پاسخ مستقیم این است: ضریب بازگشت e نسبتِ تندی نسبی جدایی دو جسم پس از برخورد به تندی نسبی نزدیکشدن آنها پیش از برخورد است. در برخورد مستقیم یکبعدی، اگر جهت مثبت را یکبار تعیین کنیم، رابطه به صورت e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂) نوشته میشود؛ uها سرعتهای پیش از برخورد و vها سرعتهای پس از آناند، به شرط آنکه جسم ۱ پیش از ضربه به جسم ۲ نزدیک شود. برای یافتن دو سرعت مجهول، این رابطه را همراه با پایستگی تکانه حل کن. در جهش قائم توپ از زمین ساکن نیز e = √(h₂/h₁) است؛ h₁ ارتفاع رهاشدن و h₂ ارتفاع نخستین جهش است.
ضریب بازگشت را با سرعت نسبی تعریف کن
دو جسم درست پیش از برخورد به هم نزدیک و درست پس از آن از هم دور میشوند. ضریب بازگشت این دو وضعیت را مقایسه میکند: e = تندی نسبی جدایی / تندی نسبی نزدیکشدن. چون صورت و مخرج هر دو سرعتاند، e بدون واحد است. در مدل معمول مسائل دبیرستانی، 0 ≤ e ≤ 1 در نظر گرفته میشود.
اگر محور x به راست مثبت باشد و جسم ۱ از چپ به جسم ۲ برسد، تندی نسبی نزدیکشدن u₁ − u₂ و تندی نسبی جدایی v₂ − v₁ است؛ پس v₂ − v₁ = e(u₁ − u₂). این شکل علامتدار فقط وقتی بیخطا است که ابتدا ترتیب جسمها و جهت محور را مشخص کرده باشی. تعریف کلامیِ «جدایی بر نزدیکشدن» کنترل مطمئنتری از حفظ فرمول است.
- تعریف: e = تندی نسبی جدایی / تندی نسبی نزدیکشدن
- برای جسم ۱ در چپ و جسم ۲ در راست: v₂ − v₁ = e(u₁ − u₂)
- ضریب بازگشت کمیتی بدون واحد است.
e را با نوع برخورد اشتباه نگیر
در برخورد کشسان کامل، تندی نسبی جدایی با تندی نسبی نزدیکشدن برابر و e = 1 است. در برخورد کاملاً ناکشسان که دو جسم بلافاصله پس از ضربه با یک سرعت حرکت میکنند، سرعت نسبی جدایی صفر و e = 0 است. مقدار بین صفر و یک به برخورد ناکشسانی مربوط است که اجسام از هم جدا میشوند اما بخشی از انرژی جنبشی به تغییر شکل، گرما یا صدا تبدیل شده است.
پایستگی تکانه و ضریب بازگشت دو نقش متفاوت دارند. اگر برآیند ضربه خارجی در مدت کوتاه برخورد ناچیز باشد، تکانه کل دستگاه پایسته است. ضریب بازگشت رابطه دوم را برای میزان جدایی میدهد. فقط برای e = 1 میتوان پایستگی انرژی جنبشی را نیز بهعنوان ویژگی برخورد کشسان به کار برد.
برخورد یکبعدی را در پنج گام حل کن
یک: یک محور انتخاب و سرعتهای خلاف محور را منفی کن. دو: جسم چپ و راست را درست پیش از ضربه مشخص کن. سه: پایستگی تکانه را بنویس: m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂. چهار: معادله بازگشت v₂ − v₁ = e(u₁ − u₂) را اضافه کن. پنج: دو معادله را همزمان حل و با جهت حرکت و مقدار e کنترل کن.
اگر یکی از جوابهای v منفی شد، الزاماً خطا نکردهای؛ علامت منفی یعنی آن جسم پس از برخورد خلاف محور انتخابی حرکت میکند. خطای رایج این است که همه نمادها را تندیِ مثبت بگیریم و سپس جهت واقعی اجسام را از معادله حذف کنیم.
مثال حلشده: برخورد دو واگن با e = 0.5
واگن ۱ با جرم 2 kg و سرعت 6 m/s به راست، به واگن ۲ با جرم 4 kg که ساکن است برخورد میکند. ضریب بازگشت 0.5 است. سرعت هر واگن بلافاصله پس از برخورد چقدر است؟
راست را مثبت میگیریم. پایستگی تکانه میدهد 2×6 + 4×0 = 2v₁ + 4v₂، پس 6 = v₁ + 2v₂. معادله بازگشت نیز v₂ − v₁ = 0.5(6 − 0) = 3 است. از رابطه دوم v₁ = v₂ − 3؛ با جایگذاری در رابطه اول، 6 = 3v₂ − 3 و در نتیجه v₂ = 3 m/s و v₁ = 0 به دست میآید.
