برای حل تعادل نردبان، ابتدا نیروهای هر تماس را از روی نوع سطح تعیین کن، سپس شرطهای ΣFx = 0، ΣFy = 0 و Στ = 0 را بنویس. در مدل رایجِ دیوار صاف و کف زبر، دیوار فقط نیروی افقی Nw وارد میکند؛ کف نیروی عمودی Ng و اصطکاک افقی f دارد. اگر نردبان یکنواخت باشد، وزن Mg در مرکز آن اثر میکند. گرفتن گشتاور حول پای نردبان دو نیروی مجهول کف را حذف میکند و سریعترین راه رسیدن به Nw است. فقط در آستانه لغزش اجازه داریم f = μsNg بنویسیم؛ در تعادل معمولی اصطکاک هر مقداری تا این بیشینه میگیرد.
نمودار جسم آزاد نردبان را از نوع تماسها بساز
نردبانی به طول L با زمین زاویه θ میسازد و سر بالایی آن به دیوار تکیه دارد. هر تکیهگاه میتواند نیروی عمودی بر سطح و، اگر زبر باشد، نیروی اصطکاک موازی سطح وارد کند. پس عبارت «دیوار صاف» یعنی اصطکاک دیوار صفر است و نیروی دیوار Nw افقی و دورشونده از دیوار خواهد بود. کف زبر نیروی عمودی Ng رو به بالا و اصطکاک f در امتداد کف وارد میکند.
سر نردبان زیر اثر Nw تمایل دارد از دیوار دور شود و پای آن تمایل دارد روی زمین از دیوار دور شود؛ بنابراین اصطکاک کف برای جلوگیری از لغزش، به سوی دیوار است. وزن نردبان یکنواخت Mg در مرکز هندسی، یعنی فاصله L/2 از پای آن، وارد میشود. اگر فرد یا باری روی نردبان باشد، وزنش را نیروی جداگانهای در محل واقعی آن رسم کن.
- دیوار صاف: فقط Nw عمود بر دیوار
- کف زبر: Ng عمود بر کف و f موازی کف
- نردبان یکنواخت: وزن Mg در فاصله L/2 از پا
- جهت اصطکاک خلاف تمایل پای نردبان به لغزش است
سه شرط تعادل را بدون فرض اضافی بنویس
برای جسم صلب ساکن، برآیند نیروها در هر دو راستا و برآیند گشتاورها صفر است. در مدل دیوار صاف، تعادل افقی میدهد f = Nw. اگر فقط وزن نردبان وارد باشد، تعادل قائم نیز Ng = Mg است؛ با حضور فردی به جرم m، این رابطه به Ng = (M + m)g تبدیل میشود.
تعادل نیروها بهتنهایی برای یافتن همه مجهولها کافی نیست، زیرا محل اثر نیروها نیز اهمیت دارد. شرط گشتاور را حول نقطهای بنویس که بیشترین نیروهای مجهول از آن میگذرند. پای نردبان انتخاب مناسبی است: Ng و f از این نقطه میگذرند و گشتاورشان نسبت به آن صفر است.
- تعادل افقی: ΣFx = 0
- تعادل قائم: ΣFy = 0
- تعادل دورانی حول هر نقطه: Στ = 0
گشتاورها را با بازوی عمود درست محاسبه کن
نسبت به پای نردبان، بازوی عمود نیروی افقی دیوار برابر ارتفاع سر نردبان، یعنی L sinθ است. این نیرو نردبان را در یک جهت میچرخاند. بازوی عمود وزن نردبان فاصله افقی مرکز جرم تا پا، یعنی (L/2)cosθ است و گشتاوری در جهت مخالف میسازد.
برای نردبان یکنواخت بدون بار اضافی، تعادل گشتاور به صورت Nw(L sinθ) = Mg(L/2 cosθ) نوشته میشود. طول L حذف میشود و Nw = (Mg/2)cotθ به دست میآید. اگر فردی به جرم m در فاصله s از پای نردبان ایستاده باشد، جمله mg(s cosθ) نیز به سمت گشتاور وزن افزوده میشود: NwL sinθ = Mg(L/2)cosθ + mgs cosθ.
اصطکاک ایستایی را فقط در آستانه لغزش بیشینه بگیر
اصطکاک ایستایی یک مقدار ثابت برابر μsNg نیست. این نیرو برای حفظ تعادل از صفر تا مقدار بیشینه μsNg تنظیم میشود؛ بنابراین شرط درست در حالت کلی f ≤ μsNg است. پس از محاسبه f و Ng، نسبت f/Ng را با ضریب اصطکاک ایستایی موجود مقایسه کن.
