم ρ₁gh₁ = ρ₂gh₂. مایع کمچگالتر ستون بلندتری میسازد؛ اما اختلاف سطحهای آزاد برابر h₁ یا h₂ نیست و باید از هندسه شکل جداگانه محاسبه شود.
شرط برابری فشار در یک تراز را درست به کار ببر
در یک شاره ساکن، فشار با پایینرفتن به اندازه ρgΔh افزایش مییابد. بنابراین اگر دو نقطه در یک مایعِ پیوسته، همتراز و در تعادل باشند، فشارشان برابر است. واژههای «یک مایع» و «پیوسته» مهماند: همتراز بودن دو نقطه در دو مایع متفاوت، بهتنهایی برابری فشار را تضمین نمیکند.
در لوله U شامل دو مایع نامخلوط، سطح جدایی دو مایع انتخاب خوبی برای تراز مقایسه است. نقطهای در شاخه دیگر و در همان ارتفاع انتخاب کن؛ اگر هر دو نقطه داخل مایع سنگینتر و به هم متصل باشند، فشار آنها برابر خواهد بود. سپس فشار هر نقطه را با حرکت از سطح آزاد همان شاخه بنویس.
- رابطه تغییر فشار: Δp = ρgΔh
- نقاط مقایسه باید در یک شاره پیوسته و ساکن باشند.
- فشار در عمق بیشترِ یک مایع، بیشتر است.
برای دو سطح باز، فشار هوا را از دو طرف حذف کن
فرض کن دو سطح آزاد با هوای یکسان تماس دارند. فشار در سطح هر دو مایع p_atm است. اگر از سطح مایع اول به اندازه h₁ و از سطح مایع دوم به اندازه h₂ تا تراز مقایسه پایین برویم، فشارها بهترتیب p_atm + ρ₁gh₁ و p_atm + ρ₂gh₂ میشوند.
برابری فشار در تراز مشترک میدهد ρ₁h₁ = ρ₂h₂؛ p_atm و g از دو طرف حذف شدهاند. بنابراین اگر ρ₁ بزرگتر باشد، h₁ کوچکتر است. این نتیجه فقط نسبت ارتفاع ستونهای بالای تراز مقایسه را میدهد و هنوز برای یافتن فاصله عمودی دو سطح آزاد باید شکل را بخوانی.
- دو سطح آزاد زیر فشار یکسان: ρ₁h₁ = ρ₂h₂
- چگالی بیشتر ↔ ارتفاع ستون کمتر
- g در نسبت ارتفاعها حذف میشود.
مسئله ظروف مرتبط را در پنج گام حل کن
یک: مرز مایعها و سطحهای آزاد را روی شکل مشخص کن. دو: یک خط افقی از سطح جدایی بکش و دو نقطه همفشار را در مایع پیوسته انتخاب کن. سه: از سطح آزاد هر شاخه تا آن خط حرکت کن؛ هر بار پایین میروی +ρgh و هر بار بالا میروی −ρgh بنویس. چهار: دو عبارت فشار را برابر و ارتفاع مجهول را حل کن. پنج: اگر خواسته اختلاف سطحهاست، جای دو سطح آزاد را نسبت به خط مرجع مقایسه کن.
این روش از حفظکردن شکلهای خاص مطمئنتر است و برای چند لایه نیز ادامه پیدا میکند. کافی است در هر بخش چگالی همان لایه را وارد کنی. نوشتن واحدها کنار دادهها، بهویژه تبدیل سانتیمتر به متر هنگام محاسبه فشار، از خطای عددی جلوگیری میکند.
مثال حلشده: آب و روغن در لوله U
در شاخه راست یک لوله U، ستونی از روغن با چگالی 800 kg/m³ و ارتفاع 20 cm روی آب قرار دارد. شاخه چپ فقط آب با چگالی 1000 kg/m³ دارد و هر دو سطح آزاد در تماس با هوا هستند. سطح آزاد روغن چند سانتیمتر بالاتر از سطح آزاد آب است؟
تراز مرجع را سطح جدایی روغن و آب در شاخه راست میگیریم. در شاخه چپ، این تراز به اندازه h پایینتر از سطح آزاد آب است. برابری فشار میدهد p_atm + ρ_water gh = p_atm + ρ_oil g(20 cm). پس h = (800/1000)×20 = 16 cm.
