پاسخ مستقیم این است: در تیغهای با دو سطح تخت و موازی، پرتو خروجی با پرتو ورودی موازی است، اما معمولاً روی همان خط قرار نمیگیرد. ابتدا از n₁ sin i = n₂ sin r زاویه شکست r را پیدا کن؛ سپس اگر ضخامت عمودی تیغه t باشد، اندازه جابهجایی جانبی از d = t sin(i − r)/cos r به دست میآید. موازیبودن دو سطح باعث میشود شکست سطح دوم زاویه پرتو را به مقدار آغازین برگرداند، نه اینکه جابهجایی ایجادشده درون تیغه را حذف کند.
چرا پرتو خروجی موازی اما جابهجا است؟
فرض کن نور از هوا با زاویه i به سطح نخست یک تیغه شیشهای برسد. چون ضریب شکست شیشه از هوا بیشتر است، پرتو در ورود به شیشه به خط عمود نزدیک میشود و با زاویه r در تیغه حرکت میکند. در سطح دوم، نور از شیشه به هوا میرود و از خط عمود دور میشود.
دو سطح تیغه موازیاند؛ پس عمودهای آنها نیز موازی هستند. قانون اسنل در سطح نخست n₁ sin i = n₂ sin r و در سطح دوم n₂ sin r = n₁ sin e را میدهد. بنابراین برای زاویههای میان صفر و 90 درجه، e = i است. پرتو خروجی و ورودی موازیاند، اما قطعهای که نور در شیشه با زاویه متفاوت پیموده، خط مسیر را کنار میزند. فاصله عمودی میان امتداد پرتو ورودی و پرتو خروجی همان جابهجایی جانبی d است.
- زاویه ورود و خروج برابرند: e = i
- زاویهها نسبت به خط عمود اندازهگیری میشوند
- برابری زاویهها به معنی یکیبودن دو خط مسیر نیست
مسیر حل را در چهار گام ثابت نگه دار
گام اول، محیطها را مشخص کن: n₁ برای محیط بیرون و n₂ برای تیغه. گام دوم، زاویه تابش i را از خط عمود بخوان؛ اگر زاویه با سطح داده شده، مکمل آن را بگیر. گام سوم، از sin r = (n₁/n₂) sin i زاویه داخل تیغه را حساب کن. گام چهارم، r و ضخامت t را در رابطه d = t sin(i − r)/cos r قرار بده.
این فرمول زمانی به همین شکل استفاده میشود که t فاصله عمودی دو سطح موازی باشد و d کوتاهترین فاصله میان دو خط موازیِ پرتو ورودی و خروجی. اگر شکل، فاصلهای افقی یا طول مسیر نور داخل شیشه را بخواهد، باید مثلث همان شکل را جداگانه تحلیل کنی و نباید هر فاصله نشاندادهشده را d بنامی.
- ۱. تعیین n₁، n₂، i و t
- ۲. محاسبه r با قانون اسنل
- ۳. محاسبه d با رابطه تیغه
- ۴. کنترل جهت و اندازه پاسخ روی شکل
رابطه جابهجایی جانبی را از هندسه شکل بفهم
طول مسیر نور درون تیغه را L در نظر بگیر. مؤلفه عمود بر سطح این مسیر برابر ضخامت تیغه است؛ بنابراین L cos r = t و در نتیجه L = t/cos r. زاویه میان امتداد پرتو ورودی و مسیر داخل تیغه برابر i − r است.
جابهجایی عمود بر امتداد پرتو ورودی، مؤلفهای از L در راستای مناسب است: d = L sin(i − r). با جایگذاری L، رابطه d = t sin(i − r)/cos r به دست میآید. این استدلال نشان میدهد چرا ضخامت تیغه مستقیماً در پاسخ ظاهر میشود و چرا در تابش عمودی، یعنی i = r = 0، جابهجایی صفر است.
مثال حلشده: جابهجایی پرتو در تیغه 6 سانتیمتری
پرتویی از هوا با زاویه تابش 45° به تیغه شیشهای تختی با ضخامت 6.0 cm و ضریب شکست 1.5 میتابد. ضریب شکست هوا را 1 بگیر. جابهجایی جانبی پرتو خروجی را حساب کن.
