برای محاسبه عمق چاه با زمان سقوط و صدا، زمان اندازه‌گیری‌شده را فقط زمان سقوط نگیرید؛ این زمان برابر مجموع زمان سقوط سنگ و زمان حرکت یک‌طرفه صدای برخورد از کف تا دهانه است. اگر عمق را h، شتاب گرانش را g و تندی صوت را vs بگیریم، برای سنگِ رهاشده داریم tfall = √(2h/g) و برای صدا tsound = h/vs؛ بنابراین T = √(2h/g) + h/vs. پاسخ از حل همین معادله و کنارگذاشتن ریشه غیرفیزیکی به دست می‌آید.
مدل، فرض‌ها و داده‌های مسئله سنگ و چاه را جدا کن
دانش‌آموزی سنگ کوچکی را از دهانه یک چاه ساکن رها می‌کند و 4.00 s بعد صدای نخستین برخورد آن با کف را می‌شنود. با g = 10 m/s² و تندی صوت در هوا vs = 340 m/s، عمق چاه و تندی سنگ درست پیش از برخورد را بیاب. مقاومت هوا، زمان تولید صدا هنگام برخورد و تغییر تندی صوت با ارتفاع را ناچیز بگیر.
دو بازه پشت سر هم داریم: از رهاشدن تا برخورد، سنگ سقوط آزاد می‌کند؛ پس از برخورد تا شنیدن صدا، موج صوتی از کف به دهانه می‌آید. زمان کل T = 4.00 s بین این دو بازه تقسیم می‌شود. صدا هم‌زمان با رهاشدن سنگ راه نمی‌افتد و مسیر آن نیز رفت‌وبرگشت نیست.
محور عمودی را رو به پایین مثبت و مبدأ را دهانه می‌گیریم. در بخش سقوط، v0 = 0، a = +g و جابه‌جایی سنگ +h است. این قرارداد علامت، رابطه h = ½gtfall² را مثبت می‌سازد؛ با محور رو به بالا نیز همان عمق به دست می‌آید، به شرط آنکه a و جابه‌جایی هر دو منفی نوشته شوند.
- داده‌ها: T = 4.00 s، g = 10 m/s² و vs = 340 m/s
- مجهول‌ها: عمق h و تندی برخورد
- فرض‌ها: رهاشدن از سکون، مقاومت هوای ناچیز و تندی ثابت صوت
محاسبه عمق چاه با زمان سقوط و صدا را از جمع دو زمان بنویس
برای مرحله سقوط از h = v0tfall + ½gtfall² و v0 = 0 استفاده می‌کنیم: h = ½gtfall². برای مرحله صوت، فاصله یک‌طرفه h با تندی ثابت vs پیموده می‌شود؛ پس tsound = h/vs. ساعت هر دو مرحله را اندازه گرفته است، بنابراین T = tfall + tsound.
می‌توان h را مستقیماً در T = √(2h/g) + h/vs جای داد، اما انتخاب tfall به‌عنوان مجهول محاسبه را روشن‌تر می‌کند. با h = ½gtfall² داریم T = tfall + gtfall²/(2vs). این یک معادله درجه‌دو است و هر ریشه آن باید با شرط tfall ≥ 0 و tfall < T سنجیده شود.
انتخاب رابطه بر اساس مدل است: برای سنگ از رابطه شتاب ثابت و برای صوت از فاصله = تندی × زمان استفاده می‌کنیم. نوشتن یک رابطه حرکت یکنواخت برای سنگ یا یک رابطه شتاب‌دار برای صوت، دو پدیده را با یک مدل نادرست مخلوط می‌کند.
معادله زمان سقوط را مرحله‌به‌مرحله حل کن
داده‌ها را در 4.00 = tfall + (10tfall²)/(2×340) قرار می‌دهیم. پس 4.00 = tfall + tfall²/68 و با ضرب دو طرف در 68 به tfall² + 68tfall − 272 = 0 می‌رسیم.
از فرمول درجه‌دو، tfall = [−68 ± √(68² + 4×272)]/2 = [−68 ± √5712]/2 است. دو ریشه تقریباً 3.789 s و −71.789 s هستند. زمان از لحظه رهاسازی سنجیده می‌شود، پس ریشه منفی به این رویداد فیزیکی تعلق ندارد و کنار گذاشته می‌شود.
اکنون h = ½×10×(3.789)² = 71.78 m. با توجه به دقت داده‌ها، عمق چاه حدود 71.8 m است. واحد نیز درست است: (m/s²)×s² = m. زمان حرکت صوت tsound = h/vs = 71.78/340 = 0.211 s می‌شود.
