زمان عبور کامل قطار از تونل؛ طول قطار و سرعت نسبی

زمان عبور کامل قطار از تونل را با دو رویداد تعریف کن

عبارت «قطار از تونل عبور کرد» بدون تعریف رویدادها مبهم است. در حالت رایج، زمان‌گیری وقتی آغاز می‌شود که جلوی قطار به ورودی تونل می‌رسد و وقتی پایان می‌یابد که انتهای قطار از خروجی بیرون آمده باشد. یک نقطه از قطار—مثلاً جلوی آن—را برای دنبال‌کردن انتخاب کن؛ این نقطه از ورودی تا خروجی به اندازه طول تونل حرکت می‌کند و سپس باید یک طول قطار دیگر جلو برود تا انتهای قطار نیز از مرز خروج بگذرد.

اگر سؤال بازه دیگری را بخواهد، رابطه عوض می‌شود. از ورود کامل قطار تا آغاز خروج، جلوی قطار فقط L_tunnel − L_train را می‌پیماید؛ این بازه فقط وقتی وجود دارد که تونل از قطار بلندتر باشد. پس فرمول را از روی واژه «تونل» حفظ نکن و تصویر لحظه آغاز و پایان را کنار هم بکش.

• آغاز رایج: جلوی قطار روی ورودی
• پایان رایج: انتهای قطار روی خروجی
• فاصله پاک‌سازی: L_tunnel + L_train
• بازه کاملاً داخل تونل: L_tunnel − L_train

قطار را جسم گسترده ببین، نه یک نقطه مادی

رابطه حرکت یکنواخت x = x₀ + vt برای هر نقطه انتخاب‌شده از قطار برقرار است، اما جلو و انتهای قطار به اندازه L_train از هم فاصله ثابت دارند. اگر فقط جلوی قطار را نقطه مادی بگیری و لحظه رسیدنش به خروجی را پایان اعلام کنی، زمان لازم برای خارج‌شدن بقیه قطار را حذف کرده‌ای.

برای عبور از تیر، فرد ساکن یا علامت کنار ریل، مانع طول ندارد و جلوی قطار باید دقیقاً L_train حرکت کند تا انتهای قطار از همان نقطه بگذرد. برای سکو، پل یا تونل با طول L_fixed، فاصله لازم L_train + L_fixed است. واحد همه طول‌ها را پیش از تقسیم یکسان کن.

• عبور از نقطه: d = L_train
• عبور از تونل یا پل: d = L_train + L_fixed
• حرکت یکنواخت: t = d/v

مثال حل‌شده: زمان خروج یک قطار ۱۸۰ متری از تونل

قطاری به طول 180 m با تندی ثابت 72 km/h وارد تونلی به طول 620 m می‌شود. از لحظه‌ای که جلوی قطار وارد تونل است تا لحظه‌ای که انتهای آن کاملاً خارج شود چند ثانیه طول می‌کشد؟

ابتدا تندی را به واحد سازگار تبدیل می‌کنیم: 72 km/h ÷ 3.6 = 20 m/s. جلوی قطار برای پاک‌سازی کامل باید d = 620 + 180 = 800 m جابه‌جا شود. بنابراین t = d/v = 800/20 = 40 s است.

کنترل جواب: جلوی قطار پس از 31 ثانیه 620 متر پیموده و تازه به خروجی رسیده است؛ 9 ثانیه دیگر لازم است تا 180 متر طول قطار نیز عبور کند. جمع 31 + 9 همان 40 ثانیه است. جواب 31 ثانیه فقط زمان رسیدن جلوی قطار به خروجی بود، نه خروج کامل.

برای عبور دو قطار، سرعت نسبی و مجموع طول‌ها را به کار ببر

وقتی دو قطار از کنار هم عبور می‌کنند، در دستگاه یکی از قطارها باید کل طول قطار اول و کل طول قطار دوم پاک شود. پس فاصله نسبی لازم L₁ + L₂ است. اگر دو قطار روبه‌روی هم حرکت کنند، تندی نزدیک‌شدن v_rel = v₁ + v₂ است؛ اگر هم‌جهت باشند و قطار تندتر سبقت بگیرد، v_rel = |v₁ − v₂| می‌شود.

