پاسخ مستقیم این است: برای یافتن زمان و مکان رسیدن دو متحرک، یک محور، یک مبدأ مکان و یک مبدأ زمان مشترک انتخاب کن؛ سپس تابع مکان هر دو را با همان t بنویس و شرط ملاقات x₁(t) = x₂(t) را حل کن. هر ریشه فقط وقتی پذیرفتنی است که در بازه زمانی حرکت هر دو جسم باشد. در حرکت با سرعت ثابت میتوان همین ایده را به صورت «فاصله اولیه ÷ سرعت نزدیکشدن» خلاصه کرد، اما روش تابع مکان برای شروع دیرتر، تغییر شتاب و چند ریشه مطمئنتر است.
شرط ملاقات را از برابرشدن مکانها بساز
ملاقات یعنی دو جسم در یک لحظه در یک مکان باشند. بنابراین شرط اصلی x₁(t) = x₂(t) است. برابرشدن جابهجاییها، مسافتها یا سرعتها لزوماً به معنای ملاقات نیست. دو خودرو میتوانند سرعت یکسان داشته باشند و همچنان چند متر از هم فاصله داشته باشند؛ یا هنگام سبقت سرعتهای متفاوتی داشته باشند ولی در همان لحظه هممکان شوند.
برای حرکت با سرعت ثابت از x = x₀ + vt و برای حرکت با شتاب ثابت از x = x₀ + v₀t + ½at² استفاده کن. علامت v و a را از جهت محور بگیر، نه از واژههایی مانند «کندشونده». اگر جسمی خلاف جهت مثبت حرکت کند، سرعتش منفی است؛ اما زمان هیچگاه با علامت جهت نوشته نمیشود.
- یک محور و جهت مثبت برای هر دو جسم
- یک مبدأ زمانی مشترک
- شرط ملاقات: x₁(t) = x₂(t)
- کنترل بازه اعتبار هر تابع حرکت
در حرکت یکنواخت، سرعت نزدیکشدن را درست انتخاب کن
اگر هر دو متحرک سرعت ثابت دارند، میتوان تغییر فاصله میان آنها را مستقیم بررسی کرد. وقتی همجهتاند و جسم عقب سریعتر است، سرعت کمشدن فاصله برابر vعقب − vجلو است. وقتی روبهروی هم حرکت میکنند، اندازه سرعت نزدیکشدن برابر مجموع تندیهاست. پس زمان ملاقات از فاصله اولیه تقسیم بر سرعت نزدیکشدن به دست میآید.
این میانبر تنها وقتی بیدردسر است که سرعتها در بازه موردنظر ثابت باشند و زمان آغاز حرکت یکسان باشد. اگر یکی دیرتر شروع کند، ابتدا باید فاصله ایجادشده تا لحظه شروع او را پیدا کنی؛ یا از ابتدا تابعهای مکان را روی یک ساعت مشترک بنویسی.
مسئله تعقیب را در شش گام حل کن
یک: رویداد t = 0 را روشن بنویس؛ مثلاً لحظه عبور خودروی اول از مبدأ. دو: محور و جهت مثبت را انتخاب کن. سه: مکان اولیه، سرعت اولیه، شتاب و زمان شروع هر متحرک را در یک جدول کوتاه ثبت کن. چهار: تابع مکان هر جسم را فقط در بازهای که حرکتش برقرار است بنویس. پنج: معادله x₁ = x₂ را حل کن. شش: ریشههای نامعتبر را حذف و زمان معتبر را در یکی از تابعها قرار بده تا مکان ملاقات پیدا شود.
اگر حرکت چندبخشی است، برای هر بخش تابع جدا لازم است. برای نمونه، اگر جسم دوم تا زمان τ ساکن و پس از آن با شتاب ثابت حرکت میکند، تابع بخش دوم آن برای t ≥ τ شامل مدت حرکت خودش، یعنی (t − τ)، است. استفاده از t بهجای (t − τ) به جسم دوم مسافتی میدهد که پیش از شروع حرکت هرگز طی نکرده است.
- رویداد صفر زمان را تعریف کن.
- دادهها را با علامت روی محور بنویس.
- تأخیر را با زمان سپریشده واقعی هر جسم وارد کن.
- پس از حل، زمان و مکان را در هر دو حرکت کنترل کن.
مثال حلشده: تعقیب دو خودرو با سرعت ثابت
خودروی A از کنار نشانه کیلومتر صفر با سرعت ثابت 20 m/s میگذرد. در همان لحظه خودروی B که 300 m عقبتر است، در همان جهت با سرعت ثابت 30 m/s حرکت میکند. زمان و مکان رسیدن B به A را پیدا کن.
