نیروی کشش نخ در دستگاه سه‌جسمی این مثال با یک فرمول مستقیم به دست نمی‌آید. ابتدا باید بررسی کنیم اصطکاک ایستایی می‌تواند دستگاه را ساکن نگه دارد یا نه؛ سپس جهت حرکت، اصطکاک جنبشی و سه معادله قانون دوم را سازگار بنویسیم. برای جرم‌های آویزان ۲ و ۴ کیلوگرمی در دو سوی یک بلوک ۵ کیلوگرمی، با μs = ۰٫۳۰، μk = ۰٫۲۰ و g = ۱۰ m/s²، دستگاه به سوی جرم ۴ کیلوگرمی حرکت می‌کند؛ شتاب ۰٫۹۱ m/s² و کشش‌های چپ و راست به‌ترتیب ۲۱٫۸ و ۳۶٫۴ نیوتن می‌شوند.
صورت مسئله، داده‌ها و فرض‌های مدل را مشخص کن
جرم m₁ = ۲٫۰ kg از سمت چپ و جرم m₃ = ۴٫۰ kg از سمت راست آویزان‌اند. هرکدام با یک نخ جداگانه از روی قرقره‌ای به بلوک m₂ = ۵٫۰ kg روی میز افقی وصل شده‌اند. میان بلوک و میز μs = ۰٫۳۰ و μk = ۰٫۲۰ است. دستگاه از سکون رها می‌شود. تعیین کنید آیا حرکت می‌کند و اگر حرکت کرد، شتاب دستگاه و کشش هر نخ چقدر است. g = ۱۰ m/s² بگیرید.
هر دو نخ سبک، کشیده و غیرقابل‌کشش و هر دو قرقره بی‌جرم و بی‌اصطکاک فرض می‌شوند. بنابراین اندازه شتاب هر سه جرم یکسان است، اما چون دو نخ مستقل داریم دلیلی ندارد کشش آن‌ها برابر باشد. کشش نخ چپ را T₁ و کشش نخ راست را T₂ می‌نامیم.
مدل درست پیش از محاسبه روشن می‌شود: نخست حالت سکون را با اصطکاک ایستایی می‌آزماییم. فقط اگر نیروی لازم از سقف اصطکاک ایستایی بیشتر باشد، سراغ اصطکاک جنبشی و قانون دوم برای حالت متحرک می‌رویم.
- دو نخ مستقل: معمولاً T₁ ≠ T₂
- نخ‌های کشیده: اندازه شتاب سه جسم برابر
- سطح افقی: N = m₂g
- شروع از سکون: ابتدا آزمون اصطکاک ایستایی
نیروی کشش نخ را پس از آزمون شروع حرکت حساب کن
اگر دستگاه ساکن بماند، هر جرم آویزان تعادل دارد؛ پس T₁ = m₁g = ۲۰ N و T₂ = m₃g = ۴۰ N. در نتیجه بلوک روی میز برای سکون به اصطکاکی برابر T₂ − T₁ = ۲۰ N به سمت چپ نیاز دارد.
اما بیشینه اصطکاک ایستایی fs,max = μsN = μs m₂g = ۰٫۳۰×۵×۱۰ = ۱۵ N است. چون اصطکاک لازم ۲۰ N از سقف ۱۵ N بیشتر است، سکون ممکن نیست. دستگاه به سمت جرم ۴ کیلوگرمی راه می‌افتد: m₃ پایین، بلوک روی میز راست و m₁ بالا می‌روند.
پس از شروع لغزش باید از اصطکاک جنبشی استفاده کنیم: fk = μk m₂g = ۰٫۲۰×۵×۱۰ = ۱۰ N. جهت آن روی بلوک به چپ است، چون بلوک نسبت به میز به راست می‌لغزد. جایگزین‌کردن مستقیم μsN یا μkN بدون این آزمون، مدل مسئله را عوض می‌کند.
جهت مثبت و سه معادله قانون دوم را سازگار انتخاب کن
برای هر جسم جهت مثبت را هم‌جهت حرکت واقعی می‌گیریم: برای m₁ رو به بالا، برای m₂ رو به راست و برای m₃ رو به پایین. این محورها در فضا هم‌جهت نیستند، اما در هر سه معادله شتاب با علامت +a ظاهر می‌شود و خطای علامت کمتر می‌شود.
برای جرم چپ داریم T₁ − m₁g = m₁a. برای بلوک روی میز داریم T₂ − T₁ − fk = m₂a. برای جرم راست نیز m₃g − T₂ = m₃a. وزن و نیروی عمودی بلوک در راستای قائم همدیگر را خنثی می‌کنند و وارد معادله افقی آن نمی‌شوند.
اگر هر سه معادله را جمع کنیم، T₁ و T₂ به‌عنوان نیروهای داخلی دستگاه حذف می‌شوند: (m₃ − m₁)g − fk = (m₁ + m₂ + m₃)a. این جمع هم راه سریع یافتن شتاب است و هم کنترل علامت معادله‌های جداگانه.
شتاب و دو کشش نابرابر را مرحله‌به‌مرحله به دست آور
در رابطه کل دستگاه جای‌گذاری می‌کنیم: a = [(۴ − ۲)×۱۰ − ۱۰]/(۲ + ۵ + ۴) = ۱۰/۱۱ = ۰٫۹۰۹ m/s². علامت مثبت تأیید می‌کند جهت فرض‌شده، یعنی پایین‌رفتن جرم ۴ کیلوگرمی، درست بوده است.
از معادله جرم چپ، T₁ = m₁(g + a) = ۲×(۱۰ + ۰٫۹۰۹) = ۲۱٫۸ N. علامت جمع منطقی است: این جرم رو به بالا شتاب دارد، پس کشش باید از وزن ۲۰ نیوتنی آن بیشتر باشد.