کنترل: تکانه نهایی 2×0 + 4×3 = 12 kg·m/s و برابر تکانه آغازین است. تندی نسبی نزدیکشدن 6 و تندی نسبی جدایی 3 m/s است؛ نسبت آنها 0.5 میشود. بنابراین هر دو شرط مسئله همزمان برقرارند.
ارتفاع جهش توپ را به ضریب بازگشت وصل کن
توپی را از سکون در ارتفاع h₁ بالای زمین رها کن. با صرفنظر از مقاومت هوا، تندی توپ درست پیش از برخورد √(2gh₁) است. اگر پس از برخورد تا ارتفاع h₂ بالا برود، تندی آن درست پس از برخورد √(2gh₂) بوده است. زمین را ساکن و بسیار پرجرم میگیریم؛ بنابراین e = √(2gh₂)/√(2gh₁) = √(h₂/h₁).
از همین رابطه h₂ = e²h₁ به دست میآید. پس اگر e نصف شود، ارتفاع جهش به یکچهارم ارتفاع رهاشدن میرسد، نه نصف آن. این نتیجه مربوط به دو بازه سقوط و صعود میان برخوردهاست و نباید پایستگی انرژی مکانیکی را از پیش از ضربه تا پس از ضربه فرض کرد؛ خود برخورد اتلاف دارد.
- توپ و زمین ساکن: e = √(h₂/h₁)
- ارتفاع جهش: h₂ = e²h₁
- رابطه ارتفاع فقط با صرفنظر از مقاومت هوا و برای همان سطح ساکن به کار میرود.
مثال حلشده: یافتن ارتفاع جهش بعدی
توپی از ارتفاع 1.80 m روی کف ساکن رها میشود و ضریب بازگشت میان توپ و کف 2/3 است. توپ پس از نخستین برخورد تا چه ارتفاعی بالا میرود؟
از h₂ = e²h₁ استفاده میکنیم: h₂ = (2/3)²×1.80 = (4/9)×1.80 = 0.80 m. نیازی به محاسبه جداگانه سرعت پیش و پس از ضربه نیست، چون g در نسبت حذف شده است.
اگر e برای برخوردهای بعدی ثابت فرض شود، هر ارتفاع اوج برابر e² برابر ارتفاع اوج قبلی است. در این مثال ارتفاع جهش دوم پس از برخورد بعدی 0.80×4/9، یعنی حدود 0.36 m خواهد بود. ثابتبودن e باید داده یا فرض مدل باشد و برای همه مواد و سرعتها یک قانون عمومی نیست.
چهار خطای رایج را پیش از پاسخ کنترل کن
خطای اول، نوشتن نسبت سرعت یک جسم به خودش به جای سرعت نسبی دو جسم است. خطای دوم، حذف علامت سرعتها و گمکردن جهت بازگشت است. خطای سوم، استفاده همزمان از e < 1 و پایستگی انرژی جنبشی است. خطای چهارم، برابرگرفتن نسبت ارتفاعها با e به جای e².
برای کنترل نهایی، صورت و مخرج تعریف e باید یکای یکسان داشته باشند؛ معادله تکانه باید جداگانه برقرار باشد؛ و پس از برخورد، دو جسم باید در حال جدایی یا با سرعت نسبی صفر باشند. راهنمای برخورد کشسان یکبعدی حالت e = 1 را کاملتر حل میکند، مقاله تکانه و ضربه مبنای پایستگی را مرور میکند و راهنمای سقوط آزاد رابطه سرعت و ارتفاع را توضیح میدهد.
ضریب بازگشت رفتار نسبی دو جسم را در امتداد برخورد توصیف میکند: e = تندی نسبی جدایی ÷ تندی نسبی نزدیکشدن. در برخورد یکبعدی، محور و علامت سرعتها را ثابت نگه دار، سپس معادله بازگشت را کنار پایستگی تکانه حل کن. برای توپ و زمین ساکن، از e = √(h₂/h₁) استفاده کن و نسبت ارتفاع را با خود e یکی نگیر. e = 1 برخورد کشسان و e = 0 نبودِ جدایی نسبی بلافاصله پس از ضربه را نشان میدهد؛ در بازه میانی، پایستگی انرژی جنبشی را بهعنوان معادله دوم به کار نبر.