در تعادل جسم روی دیوار زبر، نیروی مایل هم جسم را به دیوار می‌فشارد و نیروی عمودی سطح را می‌سازد، هم مؤلفه‌ای قائم دارد که می‌تواند جسم را بالا بکشد. برای سکون باید N = F cosθ، اصطکاک لازم f = mg − F sinθ و شرط |f| ≤ μsN هم‌زمان برقرار باشند. در مثال جرم 5.0 kg، زاویه 37 درجه و μs = 0.50، فقط بازه 50 N ≤ F ≤ 250 N جسم را ساکن نگه می‌دارد؛ در مرز پایین اصطکاک رو به بالاست، در مرز بالا رو به پایین و در میانه حتی می‌تواند صفر شود.
فرض‌ها و داده‌های مسئله دیوار زبر را مشخص کن
جسمی به جرم m = 5.0 kg را با نیروی F تحت زاویه θ = 37° بالاتر از افق به دیواری قائم و زبر می‌فشاریم. ضریب اصطکاک ایستایی میان جسم و دیوار μs = 0.50 است. با g = 10 m/s²، sin37° = 0.60 و cos37° = 0.80، بازه F را می‌خواهیم که جسم در تعادل بماند.
جسم را ذره‌ای در حال تعادل انتقالی می‌گیریم؛ نیروی مایل از تماس جسم با دیوار پشتیبانی می‌کند، تغییر شکل و چرخش جسم ناچیز است و هنوز لغزشی رخ نداده است. پس ضریب جنبشی وارد حل نمی‌شود. محور x را افقی و رو به دیوار و محور y را قائم و رو به بالا انتخاب می‌کنیم.
چهار نیرو بر جسم واردند: وزن mg رو به پایین، نیروی اعمالی F با مؤلفه‌های F cosθ رو به دیوار و F sinθ رو به بالا، نیروی عمودی دیوار N خلاف مؤلفه افقی F، و اصطکاک ایستایی f در امتداد دیوار. جهت f را از پیش قطعی نمی‌کنیم؛ علامت معادله آن را تعیین خواهد کرد.
- m = 5.0 kg
- μs = 0.50
- θ = 37°
- g = 10 m/s²
- خواسته: همه مقدارهای F که سکون را ممکن می‌کنند
تعادل جسم روی دیوار زبر را با دو معادله نیرو مدل کن
چون شتاب افقی صفر است، برآیند نیروهای افقی باید صفر شود: F cosθ − N = 0؛ بنابراین N = F cosθ. اینجا N برابر mg نیست. هرچه جسم را محکم‌تر به دیوار فشار دهیم، N و در نتیجه ظرفیت اصطکاک ایستایی بیشتر می‌شود.
برای راستای قائم، اصطکاک را در آغاز رو به بالا مثبت تعریف می‌کنیم. شرط تعادل Fy = 0 می‌دهد F sinθ + f − mg = 0، پس f = mg − F sinθ. اگر این مقدار مثبت باشد، اصطکاک واقعی رو به بالاست؛ اگر منفی شود، اصطکاک واقعی رو به پایین است؛ و اگر صفر شود، دو نیروی mg و F sinθ بدون کمک اصطکاک موازنه‌اند.
این علامت‌گذاری دو حالت ظاهراً متفاوت را در یک رابطه نگه می‌دارد. برای نیروی کم، جسم تمایل دارد پایین بلغزد و اصطکاک بالا می‌رود. برای نیروی بسیار بزرگ، مؤلفه قائم F می‌خواهد جسم را بالا ببرد و اصطکاک باید پایین باشد.
شرط اصطکاک ایستایی را به نابرابری بازه نیرو تبدیل کن
اصطکاک ایستایی برای هر جسم ساکن الزاماً برابر μsN نیست؛ فقط باید اندازه اصطکاک لازم از سقف آن بیشتر نشود. بنابراین شرط درست |f| ≤ μsN است. با جای‌گذاری دو رابطه قبلی داریم |mg − F sinθ| ≤ μsF cosθ.
