وقتی دو کره رسانا را با سیم رسانا به هم وصل میکنیم، بار تا زمانی بازتوزیع میشود که پتانسیل دو کره برابر شود. اگر کرهها از هم دور باشند، برای هر کره V = kQ/R مینویسیم؛ بنابراین در حالت نهایی Q₁′/R₁ = Q₂′/R₂ است. همزمان بار کل دستگاه منزوی پایسته میماند: Q₁′ + Q₂′ = Q₁ + Q₂. حل همین دو معادله بارهای نهایی را میدهد. فقط برای کرههای هماندازه میتوان گفت بار نهایی هر کدام نصف مجموع بار اولیه است.
تعادل نهایی یعنی پتانسیل دو کره برابر است
سیم رسانا دو کره را به یک رسانای واحد تبدیل میکند. تا وقتی میان دو سر سیم اختلاف پتانسیل وجود داشته باشد، میدان الکتریکی در سیم باعث جابهجایی الکترونها میشود. در تعادل الکتروستاتیکی، میدان درون سیم و اختلاف پتانسیل دو کره صفر است؛ پس V₁′ = V₂′.
اگر فاصله کرهها در مقایسه با شعاعشان زیاد باشد، اثر هر کره بر توزیع بار دیگری را ناچیز میگیریم و پتانسیل سطح هر کره را V = kQ/R مینویسیم. در نتیجه kQ₁′/R₁ = kQ₂′/R₂ و پس از حذف k داریم Q₁′/R₁ = Q₂′/R₂. بنابراین کره بزرگتر در حالت نهایی قدرمطلق بار بیشتری دارد، نه لزوماً چگالی سطحی بیشتر.
- برابری پتانسیل به معنی برابری بار دو کره نیست.
- برای شعاعهای برابر، برابری پتانسیل به برابری بار نهایی میانجامد.
- رابطه V = kQ/R در این مدل برای کره رسانای منزوی یا کرههای بسیار دور از هم به کار میرود.
پایستگی بار، معادله دوم مسئله است
اگر مجموعه دو کره و سیم از زمین و اجسام دیگر عایق باشد، بار الکتریکی از دستگاه خارج یا به آن وارد نمیشود. پس Q₁′ + Q₂′ = Q₁ + Q₂ = Qtotal. بارها را با علامت جبری جمع کن؛ برای مثال مجموع +8 nC و −3 nC برابر +5 nC است، نه +11 nC.
از نسبت تعادل Q₁′:Q₂′ = R₁:R₂ و پایستگی بار نتیجه میشود Q₁′ = R₁Qtotal/(R₁ + R₂) و Q₂′ = R₂Qtotal/(R₁ + R₂). این نتیجه را حفظ نکن؛ نوشتن دو اصل اصلی در هر مسئله کمک میکند حالتهای متفاوت را نیز درست تحلیل کنی.
مسئله تقسیم بار را در پنج گام حل کن
یک: بارهای اولیه را با علامت و شعاعها را در یک واحد بنویس. دو: بار کل Qtotal را از جمع جبری بارهای اولیه پیدا کن. سه: برای حالت نهایی برابری Q₁′/R₁ = Q₂′/R₂ را بنویس. چهار: این نسبت را همراه Q₁′ + Q₂′ = Qtotal حل کن. پنج: جمع بارهای نهایی و برابری پتانسیلها را کنترل کن.
برای یافتن بار جابهجاشده، تغییر بار یکی از کرهها را حساب کن: ΔQ₁ = Q₁′ − Q₁. اندازه |ΔQ₁| همان اندازه بار عبورکرده از سیم است و برای کره دوم تغییر مخالف دارد. اگر تعداد الکترونها خواسته شد، N = |ΔQ|/e را به کار ببر؛ e اندازه بار یک الکترون است و مقدار عددی آن باید از داده صورت سؤال یا منبع درسی مسئله گرفته شود.
مثال حلشده: دو کره ناهماندازه با بارهای ناهمنام
کره اول شعاع 2 cm و بار +12 nC و کره دوم شعاع 3 cm و بار −2 nC دارد. دو کره از هم دورند و با سیم نازکی متصل میشوند. بار نهایی هر کره و اندازه بار جابهجاشده را بیاب.
بار کل برابر Qtotal = +12 − 2 = +10 nC است. از برابری پتانسیلها Q₁′/2 = Q₂′/3، پس Q₁′:Q₂′ = 2:3. پنج سهم نسبت در مجموع 10 nC است؛ هر سهم 2 nC میشود. بنابراین Q₁′ = +4 nC و Q₂′ = +6 nC است.
