پاسخ مستقیم این است: وقتی نور از محیطی با ضریب شکست n₁ به محیطی با ضریب شکست n₂ میتابد، در زاویه تابش بروستر θ_B نور بازتابی کاملاً قطبیده خطی میشود و tanθ_B = n₂/n₁ است. در همین وضعیت، پرتو بازتابی و پرتو شکسته بر هم عمودند؛ یعنی θ_B + r = 90°. بردار میدان الکتریکی نور بازتابی عمود بر صفحه تابش نوسان میکند. برای حل مسئله، جهت عبور نور را مشخص کن، نسبت ضریب شکست مقصد به مبدأ را در تانژانت بگذار و زاویه را نسبت به خط عمود بر سطح بخوان.
شرط بروستر را از شکل پرتوها تشخیص بده
نور ناقطبیده را میتوان مجموعهای از نوسانهای میدان الکتریکی در راستاهای گوناگونِ عمود بر جهت انتشار دید. در بازتاب از سطح یک ماده شفاف، سهم دو راستای نوسان یکسان بازتاب نمیشود. در یک زاویه ویژه، مؤلفه موازی صفحه تابش در نور بازتابی باقی نمیماند و پرتو بازتابی فقط مؤلفه عمود بر صفحه تابش را دارد؛ این زاویه تابش، زاویه بروستر یا زاویه قطبش است.
صفحه تابش صفحهای است که پرتو تابشی و خط عمود بر سطح را دربر میگیرد. بنابراین عبارت «عمود بر صفحه تابش» را با «عمود بر سطح جداکننده» یکی نگیر. اگر شکل روی کاغذ رسم شده و پرتوها در صفحه کاغذ باشند، میدان الکتریکی نور بازتابی در حالت بروستر عمود بر کاغذ نوسان میکند.
- زاویه تابش از خط عمود سنجیده میشود.
- در زاویه بروستر، نور بازتابی قطبیده خطی است.
- جهت قطبش بازتابی عمود بر صفحه تابش است.
نسبت ضریب شکست را با جهت حرکت نور هماهنگ کن
اگر نور از محیط ۱ به محیط ۲ برود، قانون بروستر به صورت tanθ_B = n₂/n₁ نوشته میشود. n₁ ضریب شکست محیطی است که پرتو تابشی در آن حرکت میکند و n₂ ضریب شکست محیط مقصد است. جابهجاکردن جهت تابش، نسبت را وارونه میکند و زاویه بروستر دیگری میسازد.
برای ورود نور از هوا با n₁ ≈ 1 به شیشهای با n₂ = 1.5، تانژانت زاویه از یک بزرگتر و در نتیجه θ_B از 45 درجه بزرگتر است. همین برآورد پیش از محاسبه کمک میکند وارونهنویسی ضریبها را زود تشخیص بدهی. اگر نور از شیشه به هوا برود، زاویه متناظر از 45 درجه کوچکتر خواهد شد.
- از محیط ۱ به ۲: tanθ_B = n₂/n₁
- تغییر جهت تابش: نسبت ضریبها وارونه میشود.
- زاویه به دستآمده باید بین 0 و 90 درجه باشد.
عمودبودن پرتو بازتابی و شکسته را برای کنترل پاسخ به کار ببر
در زاویه بروستر، زاویه بازتاب برابر θ_B است و زاویه شکست را r مینامیم. پرتو بازتابی و شکسته بر هم عمودند، پس θ_B + r = 90°. این رابطه هم یک ویژگی هندسی مهم و هم راهی مستقل برای کنترل محاسبه است.
از قانون اسنل n₁sinθ_B = n₂sinr و شرط r = 90° − θ_B داریم sinr = cosθ_B. بنابراین n₁sinθ_B = n₂cosθ_B و با تقسیم بر n₁cosθ_B، همان tanθ_B = n₂/n₁ ساخته میشود. پس قانون بروستر یک رابطه جدا از شکست نور نیست و با قانون اسنل سازگار است.
مثال حلشده: تابش نور از هوا به شیشه
نور ناقطبیده از هوا با ضریب شکست 1.00 به شیشهای با ضریب شکست 1.50 میتابد. زاویه تابش لازم برای قطبیدهشدن کامل نور بازتابی و زاویه شکست را پیدا کن.
