تجزیه و جمع بردارها در فیزیک؛ انتخاب درست سینوس و کسینوس

بردار را به دو تصویر عمود بر هم تبدیل کن

بردار علاوه بر اندازه، جهت دارد؛ به همین دلیل جمع عددی اندازه‌ها همیشه درست نیست. اگر برداری با اندازه A را روی محورهای x و y تجزیه کنیم، دو مؤلفه Ax و Ay می‌سازیم که جمع برداری آن‌ها همان بردار اصلی است. این مؤلفه‌ها بردارهای تازه و مستقل از اصل مسئله نیستند، بلکه دو تصویر از یک بردار روی محورهای انتخابی‌اند.

محورها را می‌توان دلخواه انتخاب کرد، اما انتخاب هوشمندانه محاسبه را کوتاه می‌کند. روی سطح شیب‌دار معمولاً محور موازی و عمود بر سطح بهتر از محور افقی و قائم است؛ در پرتابه، محور افقی و قائم مناسب‌تر است. با چرخاندن محورها مقدار مؤلفه‌ها تغییر می‌کند، ولی اندازه و جهت خود بردار ثابت می‌ماند.

• ابتدای هر دو مؤلفه با ابتدای بردار اصلی مشترک است.
• مؤلفه x فقط در راستای محور x و مؤلفه y فقط در راستای محور y قرار می‌گیرد.
• رابطه کنترل اندازه: A² = Ax² + Ay².

سینوس و کسینوس را از محل زاویه انتخاب کن

قاعده اصلی به نام محور وابسته نیست: مؤلفه‌ای که کنار زاویه θ قرار دارد اندازه A cosθ و مؤلفه روبه‌روی آن اندازه A sinθ دارد. اگر زاویه بردار با محور مثبت x داده شده باشد، |Ax| = A cosθ و |Ay| = A sinθ است. اما اگر همان زاویه با محور y داده شود، این دو جابه‌جا می‌شوند: |Ay| = A cosθ و |Ax| = A sinθ.

برای پرهیز از انتخاب حفظی، از سر بردار خط‌هایی عمود بر دو محور رسم کن تا یک مثلث قائم‌الزاویه دیده شود. خود بردار وتر است. سپس فقط بپرس کدام ضلع به زاویه چسبیده و کدام روبه‌روی آن است. این روش حتی وقتی محورها مایل‌اند یا زاویه نسبت به خط قائم داده شده، بدون تغییر کار می‌کند.

• مجاور زاویه = وتر × cosθ.
• مقابل زاویه = وتر × sinθ.
• ابتدا اندازه را پیدا کن؛ علامت را در گام جداگانه تعیین کن.

علامت مؤلفه را از جهت محور بگیر، نه از مثلثات

سینوس و کسینوس زاویه تند داخل مثلث، اندازه مثبت مؤلفه را می‌دهند. برای علامت، جهت پیکان مؤلفه را با جهت مثبت محور مقایسه کن. مؤلفه رو به راست در محور x معمول مثبت و رو به چپ منفی است؛ مؤلفه رو به بالا در محور y معمول مثبت و رو به پایین منفی خواهد بود.

برای نمونه، برداری در ناحیه دوم صفحه به چپ و بالا اشاره می‌کند. اگر زاویه تند θ را با امتداد منفی x بسازد، مؤلفه‌ها Ax = −A cosθ و Ay = +A sinθ هستند. منفی‌بودن Ax از جهت چپ می‌آید، نه از قرارگرفتن علامت منفی در یک فرمول حفظی.

مثال حل‌شده: تجزیه یک نیروی مایل و یافتن برآیند

نیرویی با اندازه ۲۰ نیوتن، زاویه ۳۷ درجه بالاتر از محور مثبت x می‌سازد. با تقریب‌های sin37° ≈ 0.6 و cos37° ≈ 0.8، مؤلفه افقی چون مجاور زاویه است Fx = 20×0.8 = 16 N و مؤلفه قائم چون مقابل زاویه است Fy = 20×0.6 = 12 N می‌شود. هر دو مثبت‌اند، زیرا نیرو به راست و بالا جهت دارد.