قدر مطلق را می‌توان به نابرابری دوطرفه تبدیل کرد: −μsF cosθ ≤ mg − F sinθ ≤ μsF cosθ. سمت راست مانع لغزش رو به پایین و سمت چپ مانع لغزش رو به بالا را بیان می‌کند. وجود هر دو شرط همان دلیلی است که پاسخ، یک بازه با حد پایین و حد بالا می‌شود.
اگر فقط حالت اصطکاک رو به بالا را رسم کنیم، حد بالای نیرو را از دست می‌دهیم. اگر هم از ابتدا f = μsN بگذاریم، فقط یکی از مرزهای آستانه را می‌یابیم و مقدارهای میانیِ کاملاً مجاز دیده نمی‌شوند.
حداقل و حداکثر نیروی بدون لغزش را مرحله‌به‌مرحله حساب کن
با داده‌های مسئله، mg = 5.0×10 = 50 N، نیروی عمودی سطح N = 0.80F و اصطکاک لازم f = 50 − 0.60F است. سقف اصطکاک نیز μsN = 0.50×0.80F = 0.40F می‌شود. پس باید |50 − 0.60F| ≤ 0.40F برقرار باشد.
از نیمه راست نابرابری داریم 50 − 0.60F ≤ 0.40F؛ بنابراین 50 ≤ F و حداقل نیرو Fmin = 50 N است. در این مرز f = 50 − 30 = +20 N و μsN = 0.50×40 = 20 N؛ اصطکاک در آستانه لغزش رو به پایین، به سوی بالا و در بیشینه خود است.
از نیمه چپ داریم −0.40F ≤ 50 − 0.60F. با افزودن 0.60F به دو طرف، 0.20F ≤ 50 و در نتیجه F ≤ 250 N. پس Fmax = 250 N است. در این مرز f = 50 − 150 = −100 N و μsN = 0.50×200 = 100 N؛ علامت منفی یعنی اصطکاک در آستانه لغزش رو به بالا، به سوی پایین است.
اشتراک دو شرط پاسخ نهایی را می‌دهد: 50 N ≤ F ≤ 250 N. واحد هر دو کران نیوتون است. در خود مرزها سکون مرزی ممکن است؛ بیرون این بازه، اصطکاک ایستایی کافی نیست و جسم شروع به لغزش می‌کند.
- N = 0.80F
- f = 50 − 0.60F
- |50 − 0.60F| ≤ 0.40F
- پاسخ: 50 N ≤ F ≤ 250 N
جهت اصطکاک را در سه نقطه از بازه کنترل کن
در F = 50 N، مؤلفه قائم نیرو 30 N است و هنوز 20 N از وزن کم دارد؛ اصطکاک 20 N رو به بالا این کمبود را جبران می‌کند. در F = mg/sinθ = 50/0.60 ≈ 83.3 N، اصطکاک لازم صفر است، چون F sinθ دقیقاً وزن را خنثی می‌کند. زبر بودن دیوار به این معنا نیست که اصطکاک حتماً غیرصفر باشد.
برای نمونه در F = 100 N، از f = 50 − 60 = −10 N نتیجه می‌گیریم اصطکاک 10 N رو به پایین است. ظرفیت سطح μsN = 0.50×80 = 40 N است، پس این مقدار به‌آسانی تأمین می‌شود. در F = 250 N نیز اصطکاک رو به پایین به بیشینه می‌رسد و پس از آن دیگر نمی‌تواند تمایل رو به بالای جسم را مهار کند.
این سه نقطه پاسخ را از نظر فیزیکی کنترل می‌کنند: اصطکاک با زیادشدن F از بالا به صفر و سپس به پایین تغییر جهت می‌دهد. هیچ پرش ناگهانی در اندازه لازم رخ نمی‌دهد؛ فقط قرارداد علامت در نقطه f = 0 جهت را عوض می‌کند.