محیط مبدأ هوا و محیط مقصد شیشه است؛ پس tanθ_B = 1.50/1.00 = 1.50. در نتیجه θ_B = arctan(1.50) ≈ 56.3°. این زاویه از خط عمود بر سطح اندازه گرفته میشود، نه از خود سطح.
در حالت بروستر دو پرتو خروجی بر هم عمودند، بنابراین r = 90° − 56.3° = 33.7°. کنترل با قانون اسنل نیز سازگار است: 1.00×sin56.3° تقریباً با 1.50×sin33.7° برابر میشود. نور بازتابی کاملاً قطبیده است، اما درباره کاملبودن قطبش نور شکسته چنین نتیجهای نمیگیریم.
با عوضشدن جهت تابش، زاویه بروستر را دوباره حساب کن
برای همان مرز اگر نور از شیشه به هوا بتابد، اکنون n₁ = 1.50 و n₂ = 1.00 است. پس tanθ_B = 1/1.5 و زاویه بروستر حدود 33.7° میشود. زاویه شکست در این حالت 56.3° است؛ دو زاویه نسبت به حالت رفت جابهجا شدهاند.
زاویه بروستر را با زاویه بحرانی اشتباه نگیر. در زاویه بروستر هنوز پرتو شکسته وجود دارد و ویژگی اصلی به قطبش بازتاب مربوط است. زاویه بحرانی فقط برای حرکت از محیط پرضریب به کمضریب تعریف میشود و در آن، پرتو شکسته روی مرز قرار میگیرد؛ برای زاویههای بزرگتر بازتاب کلی رخ میدهد.
مسئله زاویه بروستر را در پنج گام حل کن
یک: پیکان پرتو را بخوان و محیط مبدأ و مقصد را مشخص کن. دو: خط عمود بر سطح را رسم و زاویه تابش را نسبت به آن تعریف کن. سه: نسبت n₂/n₁ را در tanθ_B بگذار. چهار: اگر زاویه شکست خواسته شده، از r = 90° − θ_B استفاده کن. پنج: جهت قطبش نور بازتابی را عمود بر صفحه تابش نشان بده و پاسخ را با قانون اسنل کنترل کن.
اگر بهجای دو ضریب شکست، سرعت نور در محیطها داده شده باشد، از n = c/v استفاده کن. در این حالت n₂/n₁ = v₁/v₂ است؛ یعنی نسبت سرعتها وارون نسبت ضریبهاست. بهتر است ابتدا n₂/n₁ را بسازی و سپس وارد رابطه بروستر کنی تا جای محیطها اشتباه نشود.
چهار خطای رایج زاویه و قطبش را کنار بگذار
خطای اول، سنجیدن θ_B از سطح بهجای خط عمود است. خطای دوم، نوشتن n₁/n₂ بدون توجه به جهت تابش است. خطای سوم، قطبیده کامل دانستن نور عبوری؛ در شرط بروستر این نور معمولاً فقط تا حدی قطبیده است. خطای چهارم، یکی دانستن راستای قطبش با مسیر انتشار است؛ میدان الکتریکی نور همواره بر راستای انتشار عمود است.
برای ادامه، راهنمای قانون مالوس محاسبه شدت پس از تحلیلگر را توضیح میدهد، مقاله قانون اسنل رابطه زاویههای تابش و شکست را تمرین میکند و راهنمای زاویه بحرانی تفاوت بازتاب قطبنده با بازتاب کلی را روشن میسازد. این سه پیوند، پیشنیاز و مرز کاربرد قانون بروستر را کامل میکنند.
در مسئله زاویه بروستر، ابتدا محیط مبدأ و مقصد را تعیین کن و بنویس tanθ_B = n₂/n₁. زاویه بروستر مانند همه زاویههای تابش نسبت به خط عمود سنجیده میشود. در این زاویه، پرتو بازتابی و شکسته بر هم عمودند و نور بازتابی در راستای عمود بر صفحه تابش قطبیده است؛ نور عبوری را کاملاً قطبیده فرض نکن. جای ضریبها، رابطه مکمل زاویهها و سازگاری پاسخ با قانون اسنل سه کنترل کوتاه پایان حلاند.