از معادله جرم راست، T₂ = m₃(g − a) = ۴×(۱۰ − ۰٫۹۰۹) = ۳۶٫۴ N. این جرم رو به پایین شتاب دارد، پس کشش از وزن ۴۰ نیوتنی آن کمتر است. در نتیجه T₁ و T₂ برابر نیستند؛ آرمانی‌بودن هر قرقره فقط کشش را در دو سر همان نخ یکسان می‌کند، نه میان دو نخ جدا.
- شتاب دستگاه: ۰٫۹۱ m/s² به سوی جرم ۴ kg
- کشش نخ چپ: ۲۱٫۸ N
- کشش نخ راست: ۳۶٫۴ N
واحد، علامت و معقول‌بودن جواب را کنترل کن
در محاسبه شتاب، صورت کسر واحد نیوتن یا kg·m/s² و مخرج واحد kg دارد؛ پس واحد نهایی m/s² است. در روابط کشش نیز kg در m/s² ضرب شده و پاسخ برحسب N به دست می‌آید. ضریب اصطکاک بی‌بعد است و نباید واحد مستقلی به آن بدهیم.
کنترل مستقل بلوک وسط چنین است: T₂ − T₁ − fk = ۳۶٫۴ − ۲۱٫۸ − ۱۰ = ۴٫۶ N و m₂a = ۵×۰٫۹۰۹ = ۴٫۵ N؛ اختلاف جزئی فقط از گردکردن است. پس سه جواب در یک معادله استفاده‌نشده نیز سازگارند.
بدون اصطکاک، شتاب باید ۲۰/۱۱ = ۱٫۸۲ m/s² باشد؛ اصطکاک مقدار آن را به ۰٫۹۱ m/s² کاهش داده است. همچنین ۰ < a < g، مقدار T₁ از m₁g بیشتر و مقدار T₂ از m₃g کمتر است. هر سه روند با جهت حرکت جرم‌ها سازگارند.
خطاهای رایج در دستگاه سه‌جسمی را بشناس
خطای رایج اول این است که چون قرقره‌ها آرمانی‌اند، T₁ = T₂ فرض شود. برابری کشش فقط در امتداد یک نخ سبک روی یک قرقره آرمانی برقرار است؛ این شکل دو نخ مستقل دارد. اگر دو کشش را برابر بگیری، نیروی افقی بلوک فقط اصطکاک می‌شود و با جهت شتاب به تناقض می‌رسی.
خطای دوم، استفاده فوری از fk = μkN است. دستگاه از سکون آغاز می‌کند و شاید اصطکاک ایستایی بتواند اختلاف وزن‌ها را خنثی کند. باید ابتدا نیروی اصطکاک لازم را با fs,max مقایسه کنی. خطای سوم نیز گذاشتن اصطکاک در خلاف جرم سنگین‌تر بدون آزمون جهت است؛ اصطکاک خلاف لغزش نسبی بلوک و میز است، نه لزوماً خلاف یک نیروی دلخواه.
برای تمرین انتقالی، فقط μs را به ۰٫۵۰ تغییر بده. آن‌گاه fs,max = ۲۵ N از اصطکاک لازم ۲۰ N بیشتر است و دستگاه ساکن می‌ماند؛ اصطکاک واقعی ۲۰ N است، نه ۲۵ N. این تغییر، تفاوت «مقدار لازم» و «بیشینه اصطکاک ایستایی» را آشکار می‌کند.
چک‌لیست نهایی حل دستگاه چندجسمی را اجرا کن
پیش از نوشتن رابطه عددی، تعداد نخ‌ها و کشش‌های مستقل را بشمار، نمودار جسم آزاد هر سه جرم را جدا بکش و قید شتاب را از کشیده و غیرقابل‌کشش‌بودن نخ‌ها نتیجه بگیر. سپس امکان تعادل را بیازما و تنها در صورت لغزش، ضریب اصطکاک جنبشی را وارد کن.
برای مرور پیش‌نیازها، مقاله ماشین آتوود حالت دو جرم و یک کشش را پوشش می‌دهد؛ راهنمای اصطکاک ایستایی و جنبشی آزمون شروع لغزش را روشن می‌کند؛ و راهنمای رسم نمودار جسم آزاد کمک می‌کند نیروهای هر جزء را با نیروهای کل دستگاه مخلوط نکنی.
- آیا تعداد نخ‌ها و کشش‌های مستقل را درست شمرده‌ام؟
- آیا پیش از μk، امکان سکون با μs را سنجیده‌ام؟
- آیا جهت مثبت هر سه معادله روشن است؟
- آیا واحد نهایی شتاب و کشش درست است؟
- آیا کشش‌ها با جهت شتاب جرم‌های آویزان سازگارند؟
برای یافتن نیروی کشش نخ در دستگاه سه‌جسمی، اول اختلاف وزن‌های آویزان را با بیشینه اصطکاک ایستایی مقایسه کن. اگر حرکت آغاز شد، اصطکاک جنبشی را در خلاف حرکت بگذار، برای سه جسم محورهای هم‌جهت با حرکت انتخاب کن و سه معادله جدا بنویس. در این مثال ۲۰ N نیروی راننده از ۱۵ N اصطکاک ایستایی بیشینه بیشتر است؛ پس a = ۱۰/۱۱ ≈ ۰٫۹۱ m/s²، T₁ ≈ ۲۱٫۸ N و T₂ ≈ ۳۶٫۴ N است. واحدها، علامت شتاب و مقایسه هر کشش با وزن جرم آویزان، جواب را تأیید می‌کنند.