واحد، تماس و معقول‌بودن جواب را بررسی کن
در همه رابطه‌ها، ضریب اصطکاک و سینوس و کسینوس بی‌واحدند؛ بنابراین N، f، mg و F همگی باید با نیوتون گزارش شوند. اگر جرم را به گرم داده باشند، پیش از ساختن mg آن را به کیلوگرم تبدیل کن. نوشتن کران نیرو با واحد کیلوگرم یا ژول نشانه آشکار خطای مدل یا واحد است.
شرط تماس نیز برقرار است: در کل بازه F مثبت و cos37° مثبت است، پس N = F cosθ > 0 و دیوار واقعاً می‌تواند جسم را پس بزند. اگر جهت نیرو طوری بود که جسم را از دیوار می‌کشید، N منفیِ جبری به معنای ناممکن‌بودن تماس بود و مدل اصطکاک دیوار دیگر کاربرد نداشت.
کنترل حدی پاسخ هم معقول است. در F = 0 نه نیروی عمودی سطحی داریم و نه اصطکاکی، پس جسم سقوط می‌کند؛ بنابراین وجود حداقل نیرو ضروری است. از سوی دیگر، چون زاویه نیرو بالاتر از افق است، F بسیار بزرگ مؤلفه قائم بسیار بزرگی رو به بالا می‌سازد؛ پس وجود حد بالایی برای جلوگیری از لغزش رو به بالا نیز منطقی است.
خطاهای رایج مسئله جسم روی دیوار را حذف کن
خطای نخست، نوشتن N = mg است؛ نیروی عمودی سطح همیشه عمود بر تماس است و برای دیوار قائم، افقی خواهد بود. خطای دوم، فرض‌کردن اصطکاک همیشه رو به بالاست. جهت اصطکاک خلاف تمایل لغزش است و با بزرگ‌شدن F می‌تواند رو به پایین شود.
خطای سوم، برابرگرفتن فوری f با μsN است. این برابری فقط در دو مرز آستانه برقرار است؛ داخل بازه، |f| از μsN کمتر است. خطای چهارم، حل‌کردن فقط یک سوی قدر مطلق و گزارش یک عدد به‌جای بازه است. همیشه جواب را با جای‌گذاری یک مقدار میانی و هر دو مرز در معادله قائم کنترل کن.
برای مرور رفتار اصطکاک ایستایی، راهنمای اصطکاک ایستایی و جنبشی را بخوان. مقاله رسم نمودار جسم آزاد در تشخیص جهت N و وزن کمک می‌کند و مسئله کشیدن یا هل‌دادن جسم روی سطح زبر نشان می‌دهد چگونه مؤلفه قائم یک نیروی مایل، نیروی عمودی سطح و سقف اصطکاک را تغییر می‌دهد.
- N را از راستای عمود بر تماس پیدا کرده‌ای؟
- جهت f را از تمایل به لغزش گرفته‌ای؟
- از |f| ≤ μsN استفاده کرده‌ای؟
- هر دو کران نابرابری را حل کرده‌ای؟
- پاسخ میانی و مرزها را دوباره آزموده‌ای؟
برای تعادل جسم روی دیوار زبر، ابتدا N = F cosθ را از تعادل افقی به دست آور و سپس اصطکاک علامت‌دار f = mg − F sinθ را از تعادل قائم بساز. به‌جای تحمیل f = μsN، شرط عمومی |f| ≤ μsN را بنویس؛ دو سوی این نابرابری حداقل و حداکثر نیروی مجاز را می‌دهند. در مثال، بازه 50 تا 250 نیوتون به دست آمد و تغییر علامت f در F ≈ 83.3 N نشان داد که اصطکاک بسته به تمایل به لغزش می‌تواند بالا، صفر یا پایین باشد.