در توری پراش، تعداد زیادی شکاف همفاصله موجهای نور را با هم تداخل میدهند و بیشینههای روشن و باریکی میسازند. اگر فاصله دو شکاف مجاور d، طول موج λ و زاویه بیشینه نسبت به راستای مستقیم θ باشد، شرط بیشینهها d sinθ = mλ است؛ m عدد صحیحِ مرتبه است. در حل مسئله ابتدا تعداد خط بر واحد طول را به d تبدیل کن، سپس مرتبه و طول موج را در رابطه بگذار و در پایان شرط |sinθ| ≤ 1 را کنترل کن. برای نور سفید، مرتبه صفر سفید میماند و در هر مرتبه غیرصفر، قرمز دورتر از بنفش دیده میشود.
ثابت توری را از تعداد خطها به دست آور
روی توری معمولاً به جای فاصله شکافها، تعداد خط در میلیمتر یا متر نوشته میشود. اگر N تعداد خط بر واحد طول باشد، فاصله دو خط مجاور d = 1/N است. واحد صورت و مخرج را پیش از وارونکردن هماهنگ کن؛ برای N بر حسب خط بر متر، d مستقیماً بر حسب متر به دست میآید.
برای نمونه، توری 600 خط بر میلیمتر دارد. چون هر میلیمتر 10⁻³ متر است، N = 600×10³ m⁻¹ و در نتیجه d = 1/(600×10³) ≈ 1.67×10⁻⁶ m. نوشتن d = 1/600 متر خطایی هزاربرابری میسازد. واژه «خط» فقط شمارنده است و در تحلیل یکا نقشی ندارد.
- تعداد خط بر واحد طول: N
- فاصله شکافهای مجاور: d = 1/N
- پیش از جایگذاری، d و λ را به یک واحد تبدیل کن.
زاویه بیشینههای روشن را با شرط تداخل پیدا کن
پرتوهایی که از دو شکاف مجاور در زاویه θ خارج میشوند، اختلاف راه d sinθ دارند. اگر این اختلاف راه برابر تعداد صحیحی طول موج باشد، موجهای همه شکافها همفاز میرسند و یک بیشینه روشن میسازند: d sinθ = mλ. عدد m میتواند صفر، مثبت یا منفی باشد؛ علامت آن فقط سمت بیشینه را نسبت به مرکز نشان میدهد.
در m = 0، زاویه صفر است و بیشینه مرکزی روی امتداد نور ورودی تشکیل میشود. مرتبههای +1 و −1 در دو سوی مرکز زاویههایی هماندازه دارند. برای محاسبه اندازه زاویه، معمولاً m را مثبت میگیریم و پس از حل، تقارن دو سوی الگو را در شکل نشان میدهیم.
مسئله توری پراش را در پنج گام حل کن
یک: طول موج را به متر تبدیل کن؛ 1 nm = 10⁻⁹ m. دو: اگر تعداد خط داده شده، با d = 1/N فاصله شکافها را بساز. سه: مرتبه خواستهشده را در d sinθ = mλ قرار بده. چهار: زاویه را با θ = sin⁻¹(mλ/d) پیدا کن. پنج: بررسی کن مقدار داخل سینوس معکوس از یک بزرگتر نباشد.
اگر فاصله نقطه روشن تا مرکز پرده خواسته شده باشد و پرده در فاصله عمودی L از توری قرار داشته باشد، پس از یافتن زاویه از y = L tanθ استفاده کن. تقریب tanθ ≈ sinθ ≈ θ فقط برای زاویه کوچک و θ بر حسب رادیان مجاز است؛ وقتی زاویه عددی قابل توجه دارد، رابطه دقیق هندسی را نگه دار.
- شرط بیشینه: d sinθ = mλ
- مکان روی پرده: y = L tanθ
- شرط وجود مرتبه: mλ ≤ d
مثال حلشده: زاویه مرتبه اول و مکان آن روی پرده
نور تکرنگ با طول موج 500 nm به توری 600 خط بر میلیمتر میتابد. زاویه بیشینه مرتبه اول و فاصله آن از مرکز پردهای در L = 2.0 m را پیدا کن.