مثلاً دو قطار 120 و 180 متری با تندی‌های 54 و 36 کیلومتر بر ساعت روبه‌روی هم حرکت می‌کنند. تندی نسبی 90 km/h یا 25 m/s و فاصله پاک‌سازی 300 m است؛ بنابراین عبور کامل از لحظه رسیدن دو جلوی قطار به هم، 300/25 = 12 s طول می‌کشد. اگر همین دو قطار هم‌جهت باشند، تندی نسبی 18 km/h یا 5 m/s و زمان عبور 60 s خواهد بود.

صورت‌های مختلف سؤال را با فاصله پاک‌سازی جدا کن

اگر قطار از کنار یک فرد متحرک می‌گذرد، فاصله لازم همچنان طول قطار است اما مخرج باید تندی نسبی قطار و فرد باشد. اگر فاصله اولیه میان جلوی دو قطار نیز داده شده باشد، آن فاصله را برای عبور کامل به مجموع طول‌ها اضافه کن. اگر سؤال فقط زمان رسیدن دو جلوی قطار یا فقط زمان رسیدن جلوی قطار به خروجی تونل را می‌خواهد، طول‌های اضافی وارد نمی‌شوند.

عبارت «قطار کاملاً در تونل است» با «قطار کاملاً از تونل خارج شده» یکسان نیست. در اولی انتهای قطار باید از ورودی گذشته و جلوی آن هنوز به خروجی نرسیده باشد؛ در دومی انتهای قطار نیز مرز خروج را رد کرده است. رسم دو مستطیل باریک برای حالت آغاز و پایان معمولاً از هر فرمول حفظی مطمئن‌تر است.

مرز کاربرد فرمول حرکت یکنواخت را بشناس

فرمول t = d/v وقتی مستقیماً معتبر است که تندی در کل بازه ثابت باشد. اگر قطار شتاب بگیرد یا ترمز کند، تقسیم فاصله بر تندی آغازین یا پایانی درست نیست. باید برای نقطه منتخب قطار رابطه موقعیت مناسب، مانند x = x₀ + v₀t + ½at² در شتاب ثابت، نوشته و رویداد خروج کامل را به‌عنوان شرط نهایی اعمال کنی.

در مدل دبیرستانی طول قطار ثابت، مسیر مستقیم و حرکت همه واگن‌ها هماهنگ فرض می‌شود. اثر پیچ مسیر، کشسانی اتصال‌ها یا تغییر طول واقعی وارد مسئله نیست. همچنین تندی متوسط فقط وقتی جای تندی ثابت را می‌گیرد که از تعریف دقیق مسافت کل بر زمان کل استفاده کنی؛ میانگین ساده دو تندی دلخواه معتبر نیست.

چک‌لیست حل مسئله قطار، تونل و پل را اجرا کن

یک: جسم متحرک و طول هر مانع را روی شکل بنویس. دو: لحظه آغاز و پایان را با جلوی قطار یا انتهای آن تعریف کن. سه: فاصله‌ای را که یک نقطه منتخب باید طی کند بساز. چهار: برای مانع متحرک، تندی نسبی را با جهت‌ها تعیین کن. پنج: کیلومتر بر ساعت را در صورت نیاز با تقسیم بر 3.6 به متر بر ثانیه تبدیل کن. شش: زمان را از فاصله تقسیم بر تندی به دست آور و با یکی از لحظه‌های میانی کنترل کن.

اگر با حذف طول قطار همان جواب باقی ماند، احتمالاً جسم گسترده را ناخواسته نقطه‌ای کرده‌ای. اگر دو قطار هم‌جهت‌اند ولی تندی‌ها را جمع کرده‌ای، جهت نسبی اشتباه است. و اگر واحد صورت متر و واحد مخرج کیلومتر بر ساعت است، پیش از محاسبه تبدیل واحد هنوز انجام نشده است.

• دو رویداد آغاز و پایان روشن‌اند.
• فاصله پاک‌سازی از روی شکل ساخته شده است.
• سرعت نسبت به زمین یا سرعت نسبی درست انتخاب شده است.
• واحد طول و تندی سازگار است.
• جواب با یک حالت میانی یا حد ساده کنترل شده است.

منابع علمی

• OpenStax Physics — Position vs. Time Graphs
• OpenStax University Physics Volume 1 — Relative Motion in One and Two Dimensions
• University of Waterloo CEMC — In the Dark, Problem of the Week