پاسخ مستقیم این است: ضربه نیرو در یک بازه زمانی برابر مساحت جبری زیر نمودار F–t و همان تغییر تکانه جسم است؛ یعنی J = Δp = p_f − p_i. بخش بالای محور زمان ضربه مثبت و بخش پایین آن ضربه منفی میسازد. پس شکل را به مستطیل، مثلث یا ذوزنقه تقسیم کن، مساحتها را با علامت جمع بزن و از mv_f = mv_i + J سرعت نهایی را به دست آور. اگر جرم تغییر نکند، جهت سرعت نهایی را علامت تکانه نهایی تعیین میکند.
چرا مساحت زیر نمودار نیرو–زمان برابر ضربه است؟
برای نیروی ثابت، ضربه از J = FΔt به دست میآید؛ روی نمودار نیرو–زمان این حاصلضرب همان مساحت مستطیل زیر نمودار است. وقتی نیرو تغییر میکند، بازه را میتوان به قطعههای زمانی کوچک تقسیم کرد و مساحت همه قطعهها را جمع زد. نتیجه کلی J = ∫F dt است؛ در سؤالهای دبیرستانی معمولاً همین انتگرال با مساحت شکلهای ساده محاسبه میشود.
ضربه کمیتی برداری است. در نمودار یکبعدی، جهت آن با علامت مشخص میشود: مساحت بالای محور t مثبت و مساحت پایین محور t منفی است. مساحت محصور هندسی همیشه مثبت است، اما برای ضربه خالص باید مساحتهای جبری را جمع کنی. یکای مساحت N·s است و با kg·m/s، یکای تکانه، برابری دارد.
- بالای محور زمان: ضربه مثبت
- پایین محور زمان: ضربه منفی
- ضربه خالص: جمع جبری مساحتها
- یکا: N·s یا kg·m/s
نمودار نیرو–زمان را در پنج گام حل کن
یک: جهت مثبت را از صورت سؤال یا محور نیرو بخوان. دو: بازه موردنظر را مشخص کن؛ مساحت بیرون آن بازه وارد محاسبه نمیشود. سه: ناحیه زیر نمودار را به مستطیل، مثلث و ذوزنقه تقسیم کن. چهار: مساحت هر بخش را همراه علامت بنویس و J خالص را بساز. پنج: از p_f = p_i + J و در صورت ثابتبودن جرم از mv_f = mv_i + J استفاده کن.
اگر نمودار چند نیرو را جداگانه نشان میدهد، باید ضربه برآیند را پیدا کنی؛ میتوانی در هر لحظه نیروها را با علامت جمع کنی یا ضربه هر نیرو را جدا حساب و سپس جمع بزنی. اما اگر نمودار از ابتدا برچسب «نیروی برآیند» دارد، نیروی دیگری مانند وزن یا اصطکاک را دوباره به آن اضافه نکن.
- بازه زمانی خواستهشده را جدا کن.
- هر مساحت را با علامت محور نیرو حساب کن.
- ضربه را به تکانه اولیه اضافه کن.
- علامت جواب نهایی را به جهت حرکت ترجمه کن.
مثال حلشده: نیروی مثبت و منفی روی یک جسم
جسمی 2 kg با سرعت اولیه +3 m/s حرکت میکند. از t = 0 تا 2 s، نیروی برآیند از صفر بهطور خطی به +6 N میرسد؛ از 2 تا 4 s نیرو ثابت و برابر −2 N است. سرعت جسم در t = 4 s را بیاب.
مساحت بخش نخست یک مثلث بالای محور است: J₁ = ½×2×6 = +6 N·s. بخش دوم مستطیلی زیر محور است: J₂ = 2×(−2) = −4 N·s. بنابراین ضربه خالص J = +2 N·s میشود. تکانه اولیه p_i = mv_i = 2×3 = +6 kg·m/s است؛ پس p_f = 6 + 2 = +8 kg·m/s و v_f = p_f/m = +4 m/s.
علامت مثبت نشان میدهد جسم همچنان در جهت مثبت حرکت میکند. توجه کن که جمع قدرمطلق دو مساحت، 10 N·s، پاسخ نیست؛ آن مقدار مجموع اندازه ضربههای دو بخش است و اثر خلافجهت بخش دوم را حذف میکند.