تغییر بار کره اول ΔQ₁ = 4 − 12 = −8 nC و تغییر بار کره دوم ΔQ₂ = 6 − (−2) = +8 nC است. پس اندازه بار جابهجاشده 8 nC است. کنترل نهایی: 4 + 6 = 10 nC و نیز 4/2 = 6/3؛ هم پایستگی بار و هم برابری پتانسیل برقرارند.
جهت جابهجایی الکترون را از پتانسیل اولیه پیدا کن
پیش از اتصال، پتانسیل هر کره را با V = kQ/R مقایسه کن. میدان قراردادی در سیم از پتانسیل بیشتر به پتانسیل کمتر است، اما الکترون بار منفی دارد و در خلاف جهت میدان حرکت میکند؛ بنابراین الکترونها از کره با پتانسیل کمتر به کره با پتانسیل بیشتر جابهجا میشوند.
در مثال بالا V₁ با +12/2 متناسب و مثبت است، در حالی که V₂ با −2/3 متناسب و منفی است؛ پس V₁ > V₂ و الکترونها از کره دوم به کره اول میروند. رسیدن بار کره اول از +12 nC به +4 nC نیز همین را تأیید میکند: ورود الکترونها مثبتبودن بار خالص آن را کاهش داده است. درباره «حرکت بار مثبت» بهعنوان ذره در فلز حرف نزن؛ در رسانای فلزی حاملهای متحرک الکترونها هستند.
سه حالت ویژه را سریع تشخیص بده
اگر دو کره هماندازه باشند، R₁ = R₂ و در نتیجه Q₁′ = Q₂′ = (Q₁ + Q₂)/2 است. اگر مجموع بار اولیه صفر باشد، در مدل کرههای دور از هم هر دو بار نهایی صفر میشود. اگر یکی از کرهها ابتدا خنثی باشد، پس از اتصال هر دو کره همعلامت با بار کل میشوند و سهم کره بزرگتر بیشتر است.
اتصال به زمین مسئله دیگری است. زمین میتواند با رسانا بار مبادله کند، بنابراین دیگر پایستگی بار برای خود کرهها به شکل بالا قابل استفاده نیست و معمولاً پتانسیل رسانای متصل به زمین صفر در نظر گرفته میشود. برای این حالت، راهنمای القای الکتریکی و اتصال زمین را بخوان.
- کرههای برابر: میانگین جبری بارها روی هر کره قرار میگیرد.
- بار کل صفر: در مدل دور از هم، بار نهایی هر دو صفر است.
- اتصال به زمین: دستگاه دوکرهای منزوی نیست و بار کل آن الزاماً ثابت نمیماند.
محدوده مدل و دامهای رایج را بررسی کن
اگر کرهها نزدیک هم باشند، بار روی سطح هر کره یکنواخت نمیماند و پتانسیل هر کره فقط از kQ/R خودش ساخته نمیشود؛ حضور کره دیگر نیز سهم دارد. پس رابطه ساده Q₁′/R₁ = Q₂′/R₂ برای دو کره نزدیک، بدون اطلاعات بیشتر، دقیق نیست. عبارت «کرهها از هم دورند» در صورت سؤال مجوز استفاده از مدل ساده است.
خطاهای رایج عبارتاند از نصفکردن بار کل برای شعاعهای متفاوت، جمعکردن قدرمطلق بارهای ناهمنام، برابرگرفتن چگالی سطحی بهجای پتانسیل و تعیین جهت الکترون فقط از علامت بارها. مبنای فیزیکی این راهنما—پتانسیل کره رسانای منزوی، همپتانسیلشدن رساناهای متصل و پایستگی بار در دستگاه منزوی—با فصلهای پتانسیل و رساناهای کتاب آزاد University Physics, Volume 2 از OpenStax تطبیق داده شده است. برای مرور پتانسیل داخل و بیرون کره، مقاله میدان و پتانسیل کره رسانا ادامه مستقیم این بحث است.
در اتصال دو کره رسانای دور از هم، دو اصل کافی است: بار کل دستگاه منزوی پایسته میماند و در تعادل الکتروستاتیکی پتانسیل دو کره متصل برابر است. از این دو اصل به Q₁′ = R₁Qtotal/(R₁ + R₂) و Q₂′ = R₂Qtotal/(R₁ + R₂) میرسی. برابر تقسیمکردن بار فقط برای شعاعهای برابر درست است. برای تعیین جهت حرکت نیز پتانسیلهای اولیه را مقایسه کن: الکترونها از پتانسیل کمتر به پتانسیل بیشتر جابهجا میشوند. در پایان، جمع بارها، نسبت Q′/R و علامت جواب را کنترل کن.