سطح روغن 20 سانتیمتر و سطح آب 16 سانتیمتر بالاتر از تراز مرجعاند؛ بنابراین سطح آزاد روغن 20 − 16 = 4 cm بالاتر است. پاسخ 16 cm ارتفاع ستون آبِ معادل است، نه اختلاف نهایی سطحها.
فشار خارجی یا پیستون را به معادله اضافه کن
اگر یکی از سطحها زیر پیستون یا گاز فشرده باشد، فشار آغاز دو مسیر یکسان نیست و نباید آن را حذف کرد. برای نمونه، اگر فشار سطح چپ p_L و فشار سطح راست p_R باشد، در تراز مشترک رابطهای از نوع p_L + ρ₁gh₁ = p_R + ρ₂gh₂ نوشته میشود.
فشار بیشتر روی یک شاخه، مایع را در همان شاخه پایین میبرد و در شاخه دیگر بالا میبرد تا اختلاف فشار هیدروستاتیکی آن را جبران کند. پیشبینی این جهت پیش از محاسبه، علامت جواب را کنترل میکند. اگر فشار گیج داده شده باشد، همان اختلاف نسبت به فشار هواست و معمولاً افزودن دوباره p_atm لازم نیست.
چند لایه مایع را مسیربهمسیر جمع کن
برای بیش از دو لایه، یک رابطه کوتاهِ ثابت وجود ندارد؛ فشار را در طول یک مسیر دنبال کن. از نقطهای با فشار معلوم شروع کن و برای هر پایینرفتن در لایه i جمله +ρᵢghᵢ و برای هر بالارفتن جمله −ρᵢghᵢ اضافه کن تا به نقطه مقایسه برسی.
در مرز دو مایع ساکن، فشار درست در دو سوی مرز پیوسته است؛ اما شیب تغییر فشار با عمق عوض میشود، چون چگالی تغییر کرده است. بنابراین نمیتوان مجموع ارتفاع چند مایع را در یک چگالی میانگین دلخواه ضرب کرد، مگر آن میانگین از برابری دقیق مجموع ρᵢhᵢ به دست آمده باشد.
چهار خطای رایج را پیش از پاسخ کنترل کن
خطای اول، برابرگرفتن فشار هر دو نقطه همتراز بدون بررسی پیوستگی مایع است. خطای دوم، نوشتن ρ₁/h₁ = ρ₂/h₂ به جای رابطه ضربی ρ₁h₁ = ρ₂h₂ است. خطای سوم، گزارش ارتفاع ستون معادل بهعنوان اختلاف سطحهای آزاد است. خطای چهارم، حذف فشار هوا وقتی دو سطح زیر فشارهای خارجی متفاوتاند.
برای کنترل پاسخ، مایع کمچگالتر باید ستون بلندتری بالای تراز مشترک داشته باشد. همچنین در حالت چگالیهای برابر و فشارهای سطحی برابر، سطحهای آزاد باید همارتفاع شوند. برای تمرین حالتهای فشار متفاوت، راهنمای لوله U و مانومتر را بخوان؛ مقاله فشار هیدروستاتیکی رابطه p = p₀ + ρgh و مقاله چگالی، محاسبه چگالی مواد را مرور میکنند.
در مسائل ظروف مرتبط، تراز مقایسه را داخل یک شاره پیوسته و ساکن انتخاب کن، فشار را از هر سطح آزاد تا آن تراز پایین بیاور و دو عبارت را برابر قرار بده. وقتی فشار دو سطح آزاد یکسان است، جمله فشار هوا و عامل g حذف میشوند و نسبت ارتفاع ستونها وارون نسبت چگالیهاست. پس از یافتن ارتفاعها، اختلاف سطح آزاد را از شکل حساب کن؛ آن را با ارتفاع یکی از ستونها یکی نگیر. اگر پیستون، فشار خارجی یا چند لایه وجود دارد، همه جملههای فشار را با ρgh و علامت درست در مسیر هر طرف نگه دار.