از کجا بفهمیم جسم میایستد یا تغییر جهت میدهد؟
تغییر جهت را از علامت نیروی لحظهای حدس نزن؛ تکانه نهایی را بسنج. اگر جسم با p_i مثبت شروع کند، ضربه منفی ابتدا تکانه را کم میکند. وقتی ضربه تجمعی از آغاز بازه دقیقاً به −p_i برسد، تکانه و سرعت لحظهای صفر میشوند. اگر پس از آن ضربه منفی بیشتری وارد شود، تکانه نهایی منفی و حرکت معکوس میشود.
برای یافتن لحظه توقف، لازم نیست همیشه کل مساحت نمودار را حساب کنی. از ابتدای اثر نیرو تا زمان مجهول، مساحت جبری را برابر −p_i قرار بده. اگر این برابری در هیچ نقطه از بازه رخ ندهد، جسم در آن بازه متوقف نمیشود؛ حتی اگر نیرو در تمام مدت خلاف حرکت باشد.
نیروی متوسط را بدون میانگینگیری از ارتفاعها پیدا کن
نیروی متوسط در بازه Δt نیروی ثابتی است که در همان مدت، ضربهای برابر نیروی واقعی ایجاد کند؛ بنابراین F_avg = J/Δt. روی نمودار، میتوان مستطیلی با عرض Δt و ارتفاع F_avg تصور کرد که مساحت جبری آن با مساحت خالص نمودار برابر است.
میانگین ساده ابتدا و انتهای نیرو فقط برای تغییر خطی نیرو معتبر است. در یک نمودار چندبخشی یا خمیده، ابتدا مساحت کل را حساب کن و سپس بر مدت بازه تقسیم کن. ممکن است نیرو در همه لحظهها ناصفر باشد اما ضربه خالص و نیروی متوسط صفر شوند، چون مساحتهای مثبت و منفی یکدیگر را خنثی کردهاند.
نمودار نیرو–زمان را با نیرو–مکان و جریان–زمان اشتباه نگیر
مساحت زیر نمودار F–t ضربه و تغییر تکانه است، اما مساحت زیر نمودار F–x کار و تغییر انرژی جنبشی را میدهد. فقط دیدن حرف F کافی نیست؛ کمیت محور افقی تعیین میکند مساحت چه معنایی دارد. شیب نمودار F–t نیز نرخ تغییر نیرو است و مستقیماً شتاب یا ضربه را نشان نمیدهد.
الگوی مساحت در نمودار جریان–زمان مشابه است، ولی حاصل آن بار الکتریکی است: q = ∫I dt. برای مرور پیوند ضربه و برخورد، راهنمای تکانه و ضربه را بخوان؛ برای مقایسه دقیق با کار، مقاله نمودار نیرو–مکان و برای تمرین یک نمودار زمانی مشابه، مقاله بار از نمودار جریان–زمان مرتبطاند.
چهار دام رایج تستی را کنترل کن
دام اول، استفاده از ارتفاع بیشینه نمودار بهجای مساحت است. دام دوم، مثبتگرفتن ناحیه زیر محور زمان است. دام سوم، برابرگرفتن ضربه با تکانه نهایی؛ رابطه درست J = p_f − p_i است. دام چهارم، تقسیم ضربه بر جرم و نامیدن آن «سرعت نهایی»؛ J/m تغییر سرعت است و باید با سرعت اولیه علامتدار جمع شود.
در کنترل نهایی، ابعاد مساحت باید نیرو ضربدر زمان باشد. سپس بررسی کن نیروی همجهت با حرکت باید اندازه تکانه را بیشتر کند و نیروی خلافجهت فقط در صورتی حرکت را برمیگرداند که ضربه آن از اندازه تکانه اولیه بیشتر شود. این دو کنترل بسیاری از خطاهای علامت را پیش از انتخاب گزینه آشکار میکنند.
برای خواندن نمودار نیرو–زمان، ابتدا محور مثبت را مشخص کن و فقط مساحت جبری زیر نمودار را حساب کن. حاصل، ضربه و برابر p_f − p_i است؛ بنابراین تکانه نهایی از p_f = p_i + J و برای جرم ثابت سرعت از v_f = v_i + J/m پیدا میشود. نیروی متوسط نیز J/Δt است. ارتفاع نمودار، شیب آن یا جمع قدرمطلق مساحتها جای ضربه خالص را نمیگیرد. در پایان یکای N·s، علامت تکانه و امکان تغییر جهت حرکت را کنترل کن.