حالا نیروی دیگری به اندازه ۱۰ نیوتن به سمت چپ وارد می‌شود. مؤلفه‌های این نیرو (−10, 0) است. مؤلفه‌های برآیند را جداگانه جمع می‌کنیم: Rx = 16 − 10 = 6 N و Ry = 12 N. بنابراین اندازه برآیند R = √(6² + 12²) = √180 ≈ 13.4 N است.

برای جهت، tanφ = Ry/Rx = 12/6 = 2 و در نتیجه φ ≈ 63° بالاتر از محور مثبت x است. چون هر دو مؤلفه برآیند مثبت‌اند، زاویه به‌دست‌آمده در ناحیه اول قرار دارد. اگر فقط arctan را وارد ماشین‌حساب کنی ولی علامت مؤلفه‌ها و ناحیه را نبینی، ممکن است جهت نهایی را اشتباه گزارش کنی.

وزن را روی محورهای سطح شیب‌دار تجزیه کن

روی سطحی با زاویه θ نسبت به افق، محور x را موازی سطح و رو به بالا و محور y را عمود بر سطح و رو به بیرون بگیر. وزن mg قائم رو به پایین است. با هندسه شکل، مؤلفه موازی سطح اندازه mg sinθ و جهت رو به پایین سطح دارد؛ مؤلفه عمود بر سطح اندازه mg cosθ و جهت رو به داخل سطح دارد. پس در این قرارداد Wx = −mg sinθ و Wy = −mg cosθ است.

این دو رابطه را می‌توان با حالت‌های حدی کنترل کرد. در θ = 0 سطح افقی است؛ مؤلفه موازی باید صفر و مؤلفه عمودی باید کل mg باشد. در θ نزدیک ۹۰ درجه، مؤلفه موازی به mg نزدیک می‌شود. این کنترل روشن می‌کند که جابه‌جاکردن سینوس و کسینوس نتیجه‌ای ناسازگار می‌سازد. برای تبدیل همین مؤلفه‌ها به معادله نیرو، راهنمای رسم نمودار جسم آزاد را ببین.

چند بردار را با جمع مؤلفه‌ها به یک برآیند تبدیل کن

برای جمع سه بردار یا بیشتر، لازم نیست آن‌ها را دوبه‌دو با قانون کسینوس ترکیب کنی. همه را روی یک جفت محور تجزیه کن، مؤلفه‌های افقی را با علامت جمع بزن تا Rx به دست آید و همین کار را برای Ry انجام بده. سپس R = √(Rx² + Ry²) اندازه برآیند را می‌دهد.

جهت برآیند از نسبت tanφ = |Ry/Rx| به دست می‌آید، اما این نسبت فقط زاویه تند مرجع را می‌دهد. علامت‌های Rx و Ry تعیین می‌کنند برآیند در کدام ناحیه است. اگر یکی از مؤلفه‌های نهایی صفر باشد، برآیند دقیقاً روی محور دیگر قرار دارد و نیازی به محاسبه تانژانت نیست.

• هر بردار را روی همان محورهای مشترک تجزیه کن.
• Rx = ΣAx و Ry = ΣAy را با علامت بنویس.
• از R = √(Rx² + Ry²) برای اندازه استفاده کن.
• ناحیه جهت را از علامت‌های Rx و Ry مشخص کن.

پاسخ را با سه کنترل سریع بررسی کن

کنترل اول بازسازی اندازه است: برای یک بردار منفرد باید √(Ax² + Ay²) برابر A شود. کنترل دوم حالت زاویه صفر است؛ برداری که روی یک محور قرار دارد باید روی محور عمود مؤلفه صفر داشته باشد. کنترل سوم واحد است؛ مؤلفه نیرو نیوتن، مؤلفه سرعت متر بر ثانیه و مؤلفه میدان همان واحد میدان را دارد.

سه خطای رایج عبارت‌اند از انتخاب همیشگی کسینوس برای مؤلفه x، مثبت‌نوشتن همه مؤلفه‌ها و جمع‌کردن اندازه بردارهای مایل به‌جای مؤلفه‌هایشان. ترتیب مطمئن این است: شکل و محور، محل زاویه، اندازه مؤلفه، علامت جهت، جمع جبری و در پایان کنترل. برای سنجش سازگاری واحدهای روابط نیز راهنمای تحلیل ابعادی و کنترل واحد را مرور کن.