از قانون اسنل داریم sin r = (1/1.5)sin45° ≈ 0.471؛ پس r ≈ 28.1°. اکنون اختلاف زاویهها 45° − 28.1° = 16.9° است. در رابطه تیغه مینویسیم d = 6.0×sin16.9°/cos28.1°.
با sin16.9° ≈ 0.291 و cos28.1° ≈ 0.882، جابهجایی d ≈ 1.98 cm میشود؛ یعنی تقریباً 2.0 cm. پاسخ از ضخامت 6 cm کمتر است و چون تابش مایل بوده صفر نشده است. پرتو خروجی نیز با زاویه 45° نسبت به عمود خارج میشود و با پرتو ورودی موازی است.
اثر ضخامت، زاویه تابش و ضریب شکست را پیشبینی کن
اگر جنس تیغه و زاویه تابش ثابت باشند، r ثابت است و d مستقیماً با t تناسب دارد؛ دوبرابرشدن ضخامت، جابهجایی را دوبرابر میکند. با افزایش زاویه تابش از صفر، اختلاف i − r بیشتر میشود و جابهجایی افزایش مییابد. در تابش عمودی هیچ شکست جهتی و هیچ جابهجایی جانبی نداریم.
برای زاویه تابش و محیط بیرون ثابت، افزایش ضریب شکست تیغه معمولاً r را کوچکتر میکند؛ پرتو داخل تیغه بیشتر به عمود نزدیک میشود و جابهجایی جانبی افزایش مییابد. این مقایسه را بهتر است ابتدا با قانون اسنل انجام دهی و سپس از رابطه d نتیجه بگیری، چون حفظ یک جمله بدون توجه به ثابتبودن سایر دادهها ممکن است گمراهکننده باشد.
اگر دو سوی تیغه یک محیط نباشد، موازیبودن را فرض نکن
نتیجه e = i به این وابسته است که محیط پیش از تیغه و پس از آن یکسان باشد؛ برای مثال هر دو هوا باشند. اگر تیغه میان آب و هوا قرار گیرد، قانون اسنل ترکیبی n_left sin i = n_right sin e را میدهد و معمولاً e با i برابر نیست. در این حالت پرتو خروجی الزاماً با پرتو ورودی موازی نخواهد بود.
پس پیش از استفاده از فرمول جابهجایی جانبی استاندارد، شکل و نام محیط دو طرف را بخوان. اگر دو محیط بیرونی متفاوت باشند، هر مرز را جدا با قانون اسنل حل کن و فاصله خواستهشده را از هندسه همان مسئله به دست آور. راهنمای قانون اسنل سایت، انتخاب زاویه و ضریب شکست در هر مرز را مفصلتر توضیح میدهد.
خطاهای رایج را با سه کنترل سریع پیدا کن
خطای رایج اول، خواندن زاویه نسبت به سطح بهجای عمود است. خطای دوم، قرار دادن i بهجای r در مخرج cos r است. خطای سوم، برابرگرفتن جابهجایی جانبی با فاصله افقی دو نقطه ورود و خروج روی سطوح تیغه است؛ این دو طول در شکل جهتهای متفاوتی دارند. محاسبه زاویهها در حالت درجه را نیز با تنظیم درست ماشینحساب انجام بده.
برای کنترل نهایی، در i = 0 باید d = 0 شود. همچنین برای زاویههای معمول، d باید مثبت و کوچکتر از t باشد؛ چون sin(i − r) < cos r است. اگر ضخامت دوبرابر شود و سایر دادهها ثابت بمانند، پاسخ نیز باید دوبرابر شود. این کنترلها بسیاری از خطاهای زاویه و کلید ماشینحساب را بدون تکرار کامل حل آشکار میکنند.
برای حل تیغه تخت، عمود هر دو سطح را موازی رسم کن، زاویهها را فقط از عمود بخوان، با قانون اسنل زاویه داخل تیغه را بیاب و سپس d = t sin(i − r)/cos r را به کار ببر. پرتو خروجی در محیط آغازین با پرتو ورودی موازی است، ولی در تابش مایل جابهجایی جانبی دارد. صفرشدن d در تابش عمودی، کوچکتر بودن d از ضخامت و افزایش جابهجایی با ضخامت، سه کنترل سریع و مفید پاسخاند.