اگر سؤال حداقل ضریب اصطکاک، حداقل زاویه پیش از لغزش یا وضعیت «در آستانه حرکت» را بخواهد، برابری f = μsNg برقرار است. برای نردبان یکنواخت با دیوار صاف و بدون بار اضافی، f = (Mg/2)cotθ و Ng = Mg است؛ پس شرط مرزی μs = (1/2)cotθ میشود. در نتیجه tanθmin = 1/(2μs). زاویههای کوچکتر به اصطکاک بیشتری نیاز دارند و نردبان میلغزد.
- تعادل بدون لغزش: f ≤ μsNg
- آستانه لغزش: f = μsNg
- مدل ساده نردبان یکنواخت: tanθmin = 1/(2μs)
مثال حلشده: واکنشها و آزمون لغزش نردبان
نردبان یکنواختی به جرم 20 kg با زاویه 45° بر دیواری صاف تکیه دارد. کف زبر است، μs = 0.40 و g = 10 m/s². مشخص کن آیا نردبان در تعادل میماند و نیروهای تکیهگاهی را به دست آور.
از تعادل قائم Ng = Mg = 200 N. با گرفتن گشتاور حول پا داریم NwL sin45° = 200(L/2)cos45°. چون sin45° = cos45°، واکنش دیوار Nw = 100 N میشود. تعادل افقی نیز اصطکاک لازم را f = 100 N، به سوی دیوار، میدهد.
بیشینه اصطکاک ایستایی برابر μsNg = 0.40×200 = 80 N است. اصطکاک لازم 100 N از مقدار قابل تأمین 80 N بیشتر است؛ پس این وضعیت نمیتواند ساکن بماند و پای نردبان میلغزد. برای کنترل زاویه نیز tanθmin = 1/(2×0.40) = 1.25 است، پس θmin حدود 51.3° میشود و زاویه 45° واقعاً کمتر از حد لازم است.
حضور فرد روی نردبان را به یک گشتاور جدا تبدیل کن
اگر فردی روی نردبان بالا برود، فقط کافی نیست جرم او را به جرم نردبان اضافه کنیم؛ محل اثر دو وزن متفاوت است. وزن نردبان در L/2 اثر میکند، اما وزن فرد در فاصله s از پای نردبان قرار دارد. در معادله گشتاور، بازوی وزن فرد s cosθ است. در معادله قائم، هر دو وزن جمع میشوند.
با افزایش s، گشتاور وزن فرد و در نتیجه Nw و اصطکاک لازم بیشتر میشود. برای یافتن بیشترین فاصله مجاز فرد، ابتدا شرط گشتاور را بر حسب s بنویس، سپس از f = Nw و شرط f ≤ μs(M + m)g استفاده کن. در نقطه بیشینه مجاز، نابرابری به برابری تبدیل میشود.
دامهای رایج سؤال نردبان را پیش از پاسخ کنترل کن
نخست، نیروی دیوار صاف را قائم رسم نکن؛ این نیرو بر دیوار عمود و افقی است. دوم، بازوی گشتاور را خود طول نردبان نگیر؛ بازو فاصله عمود خط اثر نیرو تا محور است. سوم، f = μsNg را بدون عبارت آستانه لغزش تحمیل نکن. چهارم، وزن فرد را در مرکز نردبان قرار نده مگر صورت سؤال دقیقاً همان مکان را داده باشد.
اگر دیوار نیز زبر باشد، یک نیروی اصطکاک قائم در سر نردبان اضافه میشود و دیگر Ng الزاماً برابر مجموع وزنها نیست؛ آن مدل را باید با نمودار جسم آزاد تازه حل کرد. برای مرور انتخاب محور و بازوی نیرو، راهنمای گشتاور و تعادل میله را بخوان؛ مقاله اصطکاک ایستایی و جنبشی شرط لغزش و راهنمای نمودار جسم آزاد تشخیص نیروهای تماس را کامل میکنند.
- نوع هر سطح را پیش از رسم واکنش بخوان.
- علامت گشتاورها را با جهت چرخش تعیین کن.
- پس از حل، شرط اصطکاک را جداگانه بیازما.
- جواب نیروها باید واحد نیوتون و ضریب اصطکاک بیواحد داشته باشد.
در مسئله نردبان، شکل نیروها تعیینکنندهتر از حفظ یک فرمول است. برای دیوار صاف و کف زبر، Ng = مجموع وزنها و f = Nw؛ سپس با گرفتن گشتاور حول پای نردبان، واکنش دیوار را از بازوی عمود وزنها به دست آور. شرط f ≤ μsNg را در پایان بررسی کن و برابری را فقط برای آستانه لغزش به کار ببر. اگر فردی روی نردبان باشد، وزن او در محل خودش گشتاور میسازد؛ اگر دیوار هم زبر باشد، نیروی اصطکاک دوم باید جداگانه وارد مدل شود.