- زمان سقوط: tfall ≈ 3.789 s
- زمان رسیدن صدا: tsound ≈ 0.211 s
- عمق نهایی: h ≈ 71.8 m
تندی برخورد و علامت سرعت را جدا گزارش کن
با قرارداد پایینِ مثبت، سرعت درست پیش از برخورد v = v0 + gtfall = 0 + 10×3.789 = +37.9 m/s است. علامت مثبت می‌گوید جهت سرعت رو به پایین است؛ تندی که یک کمیت نرده‌ای و نامنفی است، 37.9 m/s گزارش می‌شود.
اگر بالا را مثبت انتخاب می‌کردیم، a = −10 m/s²، جابه‌جایی −71.8 m و سرعت برخورد −37.9 m/s می‌شد. عوض‌شدن علامت سرعت با عوض‌شدن محور طبیعی است، اما تندی برخورد و عمق چاه نباید تغییر کنند.
جواب را با زمان، حد فیزیکی و رابطه مستقل کنترل کن
کنترل نخست، بازسازی زمان اندازه‌گیری‌شده است: 3.789 + 0.211 = 4.000 s. کنترل دوم این است که هر دو زمان باید مثبت باشند و زمان سقوط از زمان کل کمتر شود؛ جواب این شرط‌ها را دارد. کنترل سوم را با رابطه v² = 2gh انجام می‌دهیم: √(2×10×71.78) ≈ 37.9 m/s که با محاسبه زمانی سازگار است.
یک کران سریع نیز داریم. چون بخشی از 4.00 s صرف رسیدن صدا شده، tfall < 4.00 s و در نتیجه عمق واقعی باید از ½×10×4.00² = 80 m کمتر باشد. جواب 71.8 m این کران را رعایت می‌کند. همچنین tsound/T حدود پنج درصد است؛ پس نادیده‌گرفتن صدا خطای کوچکِ صفر نیست و عمق 80 m را به‌طور محسوس بیش‌برآورد می‌کند.
خطاهای رایج و مرز کاربرد مدل را بشناس
رایج‌ترین خطا، قراردادن کل T در h = ½gT² است؛ این کار زمان حرکت صوت را هم زمان سقوط فرض می‌کند. خطای دوم استفاده از h = vsoundT/2 مانند مسئله پژواک است؛ در اینجا صدا فقط از کف تا دهانه می‌آید و عامل یک‌دوم نداریم. خطای سوم انتخاب ریشه منفی معادله بدون تفسیر فیزیکی و خطای چهارم گزارش سرعت منفی به‌عنوان «تندی منفی» است.
اگر سنگ با سرعت اولیه پرتاب شود، رابطه سقوط باید جمله v0t را نیز داشته باشد. اگر صدا از سطح آب بازتاب کند بی‌آنکه سنگی سقوط کرده باشد، مسئله پژواک و مسیر رفت‌وبرگشت است. در چاه بسیار عمیق، مقاومت هوا، تغییرات دما و تغییر تندی صوت می‌توانند مدل ساده را محدود کنند؛ در صورت مسئله دبیرستانی فقط فرض‌های داده‌شده را به کار ببر.
- T زمان کل است، نه فقط زمان سقوط.
- صدا در این مسئله مسیر یک‌طرفه h را طی می‌کند.
- ریشه معادله باید با بازه زمانی رویداد سازگار باشد.
- تندی نامنفی است؛ علامت فقط جهت سرعت را نشان می‌دهد.
الگوی حل سؤال‌های مشابه را در پنج گام نگه دار
یک: رویدادها را روی خط زمان بنویس؛ رهاسازی، برخورد و شنیدن صدا. دو: برای هر بازه مدل جدا انتخاب کن. سه: زمان کل را برابر جمع زمان‌ها قرار بده. چهار: معادله را حل و ریشه را با شرط‌های فیزیکی غربال کن. پنج: زمان کل، واحد، جهت سرعت و کران عمق را دوباره بساز.
برای مرور قرارداد علامت و روابط حرکت، راهنمای سقوط آزاد و پرتاب قائم را بخوان. برای تشخیص تفاوت مسیر یک‌طرفه با رفت‌وبرگشت، مقاله پژواک صوت مرتبط است؛ و مسئله فاصله صاعقه نشان می‌دهد چگونه یک تأخیر صوتیِ یک‌طرفه به فاصله تبدیل می‌شود.
در محاسبه عمق چاه با زمان سقوط و صدا، ساعت از لحظه رهاشدن سنگ تا شنیدن برخورد کار می‌کند؛ پس T = tfall + tsound است. سقوط سنگ شتاب‌دار و حرکت صوت در مدل مسئله یکنواخت است. با جای‌گذاری h = ½gtfall² در رابطه زمان کل، ریشه مثبت را انتخاب کن و سپس زمان صوت، جمع زمان‌ها، واحد متر و تندی برخورد را بازسازی کن. به‌کاربردن h = ½gT² زمان انتشار صوت را حذف می‌کند و عمق را بیش‌برآورد می‌کند.