ابتدا λ = 500×10⁻⁹ m و d ≈ 1.67×10⁻⁶ m است. برای m = 1 داریم sinθ = λ/d ≈ 0.300؛ پس θ ≈ 17.5°. این بیشینه در هر دو سمت مرکز، یعنی در زاویههای +17.5° و −17.5° تشکیل میشود.
برای مکان روی پرده، y = L tanθ = 2.0×tan17.5° ≈ 0.63 m. اگر به جای تانژانت از تقریب y ≈ Lmλ/d استفاده کنیم، 0.60 m به دست میآید؛ اختلاف دو جواب یادآوری میکند که زاویه 17.5 درجه برای تقریب زاویه کوچک کاملاً ناچیز نیست.
بیشترین مرتبه قابل مشاهده را با محدودیت سینوس تعیین کن
چون اندازه sinθ نمیتواند از یک بیشتر شود، هر مرتبه دلخواهی وجود ندارد. از mλ/d ≤ 1 نتیجه میشود m ≤ d/λ. بیشترین مرتبه مثبت، بزرگترین عدد صحیحی است که از d/λ بیشتر نباشد؛ سپس همان تعداد مرتبه منفی نیز در سمت دیگر داریم.
در مثال توری 600 خط بر میلیمتر و λ = 500 nm، نسبت d/λ ≈ 3.34 است؛ بنابراین m_max = 3. مرتبه چهارم وجود ندارد، زیرا برای آن sinθ ≈ 1.20 میشود. تعداد بیشینههای اصلی از مرتبه −3 تا +3 برابر هفت است، با احتساب بیشینه مرکزی.
ترتیب رنگها را در طیف توری مشخص کن
برای مرتبه ثابت و یک توری مشخص، sinθ با λ متناسب است. پس نور قرمز با طول موج بلندتر در زاویه بزرگتری از مرکز دیده میشود و نور بنفش با طول موج کوتاهتر به مرکز نزدیکتر است. در هر سمت، ترتیب از مرکز به بیرون از بنفش به سوی قرمز است؛ طیف سمت دیگر تصویر متقارن آن خواهد بود.
در مرتبه صفر، m = 0 و زاویه برای همه طول موجها صفر است؛ بنابراین رنگها جدا نمیشوند و لکه مرکزی سفید دیده میشود. در مرتبههای بالاتر ممکن است بخشی از یک مرتبه با بخشی از مرتبه دیگر هممکان شود. برای بررسی همپوشانی دو خط، کافی است شرط m₁λ₁ = m₂λ₂ را امتحان کنی.
- مرتبه صفر: سفید و بدون جدایی رنگ
- در یک مرتبه: θقرمز > θبنفش
- شرط هممکانی دو طول موج: m₁λ₁ = m₂λ₂
توری را با تکشکاف و منشور اشتباه نگیر
در توری، d فاصله شکافهای مجاور و رابطه d sinθ = mλ شرط بیشینههای اصلی است. در پراش تکشکاف، a عرض یک شکاف است و a sinθ = mλ محل کمینهها را میدهد. یکسانبودن ظاهر جبری این دو رابطه نباید باعث جابهجایی «بیشینه» و «کمینه» یا d و a شود.
منشور رنگها را به دلیل وابستگی ضریب شکست به طول موج جدا میکند، اما توری این کار را با تداخل موجهای خروجی از شکافهای متعدد انجام میدهد. سه خطای رایج عبارتاند از وارونهنکردن تعداد خطها برای یافتن d، استفاده از درجه در تقریبهای رادیانی و پذیرفتن مرتبهای که mλ/d > 1 دارد. برای مقایسه دقیقتر، راهنماهای پراش تکشکاف، دوشکاف یانگ و پاشندگی منشور را بخوان.
مسئله توری پراش با سه تصمیم حل میشود: فاصله شکافها را از d = 1/N به متر تبدیل کن، برای بیشینه مرتبه m از d sinθ = mλ استفاده کن و امکان پاسخ را با |mλ/d| ≤ 1 بسنج. اگر مکان روی پرده خواسته شد، پس از یافتن زاویه از y = L tanθ استفاده کن. مرتبه صفر برای همه طول موجها در θ = 0 مشترک است؛ در مرتبههای کناری، طول موج بلندتر زاویه بزرگتری دارد. رابطه توری محل بیشینهها را میدهد و نباید با شرط کمینه تکشکاف اشتباه شود.