مبدأ مکان را نشانه کیلومتر صفر و جهت حرکت را مثبت میگیریم. پس xA = 20t و xB = −300 + 30t. از شرط ملاقات داریم 20t = −300 + 30t؛ بنابراین t = 30 s. مکان ملاقات x = 20×30 = 600 m پس از مبدأ است.
کنترل با سرعت نزدیکشدن نیز همان پاسخ را میدهد: فاصله اولیه 300 m و سرعت کمشدن فاصله 30 − 20 = 10 m/s است، پس t = 300/10 = 30 s. اگر سرعت B کمتر یا مساوی A بود، فاصله کم نمیشد و در این مدل رسیدنی رخ نمیداد.
مثال حلشده: شروع دیرتر با شتاب ثابت
دوچرخهسواری در t = 0 از مبدأ با سرعت ثابت 5 m/s عبور میکند. موتورسیکلتی دو ثانیه بعد از همان مبدأ، از سکون و با شتاب ثابت 2 m/s² در همان جهت راه میافتد. موتورسیکلت چه زمانی پس از عبور دوچرخهسوار و در چه مکانی به او میرسد؟
برای دوچرخهسوار xC = 5t است. موتورسیکلت فقط برای t ≥ 2 حرکت کرده و مدت حرکت خودش t − 2 است؛ بنابراین xM = ½(2)(t − 2)² = (t − 2)². شرط ملاقات 5t = (t − 2)² میدهد: t² − 9t + 4 = 0. ریشهها تقریباً 0.47 s و 8.53 s هستند.
ریشه 0.47 s رد میشود، چون پیش از t = 2 و خارج از بازه تابع حرکت موتورسیکلت است. پس ملاقات در t ≈ 8.53 s پس از آغاز مسئله، یعنی 6.53 s پس از راهافتادن موتورسیکلت، رخ میدهد. مکان ملاقات x = 5×8.53 ≈ 42.7 m پس از مبدأ است.
ملاقات را روی نمودار مکان–زمان تشخیص بده
روی نمودار x–t، هر نقطه تقاطع دو نمودار یک ملاقات است؛ مختصات افقی آن زمان و مختصات قائم آن مکان ملاقات را نشان میدهد. خط راست حرکت با سرعت ثابت را نمایش میدهد و شیب آن سرعت است. نمودار خمیده حرکت شتابدار ممکن است خط حرکت یکنواخت را صفر، یک یا دو بار قطع کند.
دو ریشه ریاضی همیشه به معنای دو ملاقات فیزیکی نیست. باید بررسی کنی هر تقاطع در دامنه زمانی رسمشده و در بازه تعریف حرکت قرار دارد. همچنین مماسشدن دو نمودار یعنی در لحظه تماس هم مکان و هم شیب، یعنی سرعت، برابر شده است؛ اما در یک تقاطع معمولی فقط مکانها برابرند.
چهار خطای رایج را پیش از انتخاب گزینه حذف کن
خطای اول، صفرگرفتن مکان اولیه هر دو جسم است؛ فاصله اولیه باید در یکی از x₀ها دیده شود. خطای دوم، ساختن ساعت جدا برای هر جسم و برابرگرفتن دو زمان ناسازگار است. خطای سوم، استفاده از t بهجای t − τ برای جسمی است که با تأخیر راه افتاده. خطای چهارم، پذیرفتن همه ریشههای معادله درجه دوم بدون بررسی زمان شروع و بازه حرکت است.
برای کنترل نهایی، زمان بهدستآمده را در هر دو تابع مکان قرار بده؛ دو مقدار x باید برابر شوند. سپس علامت زمان، واحدها و روند فاصله را بررسی کن. برای مرور نمودارهای x–t راهنمای حرکتشناسی کنکور، برای معادلههای شتاب ثابت مقاله ترمز و توقف، و برای تفاوت مسافت و جابهجایی مقاله سرعت متوسط و تندی متوسط را ادامه بده.
در هر مسئله تعقیب و ملاقات، دو ساعت جدا نساز: یک t مشترک تعریف کن و تأخیر شروع را داخل تابع مکان متحرک دیرتر، مثلاً با (t − τ)، قرار بده. سپس x₁ = x₂ را حل و هر جواب را از نظر t، بازه اعتبار حرکت و مکان فیزیکی بررسی کن. برای سرعتهای ثابت، سرعت نزدیکشدن راه میانبر خوبی است؛ در حرکت شتابدار، برابرشدن مکانها شرط ملاقات است و برابرشدن سرعتها بهتنهایی کافی نیست. در پایان، زمان را در هر دو تابع جایگذاری کن تا یک مکان مشترک به دست آید.